江苏省连云港市2008届高三二轮复习强化训练(11)(数列的综合应用
更新时间:2024-06-29 13:12:01 阅读量: 综合文库 文档下载
数列的综合应用
一、填空题:
1.数列{?2n2?29n?3}中的最大项的值是__ __.
n?2.已知一个数列的通项为an?sin(??)(n?N*),再构造一个新数列a1a2,a3a4,a5a6,?,
2则这个数列的前n项和 .
3.设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若Sn?1,Sn,Sn?2成等差数列,则q的值为
.
4.在如下表格中,每格填上一个数字后,使每一横行 成等差数列,每一纵列成等比数列,则a?b?c的值 为 .
5.设数列{an}的前n项和为Sn,点(n,1 0.5 2 1 a b c Sn)(n?N*)均在 n函数y=3x-2的图象上.则数列?an?的通项公式为 .
6.在圆x2?y2?5x内,过点(,)有n(n?N)条弦,它们的长构成等差数列,若a1为过该点最短弦的长,an为过该点最长弦的长,公差d?(,),那么n的值是 . 7.f(x)?_.
8.在△ABC中,tanA是以-4为第3项,4为第7项的等差数列的公差,tanB是以为第3项,9为第6项的等比数列的公比,则这个三角形是 .
9.设两个方程x2?ax?1?0,x2?bx?1?0的四个根组成以2为公比的等比数列,则ab? . 10.编辑一个运算程序:1&1?2,m&n?k,m&(n?1)?k?3,(m、n、k?N*),1&2004的输出结果为 .
11.小正方形按照下图中的规律排列:
1 2 3 4 每小图中的小正方形的个数就构成一个数列{an},有以下结论: ①a5?15;②数列{an}是一个等差数列;③数列{an}是一个等比数列;④数列的递推公式为:an?an?1?n,
5322*11532x,x1?1,xn?f(xn?1?1) (n?2,n?N*),则x2、x3、x4分别为__ ,猜想xn?__ x?213(n?N*)其中正确的命题序号为 .
12.一列火车自A城驶往B城,沿途有n个车站(其中包括起点站A和终点站B),车上有一节邮政车厢,每停靠一站,要卸下前面各站发往该站的邮件一袋,同时又要装上该站发往后面各站的邮件一袋,已知火车从第k站出发时,邮政车厢内共有邮袋ak(k?1,2,…,n)个,则数列ak与
ak?1(2?k?n)的关系为 .
13.已知函数f(x)?3x2?bx?1是偶函数,g(x)?5x?c是奇函数,正数数列?an?满足a1?1,
2f(an?an?1)?g(an?1an?an)?1,求数列{an}的通项公式为 .
14.已知{an}是递增数列,且对任意n?N*都有an?n2??n恒成立,则实数?的取值范围是___ . 二、解答题:
in,s?in,sin?15.已知?,?,?成公比为2的等比数列,其中???0,2??,且s?也成等比数列,求?,?,?的值.
16.设二次方程anx2?an?1x?1?0(n?N)有两根?和?,且满足6??2????6??3, (1)试用an表示an?1;
(2)求证:数列{an?}是等比数列; (3)当a1?237时,求数列?an?的通项公式. 6
17.已知f(x)?a1x?a2x2?3a3x3?…?anxn,且a1,a2,a3,…,an组成等差数列(n为偶数),又
1f(1)?n2,f(?1)?n,比较f()与3的大小.
2
18.已知数列{an}中的相邻两项a2k?1,a2k是关于x的方程x2?(3k?2k)x?3k?2k?0 的两个根,且
a2k?1?a2k(k?1,2,3,…).
(1)求a1,a3,a5,a7及a2n(n?4)(不必证明);
(2)求数列{an}的前2n项和S2n.
19.已知二次函数y?f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为f?(x)?6x?2,数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n?N?)均在函数y?f(x)的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn?
20.已知数列{an}满足a1?1,an?1?2an?1(n?N*), (1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列?an?满足4b1?14b2?1?4bn?1?(an?1)bn(n?N*) (n∈N),证明: {bn}是等差数列.
*
3m?,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn?对所有n?N都成立的最小正整数m. anan?12011.数列的综合应用
要求:在等差、等比数列的基本概念,通项公式和前n项和公式及其应用的前提下,灵活运用数列知识,解决有关数列的综合问题,培养观察能力、化归能力和解决实际问题的能力. 1.数列{?2n2?29n?3}中的最大项的值是_108 __.
n?2.已知一个数列的通项为an?sin(??)(n?N*),再构造一个新数列a1a2,a3a4,a5a6,?,
2则这个数列的前n项和?sin2?.
3.设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若Sn?1,Sn,Sn?2成等差数列,则q的值为
-2 .
