概率论第二版第1、2章习题解答

第1章 随机事件与概率

习 题 1.2

2．一批产品由95件正品和5件次品组成，从中不放回抽取两次，每次取一件． 求：（1）第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率；（2）抽得正品和次品各一件的概率．

解 设A={第一次抽得正品且第二次抽得次品}，B={抽得正品和次品各一件}，则

11C95?C519P(A)?1??0.048， 1C100?C993961111C95?C5?C5?C9538P(B)???0.096． 11C100?C993963．从0,2,3,4,5,6这六个数中任取三个数，求取得的三个数字能组成三位数且为偶数的概率．

解 据题意，可分为“个位是0”与“个位不是0”两种情况，即所求事件的概率为

111A52?C3C4C45?4?3?4?417． p???3A66?5?4304．已知某城市中有55%的住户订日报，65%的住户订晚报，且至少订这两种报中一种的住户比同时订两种报的住户多一倍，求同时订两种报的住户占百分之几．

解 设A={住户订日报}，B={住户订晚报}，则P(A)?0.55，P(B)?0.65，

)?2P(A，B) 且 P(A?B)P(AB?)从而有 P(A)?P(B?2P(，A B

11P(AB)?[P(A)?P(B)]?(0.55?0.65)?0.4，

33即同时订两种报的住户占百分之四十．

5．从0~9十个数字中任取三个不同的数字，求：三个数字中不含0或5 的概率．

解 设A={不含数字0}，B={不含数字5}，则所求概率为P(A?B)．

333C9C9C814P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?3?3?3?．

C10C10C10156．10把钥匙中有3把能打开一把锁，现任取两把，求能打开锁的概率． 解 设A={任取两把钥匙，能打开锁}，利用对立事件，有

2C778P(A)?1?P(A)?1?2?1??．

C1015157．一盒中有10只蓝色球， 5只红色球，现一个个的全部取出．求第一个取出的是蓝色球，最后一个取出的也是蓝色球的概率．

解 设A={第一个取出的是蓝色球，最后一个取出的也是蓝色球}，则

1131C10A13C910?9?13!3P(A)???． 15A1515!78．把12枚硬币任意投入三只盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率． 解 设A={第一只盒子中没有硬币}，则

212?2?P(A)?12???．

3?3?9．把7个编号的同类型的球投进4个编号的盒子中，每个球被投进任何一个盒子中都是等可能的．求第一个盒子恰有2个球的概率．

解 设A={第一个盒子中恰有2个球}，则

2C7?35P(A)??0.311． 7412

10．从5副不同的手套中任意取4只手套，求其中至少有两只手套配成1副的概率．

解 设A={至少有两只手套配成1副 }，则

1111C54?C2?C2?C2?C213． P(A)?1?P(A)?1??4C102112112C5C4CC2?2C513或 P(A)??． 4C102111．一副没有王牌的扑克牌共52张，不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：（1）四张牌花色各异；（2）四张牌中只有两种花色；（3）四张牌中有三种花色．

解 设A={四张牌花色各异}，B={四张牌中只有两种花色}，C={四张牌中有三种花色}，则

1111C13?C13?C13?C13P(A)??0.105 5， 4C52222113C4(C13?C13?C2?C13?C13)P(B)??0.299 6， 4C5231211C4?C3?C13?C13?C13P(C)??0.584 3． 4C5212．掷三枚均匀的骰子，已知它们出现的点数各不相同，求其中有一枚骰子的点数为4的概率．

解 设A={其中有一枚骰子的点数为4 }，则

111C3CC43?5?41P(A)?15??． 11C6C5C46?5?4213．一间宿舍内住有8位同学，求他们之中至少有2个人的生日在同一个月份的概率．

解 设A={至少有2个人的生日在同一个月份}，则

8C12?8!P(A)?1?P(A)?1??0.954．

12814．四个人参加聚会，由于下雨他们各带一把雨伞．聚会结束时每人各取走一把雨伞，求他们都没拿到自己雨伞的概率．

解 设Ai={第i个人拿到自己的雨伞 }，B={四个人都没有拿到自己的雨伞 }，则

P(B)?P(A1A2A3A4)?P(A1?A2?A3?A4)?1?P(A1?A2?A?A4)

