2016高考总复习步步高资料学案 (39)

学案43 空间的平行关系

导学目标：1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系．

自主梳理

1．直线a和平面α的位置关系有________、________、__________，其中________与________统称直线在平面外．

2．直线和平面平行的判定：

(1)定义：直线和平面没有____________，则称直线和平面平行． (2)判定定理：a?α，b?α，且a∥b?________； (3)其他判定方法：α∥β，a?α?________.

3．直线和平面平行的性质定理：a∥α，a?β，α∩β＝l?________. 4．两个平面的位置关系有________、________. 5．两个平面平行的判定：

(1)定义：两个平面没有________，称这两个平面平行； (2)判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α； (3)推论：a∩b＝P，a，b?α，a′∩b′＝P′，a′，b′?β，a∥a′，b∥b′?________. 6．两个平面平行的性质定理： α∥β，a?α?________；

α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b?________. 7．与垂直相关的平行的判定：

(1)a⊥α，b⊥α?________；(2)a⊥α，a⊥β?________. 自我检测 1．(2011·湖南四县调研)平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a?α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a?α，a∥β，b?β，b∥α D．存在两条异面直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α 2．(2011·烟台模拟)一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是( )

A．l∥α B．l⊥α C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l?α 3．下列各命题中：

①平行于同一直线的两个平面平行； ②平行于同一平面的两个平面平行；

③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交； ④垂直于同一直线的两个平面平行． 不正确的命题个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4

4．经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作( ) A．0个 B．1个 C．0个或1个 D．1个或2个 5．(2011·南京模拟)在四面体ABCD中，M、N分别是△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________________.

探究点一 线面平行的判定

例1 已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.

变式迁移1 (2011·长沙调研)在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN∥平面PAD.

探究点二 面面平行的判定

例2 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.

变式迁移2 已知P为△ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心．

(1)求证：平面G1G2G3∥平面ABC； (2)求S△G1G2G3∶S△ABC.

探究点三 平行中的探索性问题 例3 (2011·惠州月考)如图所示，在四棱锥P—ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，

1

AD＝DC＝AB，BC⊥PC.

2

(1)求证：PA⊥BC；

(2)试在线段PB上找一点M，使CM∥平面PAD，并说明理由．

变式迁移3

如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?

转化与化归思想综合应用

例 (12分)一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M、N分别是AB、SC的中点，P是SD上的一动点．

(1)求证：BP⊥AC；

(2)当点P落在什么位置时，AP∥平面SMC? (3)求三棱锥B—NMC的体积．

多角度审题 第(1)问的关键是根据三视图得到SD⊥平面ABCD，第(2)问是一个开放型问题，可有两种思维方式：一是猜想P是SD的中点，二是从结论“AP平行于平面SMC”出发找P满足的条件．

【答题模板】

(1)证明 连接BD，∵ABCD为正方形， ∴BD⊥AC，又SD⊥底面ABCD，

∴SD⊥AC，∵BD∩SD＝D，∴AC⊥平面SDB，∵BP?平面SDB， ∴AC⊥BP，即BP⊥AC.[4分]

(2)解 取SD的中点P，连接PN，AP，MN.

1

则PN∥DC且PN＝DC.[6分]

2

1

∵底面ABCD为正方形，∴AM∥DC且AM＝DC，

2

∴四边形AMNP为平行四边形，∴AP∥MN.

又AP?平面SMC，MN?平面SMC，∴AP∥平面SMC.[8分]

111111111

(3)解 VB—NMC＝VN—MBC＝S△MBC·SD＝··BC·MB·SD＝×1×××2＝.[12分]

3232262212

【突破思维障碍】

1．本题综合考查三视图、体积计算及线面平行、垂直等位置关系，首先要根据三视图想象直观图，尤其是其中的平行、垂直及长度关系，第(1)问的关键是根据三视图得到SD⊥平面ABCD，第(2)问是一个开放型问题，开放型问题能充分考查学生的思维能力和创新精神，近年来在高考试题中频繁出现这类题目．结合空间平行关系，利用平行的性质，设计开放型试题是新课标高考命题的一个动向．

2．线线平行与线面平行之间的转化体现了化归的思想方法．

1.直线与平面平行的重要判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质定理．

2.平面与平面平行的重要判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)利用结论：a⊥α，a⊥β?α∥β.