4.在如下表格中,每格填上一个数字后,使每一横行 成等差数列,每一纵列成等比数列,则a?b?c的值 9为 . 8解:a?,b?,c?,从而a?b?c?1 0.5 2 1 a b c n29. 8S5.设数列{an}的前n项和为Sn,点(n,n)(n?N*)均在函数y=3x-2的图象上.则数列{an}的通项
n公式为an?6n?5(n?N*). SnS)在y?3x?2的图象上,故n?3n?2,Sn?n(3n?2),从而求出an?6n?5. nn536.在圆x2?y2?5x内,过点(,)有n(n?N*)条弦,它们的长构成等差数列,若a1为过该点最短
2211弦的长,an为过该点最长弦的长,公差d?(,),那么n的值是11,12,13,14,15.
5352555解:x2?y2?5x?(x?)2?y2?? 圆心C(,0),半径R?,
2422PC2)?2,故与PC垂直的弦是最短弦,所以a1?2R2?( 2而过P、C的弦是最长弦,所以an?2R?5,
3由等差数列an?a1?(n?1)d?5?2?(n?1)d?d?,
n?111d?(,)?10?n?16,因n?N*,所以n?11、12、13、14、15.
53x2y2??1上有n不同的点P变式:椭圆1,P2,?,Pn,椭圆的右焦点为F,数列?FPn?是公差大于431的等差数列,则n的最大值为 2000 . 1000x2y2??1?a?2,b?3,c?1,因为Pn在椭圆上,故1?a?c?FPn?a?c?3,由题意解:椭圆4321可得3?1?(n?1)d?d?,因d?,故n?2001,因n?N*,所以n?2000.
n?110002x7.f(x)?,1,1,猜想xn?__ x1?1,xn?f(xn?1?1) (n?2,n?N*),则x2、x3、x4分别为_1,
x?2解:(n,1238141 _.
8.在△ABC中,tanA是以-4为第3项,4为第7项的等差数列的公差,tanB是以为第3项,9为第6项的等比数列的公比,则这个三角形是 锐角三角形 . 解:由题意得4??4?4tanA?tanA?2?0,9?tan3B?tanB?3?0
1313故tanC??tan(A?B)??tanA?tanB?1?0, ?ABC是锐角三角形.
1?tanAtanB9.设两个方程x2?ax?1?0,x2?bx?1?0的四个根组成以2为公比的等比数列,则ab?
27. 4解:设方程x2?ax?1?0的两根为x1,x2,x2?bx?1?0的两根为x3,x4,
?x1?x2?a?x3?x4?b1则?,?,不妨设x1,x3,x4,x2成等比数列,则x2?x1?23?x12?,
8?x1x2?1?x3x4?1故ab?(x1?x2)(x3?x4)?54x12?227. 41的等差数列,则b4变式:若x的方程x?x?a?0和x2?x?b?0(a?b)的四个根可组成首项为
的值为
353或. 1441610.编辑一个运算程序:1&1?2,m&n?k,m&(n?1)?k?3,(m、n、k?N*),1&2004的输出结果为 6011 .
11.小正方形按照下图中的规律排列:
1 2 3 4 每小图中的小正方形的个数就构成一个数列{an},有以下结论: ①a5?15;②数列{an}是一个等差数列;③数列{an}是一个等比数列;④数列的递推公式为:an?an?1?n,
(n?N*)其中正确的命题序号为 (1)(4) .
12.一列火车自A城驶往B城,沿途有n个车站(其中包括起点站A和终点站B),车上有一节邮政车厢,每停靠一站,要卸下前面各站发往该站的邮件一袋,同时又要装上该站发往后面各站的邮件一袋,已知火车从第k站出发时,邮政车厢内共有邮袋ak(k?1,2,…,n)个,则数列ak与
ak?1(2?k?n)的关系为ak?ak?1?n?1?2k.
解:ak?1?(k?1)?n?k?ak
13.已知函数f(x)?3x2?bx?1是偶函数,g(x)?5x?c是奇函数,正数数列?an?满足a1?1,
22f(an?an?1)?g(an?1an?an)?1,求数列{an}的通项公式为an?()n?1(n?N*).
3f(x)是偶函数,?b?0?f(x)?3x2?1;g(x)是奇函数?c?0?g(x)?5x,
22f(an?an?1)?g(an?1an?an)?1?3(an?an?1)2?1?5(an?1an?an)?1
a2?(an?an?1)?3(an?an?1)?5an??0?3(an?an?1)?5an?n?1?,
an32??an?是等比数列 ?an?()n?1(n?N*).
314.已知{an}是递增数列,且对任意n?N*都有an?n2??n恒成立,则实数?的取值范围是
[?3,??).
解:数列?an?是递增数列,且an?n2??n,则??3?,故???3. 22二、解答题
15. 已知?,?,?成公比为2的等比数列,其中???0,2??,且sin?,sin?,sin?也成等比数列,求
?,?,?的值.
解:由sin?,sin?,sin?成等比数列?sin2??sin??sin?,
又?,?,?成等比数列?sin22??sin??sin4??cos??cos2??cos??1或?
122?4? 或或2?(舍)332?4?8?4?8?16? ?????,??;?????,??.