?1?[1?1113??]?． 2!3!4!815．有四个人等可能的被分配到六个房间中的任一间中．求：（1）四个人都分配到不同房间的概率；（2）有三个人分配到同一房间的概率．

解 设A={四个人分配到不同房间}，B={四个人中有三个人分配到同一房间}，则

4C6?4!5P(A)??，

6418311C4?C6?C55P(B)??． 465416．一袋中有n个黑球和2个白球，现从袋中随机取球，每次取一球，求第k次和第k+1次都取到到黑球的概率．

解 设A={第k次和第k+1次都取到到黑球}，则

11Cn?Cnn(n?1)?1?n!． P(A)??(n?2)!(n?2)(n?1)17．n个人围一圆桌坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率． 解 设A={甲、乙两人相邻而坐}，则

P(A)?2(n?2)!2?．

(n?1)!(n?1)

18．6个人各带一把铁锹参加植树，休息时铁锹放在一起，休息后每人任取一把铁锹继续劳动，求至少一个人拿对自己带来的铁锹的概率．

解 设Ai={第i个人拿到自己的铁锹 }，B={至少有一人拿对自己带来的铁锹 }，则

P(B)?1?P(B)?1?P(A1A2A3A4A5A6)?P(A1?A2?A?A4?A5?A6)

?1?1111191??????0.632． 2!3!4!5!6!14419．两艘轮船都要停靠同一泊位，它们可能在一昼夜的任意时间到达，设两船停靠泊位的时间分别需要1小时与2小时，求一艘轮船停靠泊位时，另一艘轮船需要等待的概率．

解 设x,y分别为甲，乙两船到达码头的时间，设A={一艘轮船停靠泊位时，另一艘轮船需要等待}．故样本空间??{(x,y)|0≤x≤24,0≤y≤24}， A发生的等价条件为“x≤y≤x?1”或“y≤x≤y?2”， 令 D?{(x,y)(≤x≤y，?x?1)≤(y≤x?y2),x(?y,?) }则样本空间的面积 S??24?24?5， 7611且区域D的面积 SD?242??232??222?69.5，

22则 P(A)?SD?0.12．0 7 S?20．平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为l(l?d)的针，求针与平行线相交的概率．

解 以x表示从针的中点到最近一条平行线的距离，针与其所夹角为?，则

?d?样本空间???(x,?)0≤x≤,0≤?≤??，事件A={针与平行线相交}发生的等

2??

A?B,B?A?BA，

p?P(B)?P(A)?P(BA)?P(A)?P(A)P(B|A)?0.7?0.3?0.8?0.94． （1）P{仪器全部能出厂}?pn?0.94n；

n?2n?2n?2（2）P{恰有两台不能出厂}?Cnp(1?p)2?Cn0.94n?20.062；

（2）P{至少两台不能出厂}

11?1?[pn?Cn(1?p)pn?1]?1?0.94n?Cn0.06?0.94n?1．

9． 5个元件工作独立，每个元件正常工作的概率为p，求以下系统正常工作的概率．

（1）串联；（2）并联；（3）桥式连接（如图1．4．1）．

解 设C为系统正常工作，利用独立性有

（1） 当元件串联时，需5个元件都正常工作，系统才能正常工作：

55P(C)?C5p?p5；

（2）当元件并联时，5个元件至少有一个正常工作，系统才能正常工作：

P(C)?1?(1?p)5；

（3）记中间的元件为A5，左面两个元件分别为A1,A3，右面两个元件为

A2,A4。当A5正常工作时，相当于A1,A3并联，与A2,A4并联电路再串联而得；当A5失效时，相当于A1,A2串联，与A3,A4串联电路进行并联而得．则

P(C)?P(A5)P(C|A5)?P(A5)P(C|A5)．

P(C|A5)?P[(A1?A3)?(A2?A4)]?[1?(1?p)2]2； P(C|A5)?P[(A1A2)?(A3A4)]?1?(1?p2)2；

故 P(C)?P(5A)P(C5|A?)222 (pP|A)?[?12(1p?)?]?115(A)P(C5?)

