报童的决窍

报童的决窍

摘要本论文讨论的是报童卖报问题,报童卖报问

题实际上就是通过分析,找出几种可能的方案,

通过求解,找出一个最优的方案来订报,使得报童赢利取得最大期望值或报童损失的最小期望值的临界值,也就是使报童获得的利益最大。

本文首先建立了最大期望值和最小期望值的模型 然后分别用连续的方法和离散的方法求解 最后得出结论。尽管报童赢利最大期望值和损失最小期望值是不相同的 但是确定最佳订购量的条件是相同的。

关键词 期望值、连续、离散

一、问题重述

报童每天清晨从报社购进报纸零售 晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份进购价为

b,零售价为a,退回价为c,自然地假设a>b>c.也就是说,报童售出一份报纸赚a-b,退回一份赔b-c,在他的销售范围内每天报纸的需求量为 r 份的概率是 f(r)(r=0,1,2,…).那么

报童每天要购进多少份报纸才能使收入最大

二、模型分析

如果每天购进的报纸太少 不够卖的 会少赚钱 如果购进太多 卖不完 将要赔钱。因此 存在一个最优的购进量 使得收入最大。因此 应当根据需求来确定购进量。然而每天的需求是随机的 进而每天的收入也是随机的。因此 优化问题的目标函数应是长期日平均收入 等于每天收入的期望。

三、模型假设

1 假设报纸每天的订购价格和出售价格不变 2 假设报童已经通过自己的经验或其他方

式掌握了需求量的分布 设在报童的销售范围内每天报纸需求量为 r 份的概率是 f (r ) 3 假设报纸的需求量不受天气等其它自然环境的影响

四、模型的建立

设每项天购进量为 n 份,因为需求量 r 是随机的,所以 r 可以小于 n,等于 n,或大于 n. 所以报童每天购进 n 份报纸时的平均收入为 G(n), (b-c)(n-r);

售出一份赚 a-b 退回一份赔 b-c:

如果这天需求量 r≤n,则他售出 r 份,退回 n-r 份 . 所以报童这天所得利益为(a-b)r 损失额 (1)为

如果这天需求量

(2) 。

则所进购报纸全部售出即售出 份所以报童这天所得利益为

r>n n (a-b)r ,

(a-b)n

又需求量

G (n) =

r

的概率为 f (r ) 于是得到

求 n 使 G(n)最大,即所得 n 就为报童最优的订报份数.

通常需求量 r 和购进量 n 都相当大 所以可以将 r 视为连续变量,便于分析和计算.

此时概率 f (r ) 转化为概率密度函数 p (r ), 则上式变成

G (n) =+

对求导得 G (n) :

=(a-b)np(n) ? (a ? b)np(n)+

=

令 得到

使报童日平均收入达到最大的购进量 n 应满足上式.

因为

,所以所以上式可表示为

:

根据需求量的概率密度函数 p(r)的图形可以确定购进量 n. 在图中用 p1,p2 别分表示曲线 p(r)下的两部分面积,则

当购进 份报纸时

np1=

是需求量不超过 的概率即卖不完

n,

的概率;p2=

是需求量 r 超过 n 的概率,所以从上式可以看出,

购进的份数 n 是卖不完与卖完的概率之比,恰好等于卖出一份赚的钱

a-b 与退回一份赔的钱 b-c 之比.

五、模型的求解

1、若每份报纸的购进价为 0.75 元 售出价为 1 元 退回价为 0.6 元 需求量服从均

值 500 份 均方差 50 份的正态分布 报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高

最高收入是多少

由题设得

a = 1, b = 0.75, c = 0.6 E (r ) = 500, σ r =50

不妨设报纸的需求量服从正态

分。

正态分布的密度函数为 因为

解得

n≈516

r =exp

P

=

G (n) = = 117

+

即报童获得最大收入的进报量为 516 份 最大收入为 117 元. 2、假设已经得到 159 天报纸需求量的情况如下表

表 159 天报纸需求量的分布情况

表中需求量在 100-119 的由 3 天 其余类推。根据这些数据。并假定 a=1 b=0.8 c=0.75 为报童提供最佳决策。

求解过程

对上表中需求量取均值得到其分布如下

求出此样本的均值及方差、标准差

E(r)=3/159*110+9/159*130+13/159*150+22/159*170+32/159*190+35/159*210+20/159*230

+15/159*250+8/159*270+2/159*290=199.9320

D(r)=E(= 1.4984e+003 S== 38.70955

所以 a= 1,b = 0.8,c = 0.75 E(r ) = 199.4340,σ r = 38.70955

G (n) =

令

得到 n=232

+

故

G (n)= 37.2

所以报童获得最大收入的进报量为 232 份 最大收入为 37.2 元

六、模型的结果分析、优化和推广

当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时 报童购进的份数就应该越多。这个问题属于随机存储模型 由于需求量是随机变量 在知道其概率分布的前提下 构 造利润函数 它是随机变量的函数 也是随机变量 根据期望利润最大 确定最佳定货量或 最佳存储量。这类问题又成为报童的诀窍或者随机存储策略。 参考文献

[1].姜启源、谢金星

[2]. 谢云荪等 [3] 周义仓等

附件: 1、 下面用

数学模型 第三版 高等教育出版社 2003.8 数学实验[M] 科学出版社 1999.8 数学建模实验[M] 西安交通大学出版社 1999.10. matlab

求解

m=500;

1 a=1;b=0.75;c=0.6;

s=50; n=norminv((a-b)/(a-c),m,s)

运行 matlab 得到结果

>> n =

515.9320

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/cqtv.html