上海交大、复旦、同济大学保送生数学试题

。。

交通大学2000年保送生数学试题

一、选择题(本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项

的字母填在括号内)

1．若今天是星期二，则31998天之后是 ( ) A．星期四 B．星期三 C．星期二 D．星期一

2．用13个字母A，A，A，C，E，H，I，I，M，M，N，T，T作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是 ( )

A．

48

13!

1 8

B．

216

13!

C．

1728

13!

D．

8

3．方程cos2x sin2x+sinx＝m+1有实数解，则实数m的取值范围是 A．m

B．m > 3

C．m > 1

D． 34．若一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程x2+px+q＝0的积是 ( ) A．pm B．p2m C．qm q2m 5．设f ’(x0)＝2，则lim

h 0

f(x

0 h) f(x0 h)

h

C． 4

D．4

( )

A． 2 B．2

二、填空题（本题共24分，每小题3分） 1．设f(x)1，则2

1

f(2x)dx ．

1 )的最小值是__________． cos2x

3．

__________． 4a)b

5．

6．都有100项，它们共同的项的个数是__________．

7．(0,1)和(1,2)内，则k的取值范围是__________． 8”的概率是________． 1．(6分)已知正数列a1，a2，…，an，且对大于1的n有a1 a2 an 试证：a1，a2，…，an中至少有一个小于1．

3n 1n，a1a2 an ． 22

。。

2．(10分)设3次多项式f(x)满足：f(x+2)＝ f( x)，f(0)＝1，f(3)＝4，试求f(x)．

1p 2p np

(p 0)． 3．(8分)求极限lim

n np 1

x2 bx c,x 01

4．(10分)设f(x) 在x

，原点

3x 0 lx m,

到f(x)中曲线部分的最短距离为3，试求b

5．(8分)证明不等式：1

6．

7．1．若射手甲先射，2

1

上．试求x

的点顺次构成等腰直角三角形△OB1A1，

△A1B2A2，…，直角顶点在曲线y

An的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在．

。。

复旦大学2000年保送生招生测试数学试题（理科）

一、填空题（每小题10分，共60分）

1．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第n组含n个数，即1；2，3；4，5，6；……．令an为第n组数之和，则an＝________________． 2．sin sin(

2

2

) sin2( )＝______________．

33

3．lim[(n 2)log2(n 2) 2(n 1)log2(n 1) nlog2n]＝_________________．

n

4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，

和底面成60度角，则两对角面面积之比为__________________．

5．正实数x,y满足关系式x2 xy 4＝0，又若x≤1，则y的最小值为_____________6．一列火车长500站台1000米． 二、解答题（每小题15分，共90分）

1．数列{an}适合递推式an+1＝3an+4，又a1＝1，求数列前n

2

3h

，相邻侧面的两面角等于2arcsin求该棱锥的体积．

(cos

1

， 2

12

1

) 4

。。

4．设z1,z2,z3,z4是复平面上单位圆上的四点，若z1+z2+z3+z4=0． 求证：这四个点组成一个矩形．

5

．设(1n xn yxn,y

n

61．问：半径至少为多大的圆盘才能盖住

。。

2001年上海交通大学联读班数学试题

一、填空题（本题共40分，每小题4分） 1．数N 2 5的位数是________________．

2．若log2[log3(log4x)]＝log3[log4(log2y)]＝log4[log2(log3z)]＝0，则x+y+z＝_________． 3．若log23＝p，log35＝q，则用p和q表示log105为________________．

4．设sin 和sin 分别是sin 与cos 的算术平均和几何平均，则cos2 :cos2 ＝____________． 5．设x [0,

12

8

2

]，则函数f(x)＝cosx+xsinx的最小值为________________．

6每边比正方形每边多2个小球，则这盒小球的个数为____________．

7．若在数列1，3，2，…数列的前100项之和是_______________．

8．在(1+2x x2)4的二项展开式中x7的系数是_______________． 9．某编辑在校阅教材时，发现这句：“从60°边截取a厘米的线段，求两个端点间的距离”，其中a1．虽然如此，答案却不必改动，即题目与答案仍相符合，则排错的a＝．

101的等差数

列的概率为_________________．

二、选择题（本题共32分，每小题4分）

11．a>0，b>0，若(a+1)(b+1)＝2，则arctana ( )

C．

4

D．

6

12后朝新方向走了313． C．3

D．不能确定

132

( )

( )

C．1 2

1 132

D．(1 2)

2

14,

y)|(x T)2+y2

≤T2,T＝t [t]}，则

( )