2 ?2p5?5p4?2p3?2p．

10． 已知一条昆虫生产n个卵的概率为

pn??nn!e??,(n?0,1,2,?,??0)，

设一个虫卵孵化为成虫的概率为p(0?p?1)． 若卵的孵化是相互独立的，求此昆虫的下一代有k条成虫的概率．

解 设Bk={昆虫的下一代有k条成虫}，An={昆虫共生产n个卵}，

n?0,1,2,?，注意到独立性，

kkn?k当n?k时，P(Bk|An)?0；当n≥k时，P(Bk|An)?Cnpq,(q?1?p)．

??P(Bk)??P(An)P(Bk|An)??P(An)P(Bk|An)

n?0n?k??n?k??nn!e???n!pkqn?k

k!(n?k)!(?p)k??p?(?q)n?k??q(?p)k??p?e?e?e,(k?0,1,2,?)．

k!(n?k)!k!n?k

第2章 随机变量及其分布

习 题2.1

1． 设随机变量X的分布列为P(X?k)?k6,(k?1,2,3)，求 P(X?2)；

P(X≤3)；P(1.5≤X≤2.5)．

解 P(X?2)?P(X?3)?31?； 62

?PX(? P(X≤3)123?2P)X?(?3?)??；

66621P(1.5≤X≤2.5)?P(X?2)??．

63?1)PX?(14． 在10件产品中有3件次品，从中任取2件，用随机变量X表示取到的次品数，试写出X的分布列及分布函数．

解 X取值0,1,2，且

211C7C7?C3C32177P(X?0)?2?,P(X?1)??,P(X?2)?2?， 2C1015C1015C1015 0 1 ? X的分布列为 ???．

7/15 7/15 1/15??分布函数F(x)?P(X≤x)， 当x?0时，P(X≤x)?0，

当0≤x?1时，P(X≤x)?P(X?0)?7， 1514， 15当1≤x?2时，P(X≤x)?P(X?0)?P(X?1)?当2≤x时，P(X≤x)?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2)?1，

x?0?0?7150≤x?1?故分布函数为 F(x)??．

?14151≤x?2?x≥2?1,6． 甲、乙、丙三人参加志愿者服务，每人在周一至周五任选两天，记X为这三人周五参加志愿服务的人数，求X的分布列．

解 记p?P{一人选中周五参加志愿服务}，q?P{一人没有选中周五参加

112C4C12C43志愿服务}，则p?2?,q?2?．

C55C55X为这三人周五参加志愿服务的人数，则X取值为0，1，2，3．且

327541121232P(X?0)?C30p0q3?()3?pq?C3()()?，P(X?1)?C3，

512555125233628330P(X?2)?C32p2q1?C32()2()?pq?()3?，P(X?3)?C3．

551255125所以X的分布列为

? 0 1 2 3???． 27/125 54/125 36/125 8/125??7. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，直到有一人投中为止，假定甲、乙二人投篮的命中率分别为0.4和0.5．求（1）二人投篮总次数Z的概率分布；（2）甲投篮次数X的概率分布；（3）乙投篮次数Y的概率分布．

解 （1）若Z?2k?1(k?1,2,?)：表示第2k?1次甲命中，前2k?2次甲、乙各投篮k?1次均未命中．则

P{Z?2k?1}?(1?0.4)k?1?(1?0.5)k?1?0.4?0.4?0.3k?1，

若Z?2k(k?1,2,?)：表示第2k次乙命中，前2k?1次甲投篮k次均未命中乙投篮k?1次均未命中。则

P{Z?2k}?(1?0.4)k?(1?0.5)k?1?0.5?0.3k．

即二人投篮总次数Z的概率分布为

k?1??P{Z?2k?1}?0.4?0.3(k?1,2,?)． ?k??P{Z?2k}?0.3（2）甲投篮次数X的取值为1,2,?，且事件{X?k}包含两种情况：（a）第k次甲命中，前面甲、乙各投篮k?1次均未命中；（b）第k次乙命中，前面甲投篮k次乙投篮k?1次均未命中．则

k?1 P{X?k}?(1?0.4)??(1k?10.5?)?0.?4k?1(1?0.?4k) ?0.5)(10.5k?1?0.3 ?0.7

即甲投篮次数X的概率分布为P{X?k}?0.7?0.3k?1,(k?1,2,?)．

（3）乙投篮次数Y的取值为0,1,2,?，且事件{Y?k}(k≥1)包含两种情况：（a）第k次乙命中，前面甲投篮k次乙投篮k?1次均未命中；（b）第k?1次甲命中，前面甲、乙各投篮k次均未命中．则