3.线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化：

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分) 1.(2011·开封月考)下列命题中真命题的个数为( )

①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α； ②若直线a在平面α外，则a∥α； ③若直线a∥b，直线b?α，则a∥α；

④若直线a∥b，b?α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线． A.1 B．2 C．3 D．4

2.已知直线a、b、c和平面m，则直线a∥直线b的一个必要不充分的条件是( ) A.a⊥m且b⊥m B．a∥m且b∥m C.a∥c且b∥c D．a，b与m所成的角相等 3.在空间中，下列命题正确的是( ) A.若a∥α，b∥a，则b∥α

B.若a∥α，b∥α，a?β，b?β，则β∥α C.若α∥β，b∥α，则b∥β D.若α∥β，a?α，则a∥β

4.设l1、l2是两条直线，α、β是两个平面，A为一点，有下列四个命题，其中正确命题的个数是( )

①若l1?α，l2∩α＝A，则l1与l2必为异面直线； ②若l1∥α，l2∥l1，则l2∥α；

③若l1?α，l2?β，l1∥β，l2∥α，则α∥β； ④若α⊥β，l1?α，则l1⊥β. A.0 B．1 C．2 D．3

5.若直线a，b为异面直线，则分别经过直线a，b的平面中，相互平行的有( ) A.1对 B．2对 C.无数对 D．1或2对 二、填空题(每小题4分，共12分) 6.(2011·秦皇岛月考)下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．

,

7.(2011·大连模拟)过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的有______条．

8.

如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，

a

B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，

3

Q在CD上，则PQ＝________.

三、解答题(共38分) 9．(12分)

如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点． 求证：MN∥平面AA1C1C.

10．(12分)(2010·湖南改编)

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点． 在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．

11．(14分)

(2011·济宁模拟)如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，BF⊥平面ACE，且点F在CE上．

(1)求证：AE⊥BE；

(2)求三棱锥D—AEC的体积；

(3)设点M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.

学案43 空间的平行关系

自主梳理

1．平行 相交 在平面内 平行 相交 2.(1)公共点 (2)a∥α (3)a∥β 3.a∥l 4.平行 相交 5.(1)公共点

(3)α∥β 6.a∥β a∥b 7.(1)a∥b (2)α∥β 自我检测

1．D 2.D 3.A 4.C 5．面ABC和面ABD 课堂活动区

例1 解题导引 证明线面平行问题一般可考虑证线线平行或证面面平行，要充分利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化．

证明

如图所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN. ∵矩形ABCD和矩形ABEF全等且有公共边AB，∴AE＝BD. 又∵AP＝DQ，∴PE＝QB， 又∵PM∥AB∥QN， PMEPQNBQPMQN∴＝，＝，∴＝. ABEADCBDABDC

∴PM綊QN，∴四边形PQNM为平行四边形， ∴PQ∥MN

又MN?平面BCE，PQ?平面BCE， ∴PQ∥平面BCE.

变式迁移1 证明 取PD中点F，连接AF、NF、NM. ∵M、N分别为AB、PC的中点，

11

∴NF綊CD，AM綊CD，∴AM綊NF.

22

∴四边形AMNF为平行四边形，∴MN∥AF. 又AF?平面PAD，MN?平面PAD， ∴MN∥平面PAD.

例2 解题导引 面面平行的常用判断方法有：

(1)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；

(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；关键是利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．

证明 方法一

如图所示，连接B1D1、B1C.

∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点， ∴PN∥B1D1. 又B1D1∥BD， ∴PN∥BD.

又PN?面A1BD， ∴PN∥平面A1BD.

同理MN∥平面A1BD.又PN∩MN＝N， ∴平面MNP∥平面A1BD. 方法二

如图所示，连接AC1、AC.

∵ABCD—A1B1C1D1为正方体， ∴AC⊥BD.

又CC1⊥面ABCD， BD?面ABCD，

∴CC1⊥BD，∴BD⊥面ACC1， 又∵AC1?面ACC1，∴AC1⊥BD. 同理可证AC1⊥A1B， ∴AC1⊥平面A1BD.

同理可证AC1⊥平面PMN， ∴平面PMN∥平面A1BD. 变式迁移2

(1)证明 如图所示，连接PG1、PG2、PG3并延长分别与边AB、BC、AC交于点D、E、F，连接DE、EF、FD，则有PG1∶PD＝2∶3，

PG2∶PE＝2∶3，∴G1G2∥DE.

又G1G2不在平面ABC内，DE在平面ABC内， ∴G1G2∥平面ABC. 同理G2G3∥平面ABC. 又因为G1G2∩G2G3＝G2， ∴平面G1G2G3∥平面ABC.

PG1PG222

(2)解 由(1)知＝＝，∴G1G2＝DE.

PDPE3311

又DE＝AC，∴G1G2＝AC.

23

11

同理G2G3＝AB，G1G3＝BC.

33

∴△G1G2G3∽△CAB，其相似比为1∶3， ∴S△G1G2G3∶S△ABC＝1∶9.

例3 解题导引 近几年探索性问题在高考中时有出现，解答此类问题时先以特殊位置尝试探究，找到符合要求的点后再给出严格证明．

(1)证明 连接AC，过点C作CE⊥AB，垂足为E. 在四边形ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB，AD＝DC， ∴四边形ADCE为正方形． ∴∠ACD＝∠ACE＝45°.

1

∵AE＝CD＝AB，∴BE＝AE＝CE.∴∠BCE＝45°.

2

∴∠ACB＝∠ACE＋∠BCE＝45°＋45°＝90°. ∴AC⊥BC.

