SARS传播的数学模型 - 全国数模竞赛优秀论文

SARS传播的数学模型

摘要

本文分析了题目所提供的早期SARS传播模型的合理性与实用性，认为该模型可以预测疫情发展的大致趋势，但是存在一定的不足.第一，混淆了累计患病人数与累计确诊人数的概念；第二，借助其他地区数据进行预测，后期预测结果不够准确；第三，模型的参数L、K的设定缺乏依据，具有一定的主观性.

针对早期模型的不足，在系统分析了SARS的传播机理后，把SARS的传播过程划分为：征兆期，爆发期，高峰期和衰退期4个阶段.将每个阶段影响SARS传播的因素参数化，在传染病SIR模型的基础上，改进得到SARS传播模型.采用离散化的方法对本模型求数值解得到：北京SARS疫情的预测持续时间为106天，预测SARS患者累计2514人，与实际情况比较吻合.

应用SARS传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结论：“早发现，早隔离”能有效减少累计患病人数；“严格隔离”能有效缩短疫情持续时间.

在建立模型的过程中发现，需要认清SARS传播机理，获得真实有效的数据.而题目所提供的累计确诊人数并不等于同期累计患病人数，这给模型的建立带来不小的困难.

本文分析了海外来京旅游人数受SARS的影响，建立时间序列半参数回归模型进行了预测，估算出SARS会对北京入境旅游业造成23.22亿元人民币损失，并预计北京海外旅游人数在10月以前能恢复正常.

最后给当地报刊写了一篇短文，介绍了建立传染病数学模型的重要性.

1．问题的重述

SARS（严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）的爆发和蔓延使我们认识到，定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延创造条件，具有很高的重要性.现需要做以下工作：

（1） 对题目提供的一个早期模型，评价其合理性和实用性.

（2） 建立自己的模型，说明优于早期模型的原因；说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，并指出这样做的困难；评价卫生部门采取的措施，如：提前和延后5天采取严格的隔离措施，估计对疫情传播的影响.

（3） 根据题目提供的数据建立相应的数学模型，预测SARS对社会经济的影响.

（4） 给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性.

2．早期模型的分析与评价

题目要求建立SARS的传播模型，整个工作的关键是建立真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型.如何结合可靠、足够这两个要求评价一个模型的合理性和实用性，首先需要明确：

合理性定义 要求模型的建立有根据，预测结果切合实际.

实用性定义 要求模型能全面模拟真实情况，以量化指标指导实际. 所以合理的模型能为预防和控制提供可靠的信息；实用的模型能为预防和控制提供足够的信息.

2.1早期模型简述

早期模型是一个SARS疫情分析及疫情走势预测的模型， 该模型假定初始时刻的病例数为N0，

平均每病人每天可传染K个人（K一般为小数），K代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关.整个模型的K值从开始到高峰期间保持不变，高峰期后 10天的范围内K值逐步被调整到比较小的值，然后又保持不变.

平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天.整个模型的L一直被定为20.则在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位天)的关系是：

N(t)?N0?(1?k)t 考虑传染期限L的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢.采用半模拟循环计算的办法，把到达L天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉.

2.2早期模型合理性评价

根据早期模型对北京疫情的分析与预测，其先将北京的病例起点定在3月1日，经过大约59天在4月29日左右达到高峰，然后通过拟合起点和4月20日以后的数据定出高峰期以前的K=0.13913.高峰期后的K值按香港情况变化，即10天范围内K值逐步被调整到0.0273.L恒为20.由此画出北京3月1日至5月7日疫情发展趋势拟合图像以及5月7日以后的疫情发展趋势预测图像，如图1.

图1 早期模型计算值与实际值对比图

从图1可以看出，从 4月20日至5月7日模型计算值与同期实际值的拟合程度比较好，但5月7日后模型计算值（即预测值）随着日期的增长逐渐偏离实际值.

为了进一步验证上述分析，对模型计算值曲线和实际值进行残差分析，记yi?i表示第i天计算累计病例.计算 表示第i天实际累计病例，y?ieiyi?y*ei??,i?1,2,?,n

???作为?的估计： 其中，用?????yi?1ni?i)?(yi?yn?2

做出标准化残差ei*的分布图，如图2：

图2 早期模型的标准化残差分布图

可以很明显地看出，在后期，残差图上出现明显的单减规律性，预测值高于实际值，说明预测值确实逐渐偏离实际值.

通过以上分析得合理性评价： 1从预测准确度上有失合理性，○虽然早期模型在拟合前期疫情时拟合程度较好，但对后期情况的预测出现较大偏差.

2尽管预测准确程度不高，但是该模型确实预测出了整个疫情的发展趋势.○

从这一点上看，该模型还是切合实际的.