P{Y?0}?0.4

k P{Y?k}?(1?0.4?)?(1k?10.5?)?0.?5k(1?0.?4k) ?(10.5)0.4k?0. ?1.4 3?P{Y?0}?0.4,即乙投篮次数Y的概率分布为?． k?P{Y?k}?01.4?0.3,(k?1,2,?)?ae?2x, x≥0；?9． 设随机变量X的密度函数为f(x)??，求（1）常数a；（2）　??0,　　x?0.P(X?3)．

解 （1）由密度函数的性质?????f(x)dx?1，有

??0?所以a?2．

??01ae?2xdx?a?(?)e?2x2?????a?1， 2（2）P(X?3)??3f(x)dx??2e?2xdx?e?6．

32?, a?x???；?10． 设随机变量X的密度函数为f(x)???(1?x2)，求常

?0, x≤a.?数a的值，如果P(a?X?b)?0.5，求b的值．

解 由密度函数的性质?????f(x)dx?1，有

??a???a22dx??arctanx2?(1?x)??2??(?arctana)?1， ?2

布，而进货量为区间 [10,30]中的某一个整数，商店每售一单位商品可获利500元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则从外部调剂供应，此时每售出一单位商品仅获利300元，求此商店经销这种商品每周进货量为多少，可使获利的期望不少于9 280元．

解 设Y为商店的周利润，a为该商品每周的进货量．

?500X?100(a?X)?600X?100a,　10≤X≤a;利润函数为Y??， ??500a?300(X?a)300X?200a,　a≤X?30.???1　10≤x≤30;?,X的密度函数为f(x)??20．

?? 0,　其它.E(Y)??Y?f(x)dx??(600x?100a)???10??a3011dx??(300x?200a)?dx

a2020??7.5a2?350a?5250，

要使得E(Y)≥9280，即?7.5a2?350a?5250≥9280，有

26 3a2?140a?1612≤0， 解得 20≤a≤2．

3所以该商品每周的最小进货量为21单位．

?x?x22?e2a,13． 已知随机变量的X概率密度函数为f(x)??a2? 0,?x?0； x≤0.求随机变量Y?1X的数学期望．

解 E(Y)?? ?

????11?f(x)dx?2xa?????0e?x22a2dx?12a2?????e?x22a2dx

1(2??a)???2a21e2??a?x22a2dx?12?(2??a)?． 2a22a

习 题2.3

1． 某流水线上生产产品的不合格率为0.2，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修． 设开机后第一次停机检修时已生产的产品个数为X，求X的方差．

解 设X表示停机时已生产的产品数，可能取值为1,2,?，其分布列为

P{X?k}?(1?p)k?1p?qk?1p,k?1,2,?，其中p?0.2,q?1?p．

E(X)??xkpk??k(1?p)k?1p?p?(1?2q?3q2??)

k?1k?1???q??11?p?(q?q?q??)??p???p??， ?2(1?q)p?1?q?23E(X)??k(1?p)22k?1?k?1p?p?kq2k?1?k?1?p?(k?1)kqk?1?k?1?p?kqk?1

k?1?其中p?(k?1)kqk?1??k?1?q2???22， ?p(q?q??)???p??p??32(1?q)p?1?q?23p?kqk?1?E(X)?k?11， p所以 E(X2)?212?p??2， p2pp2?p11?p1?0.2?2?2??20． p2pp0.22方差 D(X)?E(X2)?[E(X)]2?2． 已知X的分布列为P(X?k)?2ak,(k?1,2,?)，求常数a及E(X)． 解 由分布列的性质，有?2ak?1，即2k?1?a1?1，所以a?．