333333又???0,2?????0(舍)或 16. 设二次方程anx2?an?1x?1?0(n?N)有两根?和?,且满足6??2????6??3, (1)试用an表示an?1;
(2)求证:数列{an?}是等比数列;
237时,求数列?an?的通项公式. 6an?1??????anaa12??3?an?1?n?; 解:(1)由题意得,? 代入条件得,6n?1?anan23????1?an?(3)当a1?22123?1, (2)由(1)可知,(an?1?)?(an?)?23232an?32?? 故数列?an??为等比数列;
3??22112 (3)由(2)可得,an??(a1?)?()n?1?an?()n?.
3322323n17.已知f(x)?a1x?a2x?3a3x???anx,且a1,a2,a3,?,an组成等差数列(n为偶数),又
1f(1)?n2,f(?1)?n,比较f()与3的大小.
2an?1?思路分析:先用题设条件求出{an}的公差d和首项a1,获得{an}的通项公式,再求出表达式,进而求出f()的值即可作出比较.
12解:设?an?的首项为a1,公差为d,由f(1)?n2,a1?a2?a3???an?n2,
即na1?n(n?1)nddd?n2,a1???n?0,由f(?1)?n可得: 222?a1?a2?a3?a4???an?n,即a?1,故a?2n?1.
f(x)?x?3x2?5x3???(2n?1)xn,由错位相减法得
1112n?3f()?1?2?2()n?1?(2n?1)()n?3?n?3. 222218. 已知数列{an}中的相邻两项a2k?1,a2k是关于x的方程x2?(3k?2k)x?3k?2k?0 的两个根,且a2k?1?a2k(k?1,2,3,…).
(1)求a1,a3,a5,a7及a2n(n?4)(不必证明); (2)求数列{an}的前2n项和S2n.
解:(1)方程x2?(3k?2k)x?3k?2k?0的两根为x1?3k,x2?2k, 当k=1时,x1?3,x2?2,所以a1?2, 当k=2时,x1?6,x2?4,所以a3?4, 当k=3时,x1?9,x2?8,所以a5?8, 当k=4时,x1?12,x2?16,所以a7?12, 因为当n≥4时, 2n?3n,所以a2n?2n(n?4)
3n2?3n?2n?1?2. (2) S2n?a1?a2?…+a2n?(3?6?…+3n)+ (2?4?…+2)?219. 已知二次函数y?f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为f'(x)?6x?2,数列{an}的前n项
n和为Sn,点(n,Sn)(n?N?)均在函数y?f(x)的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn?3m?,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn?对所有n?N都成立的最小正整数anan?120m.
解:(1)设这二次函数f(x)=ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x-2,得
a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x.
又因为点(n,Sn)(n?N?)均在函数y?f(x)的图像上,所以Sn=3n2-2n.
2当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-?3(n?1)?2(n?1)???=6n-5.
当n=1时,a1=S1=3×12-2=6×1-5,所以,an=6n-5(n?N)
?33111==(?), anan?1(6n?5)?6(n?1)?5?26n?56n?1n11111?11?1?)?=(1-故Tn=). bi=?(1?)?(?)?...?(77136n?56n?12?6n?1?2i?1111mm因此,要使(1-)<(n?N?)成立的m,必须且仅须满足≤,即m≥10,所
26n?120220以满足要求的最小正整数m为10.
(2)由(1)得知bn??20. 已知数列?an?满足a1?1,an?1?2an?1(n?N*), (1)求数列?an?的通项公式;
(2)若数列?an?满足4b1?14b2?1?4bn?1?(an?1)bn(n?N*) (n∈N),证明:?bn?是等差数列.
*
解:(1) ?an?1?2an?1(n?N*), ?an?1?1?2(an?1),
??an?1?是以a1?1?2为首项,2为公比的等比数列. ?an?1?2n. 即 an?2n?1(n?N*).
(k1?k2?...?kn)?n(2)证法一:?4k1?14k2?1...4kn?1?(an?1)kn. ?4
?2nkn.
?2[(b1?b2?...?bn)?n]?nbn, ①
2[(b1?b2?...?bn?bn?1)?(n?1)]?(n?1)bn?1. ② ②-①,得2(bn?1?1)?(n?1)bn?1?nbn,
即(n?1)bn?1?nbn?2?0,nbn?2?(n?1)bn?1?2?0.
即 bn?2?2bn?1?bn?0, ?bn?2?bn?1?bn?1?bn(n?N*),
③-④,得 nbn?2?2nbn?1?nbn?0,
??bn?是等差数列.
证法二:同证法一,得(n?1)bn?1?nbn?2?0,令n?1,得b1?2. 设b2?2?d(d?R),下面用数学归纳法证明 bn?2?(n?1)d. (1)当n?1,2时,等式成立.
(2)假设当n?k(k?2)时,bk?2?(k?1)d,那么
k2k2bk??[2?(k?1)d]??2?[(k?1)?1]d. k?1k?1k?1k?1这就是说,当n?k?1时,等式也成立. bk?1?根据(1)和(2),可知bn?2?(n?1)d对任何n?N*都成立.
?bn?1?bn?d,??bn?是等差数列.
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