山东省2005-2007年高考数学命题特点探析-最新资料

山东省２００５－２００７年高考数学命题特点探析

山东省高考实施自主命题已逾三年，由于高考试题是传达学习方向和要求水平的最重要的载体之一，因而无论是在实践还是理论层面都倍受关注.山东又是首批实施高中新课标的实验区之一，经济比较发达，其命题的示范性和方向性值得关注.本文对其2005―2007年“概率与统计”部分的数学命题特点进行了研究.

1知识点的考纲要求水平统计

根据国家考试大纲、新课标、山东省2007年高考数学考试说明和三年来数学试题的实际呈现结果，我们析出了两大类共13个知识点作为本次研究的知识因素.两大类分别是概率和统计，其中概率包括一般随机事件、等可能事件、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验、条件概率、离散型随机变量的分布列、离散型随机变量的期望值等8个知识点；统计包括抽样方法、用样本估计总体、正态分布、线性回归、频率分布直方图等5个知识点.其中“条件概率”是2007年新增知识点，国家考纲中有明确阐述；隶属于分布列的“超几何分布”是由山东省选修2-3模块产生的新增知识点；“频率分布直方图”属于2007年实际考查但还没有列入国家考纲的知识点.具体要求水平如下表： 其中，考纲对知识的考查要求依次为了解、理解和掌握、灵

活和综合运用三个层次（分别用A、B、C表示）.

从表中可见，三年来考纲对知识点的要求水平没有变化.估计2008年的要求水平在字面上也不会有变化. 2知识点的考查次数统计

本统计的目的在于描述命题组对知识点是否有偏好.在研究中，我们约定：同一知识点在同一小题中多次重复出现不进行累加；同一知识点在同一大题的不同小题或不同大题之间重复出现，其次数进行累加.“大题”指编号为1，2，…的题目；“小题”指在一个大题中编号为（Ⅰ），（Ⅱ）,…（如2006第20题）或者①，②，…（如2006第16题）的题目.下面是知识点所属题号统计：

不难发现，命题组对“概率”在考查次数上的偏重是明显的，因为除了“独立重复试验”外，其余知识点都已被测试过（尤其是等可能事件、互斥事件、相互独立事件，几乎每年必考）；“统计”只在2007年测试了“频率分布直方图”，其余的都没有被涉及，呈现出明显的“一边倒”情形. 2008关于知识点的备考观点：

1.重复独立试验及其对应的二项分布，等可能事件的超几何分布都是明确列入新课标选修2-3模块的重要内容，而且重复独立试验早就是考纲中的一员.如果山东省继续选修2-3模块，2008年命题组不大可能再舍弃他们去考查“一般分布”(2006年、2007年)和目前还不在课标和考纲范围内的“几何分布”

（2005年）.二者均值得特别关注.

2.渗透在上述常考知识点里面的是两个基本计数原理――分类计数和分步计数原理，他们是提高“概率与统计”试题难度的关键因素.

3.尽管出区分度稍高的试题比较难，但鉴于“统计”在现实生活和科学研究中的地位，增加对它的考查是必然的.比如将“茎叶图”、“频率分布直方图“与“正态分布图”结合起来考查学生对分布函数（试题中不会出现这个概念）的初步了解不失为一个好的想法.

3 被考查过的知识点的期望难度水平与实际难度水平的差异比较

虽然理论上存在考查水平A（了解）的情形，但实际三年来所有试题均至少是在B（理解和掌握）水平上展开的（当然它包括了A水平）.但即使如此，确定一道数学试题的实际难度水平仍然是困难的.为此，我们以新课标中的“行为动词表1”为研究工具分析并描述试题的实际难度水平.也就是说，我们用一道试题中知识点对应的“行为动词”所属的难度水平刻画该知识点的难度水平.有一个问题需要指出，新课标中“掌握”是排在第三水平――掌握/应用/迁移中，考纲中“掌握”是排在第二水平――理解和掌握中.我们不纠缠于文字的表面差异，而是根据“行为动词”的实质内容将新课标中的“掌握”在难度水平上等同于考纲中的“灵活和综合应用”，其相应的“行为动词”用

来刻画考纲中的“灵活和综合应用”而不是“掌握”.考纲中的“掌握”是用课标中“理解/独立操作”的行为动词进行刻画. 另外，在下面的研究中，我们约定：如果同一道试题多次涉及某一个知识点，那么我们将以难度水平最高的那次（水平）刻画该知识点在本道题中的实际难度；如果在一套试卷中有多道题目涉及同一知识点，那么将以难度水平最高的那道试题难度水平刻画本套试卷中该知识点的实际难度；如果同一道试题用相同知识点来解有不同的解法，而各解法的难度水平又不一致，那么我们将用各难度水平的均值刻画该知识点的实际难度.为便于计算，水平A、B、C分别用1、2、3代替.统计结果如下： 其中，表中的第5列的2.5是由于2005年第9和第18两道题都涉及“等可能事件”这一知识点，取其难度水平的均值得到.