31?a

???2???aa??kk?? E(X)??k?2a?2??(k?1)a??a??2??????1?a?1?a?k?1k?1?k?1????k?2a3?． 2(1?a)24． 设10只同种电器元件中有2只废品，装配仪器时，从这批元件中任取1只，若取到废品，则扔掉重新取1只，求在取到正品之前，已取出的废品数X的概率分布、数学期望及方差．

解 设Ak={第k次取到正品}， 而取出的废品数X的可能取值为0，1，2．

P{X?0}?P(A1)?84?， 105288??， 109452181???， 109845P{X?1}?P(A1A2)?P(A1)P(A2A1)?P{X?2}?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)?即X的分布列为

X 0 1 2 481 545454812E(X)?0??1??2??，

5454594814E(X2)?02??12??22??，

54545154288D(X)?E(X2)?[E(X)]2??()2?．

159405P 5． 某设备由三大部件构成，设备运转时，各部件需调整的概率为0.1，0.2，0.3，若各部件的状态相互独立，求同时需调整的部件数X的期望与方差．

解 设Ak={第k部件需要调整}．由题设，

P(A1)?0.1,P(A2)?0.2,P(A3)?0.3．

又X的可能取值为0，1，2，3，且A1,A2,A3相互独立，则

P{X?0}?P(A1A2A3)?0.9?0.8?0.7?0.504， P{X?1}?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)

?0.1?0.8?0.7?0.9?0.2?0.7?0.9?0.8?0.3?0.398，

P{X?2}?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)

?0.1?0.2?0.7?0.1?0.8?0.3?0.9?0.2?0.3?0.092，

P{X?3}?P(A1A2A3)?0.1?0.2?0.3?0.006． 即X的分布列为

X 0 1 2 3 0.504 0.398 0.092 0.006 3?0.，0

P ?0.3?98?20.?0?92则 E(X)?1E(X2)?12?0.398?22?0.092?32?0.006?0.82， D(X)?E(X2)?[E(X)]2?0.82?0.36?0.46．

16． 设X~f(x)?e?|x|,???x???. 求E(X),D(X)．

21?x解 被积函数xf(x)?xe是奇函数，且积分区间(??,??)关于原点对

2称，故

E(X)??????xf(x)dx??????1?xxedx?0， 2D(X)?E(X2)?[E(X)]2?E(X2) ??????x2??1?xedx??x2e?xdx?2．

02

? 0, x??1;?0.5?x?0.5x2, ?1≤x?0;?7． 已知随机变量X~F(x)??，求E(X) ,D(X)．20.5?x?0.5x, 0≤x?1;??? 1, x≥1.解 随机变量X的密度函数

?1?x,?f(x)?F?(x)??1?x,?0,?01?10?1≤x?0;0≤x?1;其它.

E(X)??x(1?x)dx??x(1?x)dx?0，

E(X2)??x2(1?x)dx??x2(1?x)dx??10011， 6D(X)?E(X2)?[E(X)]2?1． 68． 设随机变量X服从参数为0.7的0-1分布，求D(X2?2X)． 解 由于随机变量X服从参数为0.7的0-1分布，故

E(X)?0.7,E(X2)?0.7,E(X3)?0.7,E(X4)?0.7． D(X2?2X)?E(X2?2X)2?[E(X2?2X)]2

?E(X4?4X3?4X2)?[E(X2?2X)]2

?(0.7?4?0.7?4?0.7)?[0.7?2?0.7]2?0.21．

?3a2，　x≥a；?9． 设随机变量X的密度函数为f(x)??x4， 　?0，　　 x?a.?2求E(X),D(X),D(X?a)．

3解 由密度函数的性质，有???a3a2dx?1，得出a?1． 4x

E(X)????a2??3a23223ax?4dx?， E(X)??x?4dx?3a?3， ax2xD(X)?E(X2)?[E(X)]2?3a?93?， 442441D(X?a)?D(X)?a?1?． 393310． 设随机变量X服从[0,??]上的均匀分布，Y?cosX，求Y的期望与方差．

解 随机变量X服从[0,??]上的均匀分布，密度函数为

??20≤x≤;?,　f(x)???2

?? 0,　其它.2?2E(Y)?E(cosX)??cosx?f(x)dx??2cosxdx?，

???0???2?2?1?cos2x122E(Y)??cosx?f(x)dx??cosxdx??2dx?，

???0?0222??2D(Y)?E(Y2)?[E(Y)]2?14?． 2?211．在n次独立重复试验中, 成功率为0.75, 要使“试验成功的频率在0.74~0.76之间” 的概率不小于0.90，则至少要进行多少次试验?