又∵BC⊥PC，AC?平面PAC，PC?平面PAC，AC∩PC＝C， ∴BC⊥平面PAC.∵PA?平面PAC，∴PA⊥BC. (2)解 当M为PB的中点时，CM∥平面PAD.

取AP的中点F，连接CM，FM，DF.

1

则FM綊AB.

2

1

∵CD∥AB，CD＝AB，

2

∴FM綊CD.

∴四边形CDFM为平行四边形．∴CM∥DF. ∵DF?平面PAD，CM?平面PAD， ∴CM∥平面PAD.

变式迁移3 解 当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. ∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA. ∵P、O为DD1、DB的中点， ∴D1B∥PO.

又PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO， ∴平面D1BQ∥平面PAO. 课后练习区

1．A [①、②、③错，④对．]

2．D [注意命题之间的相互推出关系；易知选项D中，若两直线平行，则其与m所成的角相等，反之却不一定成立，故a、b与m所成的角相等是两直线平行的必要不充分条件．]

3．D [A不正确，由直线与平面平行的判定定理的条件知缺少条件b?α；B不正确，由两个平面平行的判定定理的条件，因a、b未必相交，而可能为两条平行直线，则α、β未必平行；C不正确，因有可能b?β；D正确，由两个平面平行的定义及直线与平面平行的定义知正确．]

4．A [①错，l1?α，l2∩α＝A，l1与l2可能相交． ②错，l2有可能在平面α内． ③错，α有可能与β相交．

④错，l1有可能与平面β相交或平行或在平面内．] 5．A

[如图，a，b为异面直线，过b上一点作a′∥a，直线a′，b确定一个平面β，过a上一点作b′∥b，b与b′确定一个平面α，则α∥β.因为α，β是惟一的，所以相互平行的平面仅有一对．]

6．①③

解析 ①∵面AB∥面MNP，∴AB∥面MNP， ②过N作AB的平行线交于底面正方形的中心O， NO?面MNP，

∴AB与面MNP不平行． ③易知AB∥MP， ∴AB∥面MNP；

④过点P作PC∥AB， ∵PC?面MNP，

∴AB与面MNP不平行． 7.

6

解析 如图，EF∥E1F1∥AB， EE1∥FF1∥BB1，F1E∥A1D， E1F∥B1D，

∴EF、E1F1、EE1、FF1、F1E、E1F都平行于平面ABB1A1，共6条． 228.a 3解析

如图所示，连接AC， 易知MN∥平面ABCD，

又∵PQ为平面ABCD与平面MNQP的交线， ∴MN∥PQ.

又∵MN∥AC，∴PQ∥AC，

a

又∵AP＝，

3

DPDQPQ2222∴＝＝＝，∴PQ＝AC＝a. ADCDAC333

9．证明 设A1C1中点为F，连接NF，FC， ∵N为A1B1中点，

1

∴NF∥B1C1，且NF＝B1C1，

2

又由棱柱性质知B1C1綊BC，(4分) 又M是BC的中点，

∴NF綊MC，

∴四边形NFCM为平行四边形． ∴MN∥CF，(8分) 又CF?平面AA1C1C， MN?平面AA1C1C，

∴MN∥平面AA1C1C.(12分)

10．解 在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.证明如下：

如图所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接B1F，EG，BG，CD1，FG.因为A1D1

∥B1C1∥BC，且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四

边形，因此D1C∥A1B.又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B.这说明A1，B，G，E四点共面，所以BG?平面A1BE.(6分)

因为四边形C1CDD1与B1BCC1都是正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且FG＝C1C＝B1B，因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B1F∥BG.而B1F?平面A1BE，BG?平面A1BE，故B1F∥平面A1BE.(12分)

11．(1)证明 由AD⊥平面ABE及AD∥BC， 得BC⊥平面ABE，BC⊥AE，(1分)

而BF⊥平面ACE，所以BF⊥AE，(2分) 又BC∩BF＝B，所以AE⊥平面BCE， 又BE?平面BCE，故AE⊥BE.(4分)

(2)解 在△ABE中，过点E作EH⊥AB于点H， 则EH⊥平面ACD.

1

由已知及(1)得EH＝AB＝2，S△ADC＝22.

2

(6分)

14

故VD—AEC＝VE—ADC＝×22×2＝.(8分)

33

(3)解 在△ABE中，过点M作MG∥AE交BE于点G，在△BEC中过点G作GN∥BC交EC于点N，

CNBGMB11

连接MN，则由＝＝＝，得CN＝CE.

CEBEAB33

由MG∥AE，AE?平面ADE，

MG?平面ADE，则MG∥平面ADE.(10分)

再由GN∥BC，BC∥AD，AD?平面ADE，GN?平面ADE， 得GN∥平面ADE，所以平面MGN∥平面ADE.

又MN?平面MGN，则MN∥平面ADE.(12分)

故当点N为线段CE上靠近点C的一个三等分点时， MN∥平面ADE.(14分)

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