概率与数理统计期末试卷1(附答案)

附“标准正态分布函数值”： (2.0) 0.9772, (3.08) 0.999, (0.5) 0.6915

一．填空题：(共 8小题，每小题 3分，共24 分)

1．设P(B) 0.5,P(A B) 0.7，则P(AB) .

2. 已知随机变量X服从正态分布N（1，2），F(x)为其分布函数，则F (x).

3 若随机变量X

的概率密度为pX(x)

x2

4

，则E(X2) 100

, x 100

4设随机变量X概率密度为p(x) x2，以Y表示对X的四次独立重复

0, x 100

观察中事件{X≤200}出现的次数，则P{Y=2}= .

5.若二维随机变量（X,Y）在区域D {(x,y)/0 x 1,0 y 1}内服从均匀分布，则

P(X

1

Y X) . 2

6．若随机变量X与Y相互独立，且X服从正态分布N 1,9 ,Y服从正态分布N 2,4 ，则X 2Y服从________分布.

7．设随机变量X与Y相互独立且均服从二项分布B(10, 0.2), 则由切贝雪夫不等式有

PX Y 2}( )

8. 设X~N(0,4),Y~N(1,5)，且X与Y相互独立，则Z X Y的分布函数Fz(z) （ ）。 。

二．选择题：(共 小6题，每小题 2分，共12 分)

1．若当事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（ ）.

(a)P(C) P(A) P(B) 1 (b)P(C) P(A) P(B) 1

(c)P(C) P(AB) (d)P(C) P(A B)

2． 设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数，为使F(x) aF1(x) bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）

(a) a

32

,b (b) a 2,b 2 5533

13

(c) a 1,b 3 (d) a ,b

2222

3．设随机变量X服从正态分布N( , )，则随着σ的增大，概率P(X )（ ）.

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1

2

（a）单调增大 （b）单调减少 ( c) 保持不变 （d）可能增加也可能减少 4.设随机变量X服从N(0,1), 其概率密度为 (x), 则Y X的分布密度为（ ）.

(a) p(y) (y) (b) p(y) 1 (y) (c) p(y) ( y) (d) p(y) 1 ( y)

5．对于两个随机变量X与Y，若E(XY) EX EY，则（ ）.

(a)D(XY )DX DY b D X() Y( DX)

DY

(c)X与Y相互独立 d 与X 不相互独立 Y ()

6. 设X服从泊松分布，且E(2 X2) 4, 则 P(X 1) .

(a) 0 (b)e 2 (c)e 4 (d)e 1

三．计算题：(共7小题，每小题 8分，共56 分)

1．袋中装有5个白球，3个黑球。（1）从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率；（2）从中有放回连续取三次，求取到两次白球1次黑球的概率。

2. 已知随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 3 P

（1）求X的分布函数F(x) 及E(（2）求P( 1 X 3).

1111 2488

1) X 1

1 2

ax x 0 x

3．设连续型随机变量X的概率密度为 f(x) 2

0 其它

（1）求常数a ；

（2）求X的分布函数F(x) ；

1

(3 ) 求概率P( X 2).

7

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2

32

x 1 x 1

4．设连续型随机变量X的概率密度为 f(x) 2，试求随机变量

0 其它Y 3 X的概率密度fY(y)

5. 设随机变量Z在区间（1，4）内均匀分布，令 X 0 当Z 2 0 当Z 3

1 当Z 2, Y

1 当Z 3

求D(X Y)

6. 设（X,Y）在曲线y x2

与y x所围成的区域D中服从均匀分布。求

（1） 求（X,Y）的联合密度；

（2） 求边缘密度求边缘密度pX(x),pY(y)并判断X与Y是否相互独立； （3） 求概率P(X 1

2

).

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3

7. 设X与Y相互独立，且X 与Y均服从参数为λ=1的指数分布，求Z X Y的概率密度p(z)及概率P(X Y 1)

四．应用题：(共1 小题，共 8分)

银行为支付某日即将到期的债卷须准备一笔现金。已知这批债卷共发放了6000张，每张须付本息1万元。设持卷人（假设一人一卷）在到期日到银行领取本息的概率为0.6.问银行于该日应准备多少现金，才能以99.9%的把握满足客户的兑换

参考答案

一．填空题 (1) 0.2

(2)

e

(x 1)2

4

(3) 2 (4)

13

(5) (6) N (-3 ,25) (7) 0.2

48

z

(t 1)218

dt

二．选择题

（1）b （2）a （3）c （4）c （5）b （6）d

三．计算题 1． (1) P(A)

5 315225

; (2)P(B) C8228512

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4

2．

0 x 0 1

0 x 1 2 3 1 67

（1）F(x) 1 x 2， E

4 X 1

96 7

8 2 x 3

1 x 3 （3）P( 1 X 3)

7

8

0 x 0

(x) 2

3．（1）a = 21 (2 ) F 7x3 x1195

2 0 x 2 (3) P(7 x 2)

98

1 x 12

32

4. (1) f (3 y) 2 y 4

Y(y) fX(3 y) 1 2

0 其它

5．

. D(X Y) DX DY 2Cov(X,Y)

DX DY 2(EXY EX EY)

其中

EX P(X 1) 23,EY P(Y 1) 13,E(XY) P(X 1,Y 1)

1

3

D(X) 21122

3 3 D(Y) 3 3

9

故 D(X Y)

2929 1212

333) 9

6．(1) p(x,y)

6 (x,y) D

0 其它

(2) p2X(x) x x(0 x 1), pY(y) y(0 y 1)

(3) P(X

12) 112

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0 z 0 z

7. 因为Z的分布函数为F(z) z(1 e) 0 z 1，故Z的概率密度为

1 e z z 1

0 z 0

p(z) 1 e z ze z 0 z 1

e z z 1

四 解 设到期日有X张债卷来银行兑换，银行应准备y万元.

显然 X~B(600,0.6).而因为n=600较大，故X近似服从正态分布N(360,144). 由题意，求y,使得P(X y) 0.999 即 （

y 360

) 0.999.查表得 12

y 360

3.03 y 397(万元）. 12

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