解 设X为n次独立重复试验中成功的次数，则X~b(n,0.75)，且

E(X)?0.75n,D(X)?n?0.75?(1?0.75)?0.1875n．

由题设，有P{0.74≤P{0.74≤X≤0.76}≥0.90，即有 nX≤0.76}?P{0.74n≤X≤0.76n} n?P{X?E(X)≤0.01n}

≥1?D(X)0.1875n1875?1??1?≥0.90

(0.01n)2(0.01n)2n解得n≥18750，所以至少要进行18 750次试验．

12． 设X为非负连续型随机变量, 期望存在，应用切比雪夫不等式证明：对任意正实数a恒有P{X?a}≥1?E(X)a．

证明 设X的密度函数为f(x)，由于X取值非负，故对任意的a?0，有

P{X?a}??f(t)dt?1??0a??af(t)dt

??tt1??f(t)dt?1??tf(t)dt． 当t?(a,??)时，≥1，有P{X?a}≥1??aaaaa扩大积分限到(0,??)，被积函数tf(t)在(0,??)上非负，所以上述积分进一步增大，从而

P{X?a}≥1?1??E(X)tf(t)dt?1?． a?0a

习 题2.4

1． 设随机变量X~B(n,p)，已知E(X)?0.6,E(X2)?0.84，求两个参数n与p的值．

解 由题设E(X)?np?0.4，

D(X)?E(X2)?[E(X)]2?np(1?p)?0.48，

由以上两式解出n?3,p?0.2．

2． 设X服从泊松分布，已知2P(X?1)?P(X?2)，求P(X?3)及D(X)． 解 X服从泊松分布，P(X?k)??kk!e??, k?0,1,2,?

又2P(X?1)?P(X?2)，即

2??11!e????22!e??

由于参数?>0，所以解得??4．

43?4?e? P{X?3}3!D(X)???4． 0.1，95 43． 在一个繁忙的交通路口，设单独一辆汽车发生意外事故的概率为p＝0.001． 如果某段时间内有1 000辆汽车通过这个路口，问这段时间内，该路口至少发生1起意外事故的概率是多少？

解 设出事故的次数为X，则X~b(1000,0.001)，即有

P{X≥1}?1?P{X?0}

由泊松定理（这里??np?1000?0.001?1）得

P{X≥1}?1?P{X?0}?1?e?1?0.6322．

4． 一本5万字的学生用书，按常规允许出错率为0.000 1，求该书不多于10个错误的概率．

解 设出错误的次数为X，则X~b(50000,0.0001)，即有

P{X≤10}??P{X?i}

i?010由泊松定理（这里??np?50000?0.0001?5），并查泊松分布表，得

P{X≤10}??P{X?i}?0.986．

i?0105． 大型设备在任何长为t的时间内，发生故障的次数N(t)服从参数为?t

的泊松分布，求（1）相继两次故障之间的时间间隔T的概率分布；（2）在设备已无故障工作8小时的情况下，再无故障工作8小时的概率．

解 （1）由于T是非负随机变量，当t?0时，F(t)?P{T≤t}?0． 当t≥0时，由于事件{T?t}与事件{N(T)?0}等价，因此

F(t)?P{T≤t}?1?P{T?t}?1?P{N(t)?0}?1?e??t．

?1?e??t, t≥0;? 即T服从参数为?的指数分布， F(t)??

