3.2 二维离散型随机变量

微积分 线性代数

微积分 线性代数

一、联合分布列设二维离散型随机变量 ( X , Y ) 的所有可能取值为 ( xi , y j ) , 二维离散型随机变量 离散型

称

P{ X = xi , Y = yj } = pi j , X Yi , j = 1,2, L

y1

y2 L y j L

为(X,Y)的联合分布列. , ) 联合分布列. 简称分布列 简称分布列. 分布 用三维表表示： 用三维表表示： 表示

x1 x2

p11 p12 L p1 j L p21 p22 L p2 j L

Mxi

M M M M

M M

pi 1 pi 2 L pi j L

M

微积分 线性代数

Y X

y1

y2 L y j L

x1 x2

p11 p12 L p1 j L p21 p22 L p2 j L

Mxi

M M M M

M M

pi 1 pi 2 L pi j L

M

定 理 3.3 联 合 分 布 列 具 有 以 下 性 质 :(1) 非负性(2) 正 则 性

pi j ≥ 0 , i, j = 1,2,L

∑∑ pi j

ij

= 1.

微积分 线性代数

例3.3 设随机变量 X 在 1,2,3,4 四个整数中等可能 地取一个值, 另一个随机变量Y 在 1 ~ X中等可能 地取一个值 地取一整数值. 地取一整数值 试求 ( X ,Y )的分布律 . 解 用乘法公式容易求得 ( X ,Y )的分布律 . 易知{ X = i ,Y = j } 的取值情况是 : i = 1,2,3,4, j 取不大

于i的正整数 . 且1 1 P{ X = i ,Y = j } = P {Y = j X = i }P{ X = i } = , i 4 i = 1,2,3,4, j ≤ i .

微积分 线性代数

于是 ( X ,Y ) 的分布律为Y X

1

2

3

4

1

1 40 0 0

1 8 1 80 0

1 12

23

1 121 120

4

1 16 1 16 1 16 1 16

微积分 线性代数

二、边缘分布列 定理3.4 定理3.4 若( X,Y )的联合分布列为 的联合分布列为

P{X=xi ,Y = yj }= pi j , i, j = 1,2,L则

P{ X = xi } = ∑ pi j pii , i = 1,2,L j

P{Y = y j } = ∑ pi j p j , j = 1,2,Li

分别称为( 和关于Y的边缘分布列 分别称为(X,Y)关于 和关于 的边缘分布列. )关于X和关于 的边缘分布列.

微积分 线性代数

Y 袋中有两只白球3 例3.4 袋中有两只白球3只 X 黑球， 黑球，有放回 摸 球 两 0 定义X为第一次摸得 次，定义 为第一次摸得 的白球数， 为第二次摸 的白球数，Y为第二次摸 1 得的白球数， 得的白球数，则(X,Y)的 , ) 联合分布律为 Y的边缘分布 的边缘分布

09 25 6 253 5

16 25 4 25

3 5 2 5

2 5

所以X 所以 和Y 的边缘分布律分别为

X的 的 边缘 分布

XP

03 5

12 5

YP

03 5

12 5

微积分 线性代数

若改为不放回摸球， 若改为不放回摸球，则(X,Y)的联合分布律为 , )X

Y

03 10 3 10 3 5

13 10 1 10 2 53 5 2 5

X

Y

09 25 6 253 5

16 25 4 25 2 5 3 5 2 5

0

0

1

1

边缘分布为 与放回的情况比较，两者的联合分布完全不同， 与放回的情况比较，两者的联合分布完全不同， 但边缘分布却完全相同. 但边缘分布却完全相同.

微积分 线性代数

再次说明联合分布和边缘分布的关系: 再次说明联合分布和边缘分布的关系

由联合分布可以确定边缘分布； 由联合分布可以确定边缘分布； 但由边缘分布一般不能确定联合分布. 但由边缘分布一般不能确定联合分布.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/crc4.html