高等数学对中学数学的指导

高等数学微积分知识对中学数学的指导综述

摘要：随着新课程改革的不断进步，中学数学 所涉及的高等数学的知识在高考中所占的比重越来越大，所以，作为一名中学教师，必须认真学习高等数学。用更高的数学知识武装自己，才能更加深刻的理解中学数学教材，这也是提高中学数学教学质量，实施素质教育的条件之一。指导学生学习高等数学与中学数学之间的内在联系，并将高等数学的思想方法渗透到中学数学中去是有重要的现实意义的。 关键词：高等数学；中学数学；数学方法

一 中学数学与高等数学的关系

1.中学数学

中学时代所学的数学基本上是17世纪中叶以前的数学。它主要研究常量的运算和固定不变图形的性质。中学数学教学内容总体上可以分为两个层次：表层和深层知识，表层知识包括概念，性质，法则，公式，公理，定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法。 2.高等数学

高等数学是以变量及变量之间依赖关系一函数作为研究对象的，主要是由极限论，微分学，积分学，级数理论，解析几何，微分方程的六部分组成的一个有机统一体。其中极限是基础；微分，积分是核

心，是从连续的侧面揭示和研究函数变化的规律性，微分手机从微观上揭示函数的局部性质，积分是从宏观上揭示函数的整体性质；级数理论是研究解析函数的主要手段；解析几何为微积分的研究提供了解析工具，为揭示函数的性质提供了直观模型；微分方程又从方程的角度把函数，微分，积分有机的联系起来，揭示它们之间的内在的依赖转化关系。

3.中学数学与高等数学的关系

中学数学的内容，是常量数学与变量数学的初步认识，是高等数学的基础，是高等数学中许多概念和理论的原型和特例所在，因此从高等数学观点来看中学数学，首先就要把高等数学中某些概念和理论与中学数学里相应的原型和特例联系起来，这样，就不仅能够加深对高等数学的理解，而且能使我们准确把握中学数学的本质和关键。总之，要力求将高等数学思想方法全面渗透中学数学，寻找高等数学与中学数学的结合点，这样有利于提高教学质量和教学水平，拓展学生的解题思路，提高解题能力。

二.高等数学方法在中学数学中的应用

微积分方法的应用

微积分是研究函数的积分，积分以及有关概念和运用的的数学分支，它是建立在实数，函数和极限的基础上的，微积分是一种数学思想。“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分，微积分堪称是人类智

慧最伟大的成就之一。 1.求函数的极值，最值

利用导数求函数的极大（小）值。求函数在连续区间[a，b]上最大（小）值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，从而使问题变得简单化。

x)=ax3+bx2+cx（a≠0） 例1. 已知f(在x=±1时取得极值，且f

（1）=-1

（1）试求常数a，b，c的值 （2）试判断说明理由。

f（x）=3ax2+2bx+c，因为x=±1是函数f（x）的解 （1）由题得，‘2极值点，所以x=±1是方程f'(x)=0的两根，即3ax+2b+c=0的两根.

f(x)=133x-x22是函数的极大值，还是极小值，并

f'(1)=03a+2b+c=0 （1）

f'(-1)=03a-2b+c=0 （2） 又(3)

由（1）（2）（3）解得，(2)由（1）得，

f(1)=-1 ，所以 a+b+c=-1

a=13b=0,c=-2,2

f(x)=133x-x22，所以(2,+∞)

当x<-1或x>1时，f'(x)>0,当-1

（-∞，-1）和（1，+∞）所以，函数f（x）在上是增函数，在（-1,1）上是

减函数。

即，当x=-1时，函数取得极大值f（-1）=1：当x=1时，函数取得极小值f（1）=-1.

例2. 用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截取一个小正方形，然后把四边翻转90度角，在焊接成盒子，问该容器高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ 解 设容器高为x cm，容器的体积为V（x）cm，则

32V（x）=x(90-2x)(48-2x)=4x-276x+4320x

3(0

求V(x)的导数，得

2V=12x-552x+4320=12(x-10)(x-36)

令V(x)=0，解得x1=10,x2=36(舍去)

当00,那么V(x)为增函数。 当10

因此，在定义域（0,24）内，函数V(x)只有当x=10时取得最大值.其最大值为

10）=10×（90-20）×（48-20）=19600（cm） V（

32.求函数的单调区间

32例3. 设函数f(x)=kx-3x+1(k≥0)

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）的极小值大于0，求k的取值范围。

2f(x)=-3x+1，所以f（x）的单调区间为(-∞，0],解 （1）当k=0时，

单调减区间为[0,+∞)；

2f'(x)=3kx2-6x=3kx(x-)k 当k>0时，

令f''(x)=0，解得，

x=0或x=2k

当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表： x (-∞,0) 0 2(0,) k 2 k 2(,+∞)k f'(x) + 增函数 0 - 0 + f(x) 极大减函数 值 极小值 增函数

22(-∞,0],(,+∞)[0]k所以函数f（x）的单调区间为；单调减区间为k

（2）当k=0时，函数f（x）不存在极小值。

f'(x)=11-x2-11-x2=0 当条件k>0，所以k的取值范围为

(2,+∞)

3.利用微积分证明代数式

例4.求证：

arcsinx+arcosx=π,其中x∈[-1,1]2

证明 当x=-1或x=1时，等式显然成立. 设

πππ,则C=，故arcsinx+arccosx=f(x)=arcsinx+arccosx,x∈[-1,1] 22211f'(x)=-=0221-x1-x则 f(0)=f(0)=πππ,则C=，故arcsinx+arccosx=222

所以f（x）=C,取x=0得，

三.结束语

中学数学是数学世界的基石，是进入数学的必经之路，是数学教育

工作者精心为全体中学生设计的多台阶，如何在中学生力所能及的范围内，尽量扩大它们的视野是我们每位数学教学工作者必须关心的事情.本文以高等数学中的微积分的方法为依据，详细的列举了在中学数学中的应用，从而启发中学教师巧妙的将高等数学的思想方法渗透到中学数学教学中去，使得高等数学和初等数学有机的结合起来，充分利用高等数学的思想和方法去指导中学数学教学.

参考文献

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/cr63.html