?? 0, t?0.（2）由上可知所求无故障工作8小时的概率为

P{T≥16,T≥8}P{T≥16}e?16?P{T≥16T≥8}????8??e?8?．

P{T≥8}P{T≥8}e6． 某车间有同类设备100台，各台设备工作互不影响． 如果每台设备发生故障的概率是0.01，且一台设备的故障可由一个人来处理，问至少配备多少维修工人，才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01．

解 设需配备N名维修工人，记同一时刻发生故障的机器台数为X，则

X~b(100,0.01)．

由题设，需确定最小的N，使得P{X?N}?0.01，即P{X≤N}≥0.99． 由泊松定理，这里??np?100?0.01?1，有

P{X≤N}??i?0N?ie??1ie?1??≥0.99， i!i!i?0N查泊松分布表可求得满足此式最小的N是4，故需至少配备4名维修工人．

7． 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射击的命中率为0.4，求E(X2)．

解 由题设，X~b(10,0.4)，则

E(X)?np?10?0.4?4，D(X)?np(1?p)?10?0.4?0.6?2.4，

E(X2)?D(X)?[E(X)]2?2.4?16?18.4．

8． 已知X服从参数为2的泊松分布，求随机变量 Z=3X-2的期望和方差． 解 由题设，X~P(?),??2，则E(X)???2,D(X)???2，

E(Z)?E(3X?2)?3E(X)?2?4， D(Z)?D(3X?2)?9D(X)?18．

9． 某保险公司规定，如果一年内某事件A发生，则公司赔偿客户一笔款a元，公司估算一年内A发生的概率为p，那么为使公司收益的期望值等于a/10，该公司应向客户收取多少保险金？

解 设保险公司应向客户收取的保险金额为x，保险公司的收益为Y，则Y的可能取值为?a,x．随机变量Y的分布列为

Y -a x p 1-p P E(Y)??ap?x(1?p)．

由题设，E(Y)?aa1?10pa． ，从而?ap?x(1?p)?，解得 x?101010(1?p)10． 某种商品每件表面上的疵点数X服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点． 若规定表面不超过一个疵点的为一等品，价值十元，表面疵点数大于1不多于4的为二等品，价值8元．某件表面疵点数是4个以上则为废品，求产品价值的均值和方差．

解 商品每件表面上的疵点数X服从泊松分布，由题设，??0.8，即

X~P(0.8)．设Y表示每件产品的价值，则Y的可能取值为10，8，0．查泊松

分布表，有

P(Y?10)?P(X≤1)?0.8088，

P(Y?8)?P(1?X≤4)?0.9986?0.8088?0.1898， P(Y?0)?P(X?4)?1?0.9986?0.0014．

所以 E(Y)?9.606,D(Y)?0.7518．

习 题2.5

3． 设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立且无故障工作时间均服从参数为?>0的指数分布． 当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，求电路正常工作的时间T的概率分布．

解 设Ti={第i个元件无故障工作的时间}，i?1,2,3．则T1,T2,T3相互独立同分布，其分布函数为

?1?e??t, t≥0; F(t)???0, t?0.依题意，T?min{T1,T2,T3}，设其分布函数为FT(t)． 当t?0时，F(t)?0，FT(t)?P{T≤t}?0； 当t≥0时，F(t)?1?e??t，

FT(t)?P{T≤t}?1?P{T?t}?1?P{T1?t,T2?t,T3?t}

?1?P{T1?t}P{T2?t}P{T3?t}?1?[1?F(t)]3?1?e?3?t．

?3?t?1?e, t≥0;故T的分布函数 FT(t)??

?0, t?0.?3?t?3?e, t≥0;密度函数为 fT(t)??

?0, t?0.

即T服从参数为3?的指数分布．

4． 设某仪器有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）均服从同一指数分布，其参数为1/600，求在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率．

解 设A={在仪器使用的最初200小时内电子元件损坏}，而X表示电子元件的寿命，则X服从指数分布，其密度函数为

?1xf(x)???e?600, x≥0; ?600?0, x?0.设Y表示在200小时内电子元件损坏的只数，记p?P(A)，则Y~b,3()pp?P(A)?P{X≤200}??2001?x600?10600edx?1?e3， 1所求概率为 P{Y≥1}?1?P{Y?0}?1?C0p0(1?p)3?1?(e?33)3?1?e?1． 6． 设?~N(5,9)，求P(??10)，P(2??≤10)．

解 ?~N(5,9，由题意有)

P(??10)?P(?≤10)?P????5?3≤10?5?3????(1.67)?0.9525，

P(2??≤10)?P??2?5??510??3?3≤5?3????(1.67)??(?1)