3该模型选用公布数据直接拟合，○从而预测后期疫情发展趋势，这有悖于模型本身的含义.因为模型中的N(t)实际代表的是t时刻全社会的累计SARS患者，而公布数据仅为同期的累计确诊SARS患者，显然前者是大于或等于后者的.如果把公布数据当成实际数据处理，这必然导致模型解出现偏差，且解的实际意义不明确.对于这一点，我们将在建立自己的模型时重点关注！

2.3早期模型实用性评价

模型的实用性关注的是模型能否真实全面的模拟真实情况，从而用模型指导实际.这里主要抓住早期模型的参数设置情况进行实用性评价：

1该模型简单地以高峰期作为分析的临界点，这似乎对SARS发展的阶段没○

有了解透彻.同时，模型没有提出高峰期的确定方法，整个模型的建立必须有实际高峰期附近数据的支撑.如果仅有疫情爆发初期的数据，该模型就无法预测出疫情中后期发展的趋势，模型的实际应用范围受到限制.

2参数K代表某种社会环境下一个病人每天传染他人的人数，○与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关.在初期，该模型将K固定在一个比较高的定值，在疫情高峰期过后，在10天内逐步调整K值到比较小，然后保持不变.但模型并没有给出K值的具体算法，只是不断地进行人工调整，具有一定的主观性.同时沿用了香港疫情分析中的数据来预测北京的情况，可见该模型未对北京的实际情况进行充分的考虑.

3参数L代表平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限，○在此期限后失去传染作用，可能的原因是被严格隔离、病愈不再传染和死去等等.该模型把L的值固定为20，而实际的L应该随疫情发展趋势变化而变化，固定L势必使模型只能片面模拟真实情况.

综上，早期模型的一部分分析脱离了实际，而且在整个模型的建立和求解中人工干预过多，实际应用范围受到了限制，实用性不强.

3． SARS传播过程的分析

由于早期模型缺少对SARS传播过程的系统分析，所以，要建立真正能预测病情发展的模型，应该首先对整个传播过程有一个全面而详尽的分析.

SARS的传播大致经历了4个过程，相关描述可按照Kink于1986年提出的危机“四阶段说”.

第一阶段是征兆期.在SARS传播初期，由于SARS感染者需要经历一定时间才表现出临床症状，所以在病毒实际上已经广泛传播的情况下，政府和公众并未引起注意.在这个时期，携带病毒的传播源没受到控制，平均传播期长，但整个社会的发病率还较低.

第二阶段是迅速爆发期和蔓延期.当公众发现感染者不断增加时，恐慌情绪

增加，政府随即采取多种措施，但由于对病毒传播的特点不清楚，并未收到预期效果.在这个时期，传播源的平均传播期依然较长，整个社会的发病率突然猛增.

第三个阶段是高峰期.当高强度的措施实施后，病毒扩散速度实际已经被控制，发病人数保持稳定，处在一个高平台阶段.在这个时期，有效隔离措施的产生，大大缩短了平均传染期，但由于病患基数较大，社会发病率依然很高.

第四个阶段是衰退期和有效控制期.在高平台现象一段时间以后，控制措施的作用开始显现，患病人数开始下降，进入控制时期.在这个时期，平均感染期最短，社会发病率低.疫情进入了4个阶段的最后时期.

有了以上的分析，建立的模型就应该体现4个不同时期下疫情的发展过程，并能够在此基础上准确预测疫情变化情况，提出切实可行的控制措施.考虑在经典传染病SIR模型基础上，通过机理分析，加入合理的实际因素，建立适合SARS的分段微分方程模型，称为SARS传播的SIR改进模型.

4． SARS传播的SIR改进模型

4.1模型的假设

1．SARS的持续期不太长，可以忽略在SARS持续期内的城市人口的自然出生率和自然死亡率.

2．被SARS感染后经治疗康复的人群在SARS流行期不会被再次感染. 3．病人被严格隔离、治愈或者死亡后，不再有感染作用.

4．不考虑人口的流动，仅仅在一个城市范围内研究SARS疫情的发展过程.

4.2模型的符号定义

S(t):易感类人群占城市人口总数的比例. I(t):传染类人群占城市人口总数的比例. R(t):排除类人群占城市人口总数的比例.

t时刻被隔离的SARS患者数?(t):SARS患者的就诊率?

t时刻全社会SARS患者总数?：单位时间内一个传染者与他人的接触率. L：平均传染期.

4.3传播机理分析

针对早期模型的不足，需要在模型的合理性和实用性方面进行改进.考虑在经典传染病模型SIR的基础上，通过机理分析，用实际因素来描述SARS的传播过程.

为了简化模型，这里不考虑人口的流动带来的影响，仅仅在一个封闭城市中研究SARS的传播机理.那么，整个社会人群可以分为3类：

S类：称为易感类，该类成员没有染上传染病，但缺乏免疫能力，可以被染上传染病.

I类：称为传染类，该类成员已经染上传染病，而且可以传染给S类成员. R类：称为排除类或恢复类，R类成员或者是I类成员被严格隔离、治愈，或者死亡等.I类成员转化为R类后，立刻失去传染能力.

S(t)、I(t)、R(t)分别表示t时刻上述3类成员占城市人口总数的比例. 对于传播过程有3条基本假设：

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