运用非参数（nonparametric tests）的双样本t检验（two-independent-samples tests）分析表明，被考查过的知识点（共8个）难度的期望水平与实际水平总体上无显著差异（Z=1.250,P=0.088?0.05）；但对存在于教材已久的“传统概率模型”（包括一般随机事件、等可能事件、互斥事件、相互独立事件和条件概率）而言，在0.05显著水平上，期望与实际两个难度水平存在显著差异（Z=1.581,P=0.013?0.05）.

结论：命题组对“早已入纲的概率模型”在难度上的偏重是明显的，其实际难度水平高于期望难度水平；对“新进入纲的模

型”――“分布列和期望值”以及“频率分布直方图”――在难度上没有偏重，其实际难度水平与期望水平一致；总体上，被考查的8个知识点的实际难度水平与期望水平没有显著差异.此外，从解决问题的“行为动词”上还可以看出：知识点有“越考越难一点儿”的趋势.

2008关于难度的备考观点：

1.考纲中为“掌握”（处于第二水平）的知识点在实际训练中宜按第三难度水平进行操作，不宜按字面意思直接对号入座，因为考纲和课标对“掌握”意义的界定并不对等.

2.“一般随机事件”的考纲要求是第一水平A（了解），但对试题解决过程中的实际“行为动词”的研究表明，2006和2007两次考查均是在第三水平（“灵活和综合应用”）并结合分布列展开的（2007，18题；2006，20题），对其他省份（如2007，全国Ⅰ，18题）试题的考察也有类似的结论.所以，实际训练中不宜按“了解”对待，最好达到“分析”层次. 4 增加试题知识点难度的因素的分析

总的来讲，现在真正在生活和科学研究中发挥重大作用的是基于对大量随机现象进行描述和分析的“数理统计”，不是“概率”.而且，基于“概率论与数理统计”的数据分析过程对“概率的计算技巧”要求也并不高，甚至只是“算法”的.这一点在课标中已得到明确阐述.

在上述认识下，我们析出了以下五个难度因素，供复习参考.

4.1 “量”性难度因素：

在同一道试题中增加知识点的个数.比如，2005年第18题涉及四个知识点；2006年第20题涉及六个知识点；2007年第18题涉及七个知识点. 4.2 “质”性难度因素：

1. 对同一知识点，提高其“行为动词”的难度水平.比如2007和2006对“一般随机

事件”实际要求就略高于考纲期望要求.

2.设置比较生疏的情景或背景[2]使“分类”和“分步”两个计数原理的应用变得很不

顺畅.这几乎已成为增加“概率”试题难度的主要手段，其中涉及的“分析”或“讨论”两个动作基本是在新课标关于“知识与技能”的第三水平展开的.这很可能是“考纲”和“课标”对“掌握”一词的不同界定造成的. 3.同一知识点，改变考查视角

例如：分布列的“反向考查”――给出随机变量全部分布列的一部分，然后求它取某一具体值或取值范围的概率.比如下表，给出ξ全部分布列的一部分，求1）随机变量ξ取3的概率. 这种手法在2005年的第18题（Ⅰ）考查“等可能事件“中已经使用过了，不过对分布列还没有使用过. 4.3 本部分的特殊难度因素：

整理知识体系，为今后的学习做一些渗透或铺垫

例如：还是上题（表5）的条件，求2）ξ取值在区间[2，4]上的概率；3）ξ在区间[2，4]上的期望值.当然，试题很可能会赋予分布列以实际意义.

为什么会有上述想法呢？首先，从大学课程“概率论与数理统计”的设置看，今后学生（无论是纯数学还是与数学有关的计量经济学、管理学、统计学等）都要接触“连续型随机变量的概率密度（函数）”概念.但求连续型随机变量在某个“点”上的概率是没有意义的――都是零，因而，连续型随机变量的概率都是在区间而非“点”上讨论的.为了让学生有全面的认识，同时也为学习连续型随机变量增加一点必要的过渡，命题人有理由设计上述考法.其次，从测试的角度来讲，考查离散型随机变量在某个“小范围”内的概率或数学期望比在“整个范围”内更经济，因为它在效度得以保证的前提下减少了运算量，符合命题的经济性原则.

尽管如此，通过人为设计情景的复杂性再增加“概率”试题难度的可能性仍然很小.说

的直接一点，将概率作为最后的“把关题”可能性不大.

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