??(1.67)?[1??(1)]?0.9525?0.8413?1?0.7938．

7． 设?~N(1,0.62)，求P(??0)，P(0.2???1.8)．

解 ?~N(1,0.2，由题意有6) P(??0)?1?P(?≤0)?1?P????10?1??0.6≤0.6???1??(?1.67)

而．

??(1.67)?0.9525， P(0.2???1.8)?P(0.2??≤1.8)??(1.8?10.2?1)??() 0.60.64?2?()?1?2?0.9082?1?0.8164．

38． 某校电器班学生期末考试的数学成绩X近似服从正态分布N(75,102)，求数学成绩在85分以上的学生约占该班学生的百分之几？

解 由题意有X~N(75,102)，

P(X≥85)?1?P(X?85)?1??(85?75)?1??(1)?0.1587， 10故数学成绩在85分以上的学生约占该班学生的15.87%．

9． 将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器中，调节器定在d0C，液体的温度X(0C)服从N(d,0.52)．（1）若d?90，求P(X?89)；（2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至少为多少？

解 （1）若d?90，

P(X?89)??(89?90)??(?2)?1??(2)?1?0.9773?0.0227； 0.5（2）依题意有P(X≥80)≥0.99，从而P(X?80)?0.01，即

??由于0.01?0.5，所以则

?80?d???0.01，

?0.5?80?d?d?80??0．23.3)09.90?1故??而?(?≥0.99，0.50.5??，

d?800≥2.33，解得d≥81.165，从而d至少为82C． 0.510． 对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩（按百分制计）近似服从正态分布，平均分为72，且96分以上的考生数占2.3%，求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率．

解 设X为考生的外语成绩，由题设知X~N(?,?2)，其中??72． （1）现在求?2．由条件知，P(X≥96)?0.023，而

?96????96?72?P(X≥96)?1?P(X?96)?1????1?????

???????24??1?????0.023

???24?24??2， 即????0.977，由标准正态分布函数表有?(2)?0.9773，可见????故??12．这样，X~N(72,122)．

（2）所求概率为

?84?72??60?72?P(60≤X≤84)??????????(1)??(?1)

?12??12??2?(1)?1?2?0.0.8413?1?0.6826．

11． 设测量误差X～N(0,100)，求在100次独立重复测量中至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并用泊松分布求其近似值（精确到0.01）．

解 设A={一次测量中误差的绝对值大于19.6}，记p?P(A)． 设Y表示100次独立重复测量中事件A发生的次数，则Y~b(100,p)．而

?X?019.6?p?P(A)?P(X?19.6)?1?P(X≤19.6)?1?P?≤? 1010???1?[2?(1.96)?1]?1?[2?0.975?1]?0.05．

所求概率为P(Y≥3)?1?P(Y?3)?1??P(Y?k)，由泊松定理，这里

k?02??np?100?0.05?5，从而

P(Y≥3)?1??P(Y?k)?1?0.125?0.875．

k?0212． 某种电子元件在电源电压不超过200伏、200伏～240伏及超过240伏的三种情况下，损坏率依次为0.1，0.001及0.2，设电源电压X~N(220,252)，求（1）此种电子元件的损坏率；（2）此种电子元件损坏时，电源电压在200至240伏的概率．

解 设A1表示事件“电压不超过200伏”，A2表示事件“电压在200伏～240伏”，A3表示事件“电压超过240伏”，B表示“电子元件损坏”．则

P(BA1)?0.1,P(BA2)?0.001,P(BA3)?0.2

又因为X~N(220,252)，所以

?200?220?P(A1)?P{X≤200}??????(?0.8)?1??(0.8)?0.2119，

25???240?220??200?220?P(A2)?P{200?X≤240}????????

2525??????(0.8)??(?0.8)?2?(0.8)?1?2?0.7881?1?0.5762，

?240?220?P(A3)?P{X?240}?1?P{X≤240}?1?????1??(0.8)

25???0.2119．

（1）由全概率公式，有

P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.0642．

i?13（2）由贝叶斯公式，有

P(A2|B)?P(A2)P(B|A2)?0.009．

P(B)

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