A．对于任何t，点(0,0)不属于S B．

S的面积介于0和 之间 C．对于所有的t≥5，S被包含在第一象限 D．对于任何t，S的圆心在直线y＝x上

15．若一个圆盘被2n(n>0)条相等间隔的半径和一条割线所分隔，则这个圆盘能够被分成的不交迭

区域的最大个数是 ( ) A．2n+2 B．3n 1 C．3n D．3n+1 16．若i2＝ 1，则cos45°+icos135°+…+incos(45+90n)°+…+i40cos3645°＝ ( )

A B．

2

C．

20i) 2

D．

(21 20i) 2

。。

17．若对于正实数x和y定义x y

xy

，则 x y

( )

A．”*”是可以交换的，但不可以结合 B．”*”是可以结合的，但不可以交换 C．”*”既不可以交换，也不可以结合 D．”*”是可以交换和结合的

18．两个或两个以上的整数除以N(N为整数，N>1)，若所得的余数相同且都是非负数，则数学上

定义这两个或两个以上的整数为同余．若69，90和125对于某个N是同余的，则对于同样的N，81同余于 ( ) A．3 B．4 C．5 D．7 三、计算题（本题共78分）

19．(本题10分)已知函数f(x)＝x2+2x+2，x∈[t,t+1]的最小值是g(t)．试写出g(t)

11

(x )6 (x6

) 2

20．(本题12分)设对于x>0，f(

21．(本题16分)已知函数f1(x)

f35(x)＝f5(x)，则f28(x)

22．(本题20分)已知抛物线族2y

23试求S1+S2+…+Sn+…和limxn．

n

。。

复旦大学2001年选拔生考试数学试题

一、填空(每小题5分，共45分)

1．sinx siny 0，则cos2x sin2y ___________________．

2．平面 1, 2成 的二面角，平面 1中的椭圆在平面 2中的射影是圆，那么椭圆短轴与长轴之比为__________．

3．(x2+2x+2)(y2-2y+2)＝1，则x+y ________________________．

4．电话号码0，1不能是首位，则本市电话号码从7位升到8位，使得电话号码资源增加____． 5．2002 83a3+82a2+8a1+a0，0≤a0,a1,a2,a3≤7正整数，则a0 ______________． 6

．(x15

的常数项为_________________． 7

．＝__________________．

n8．空间两平面 , ，是否一定存在一个平面均与平面 , 垂直？

9．在△ABC中，cos(2A C)＝cos(2C B)，则此三角形的形状是． 二、解答题(共87分)

1．求解：cos3xtan5x＝sin7x．

2．数列3，3 lg2，…,3 (n 1)lg2．问当nn

3

4． 1)有解？只有一解？

520公里米，在台风中心周围100米处将受到影响，问

1

x4

6．x3-2y3＝1的所有整数解(x,y)，试证明：| 23| ．

y|y|3

。。

上海交通大学2002年保送生考试数学试题

一、填空题（本题共64分，每小题4分）

1．设方程x3=1的一个虚数根为 ,则 2n n 1(n是正整数)=__________．

2．设a,b是整数，直线y=ax+b和3条抛物线：y=x2+3,y=x2+6x+7与y=x2+4x+5的交点个数分别是2，1，0，则(a,b)=___________．

3．投掷3个骰子，其中点数之积为9的倍数的概率为___________． 4．若x,y,z>0且x2+y2+z2=1，则

111 的最小值为___________． x2y2z2

111 =_____________． a2bc

5．若2x 2 x=2，则8x=______________． 6．若a,b,c为正实数，且3a=4b=6c，则7．(1

111)(1 ) (1 )的值为_____________． 22223n

sec2x tgx

8．函数y 的值域为______________．

sec2x tgx

9．若圆内接四边形ABCD的边长AB=4，BC=8，=9，则cosA=__________． 10．若a,b

满足关系： 12=____________． 11．

． 12的相异实根个数共有_____________个．

13=_______________．

14a b c，若b=n（正整数），则可组成这样的

15_______． 165所小学，各小学分别有电脑15，7，11，3，

________台，从第二小学向第三小学移交了台，移动总数是_________台． 二、计算与证明题（本题共86分） 17．（本题12分）（1）设n为大于2的整数，试用数学归纳法证明下列不等式：

1111x2sinx

1， (1)1 2 2 2 2 ；(2)已知当0 x 1时,1

23nn6x

试用此式与(1)的不等式求lim

1111(sin1 2sin 3sin nsin) n n23n

。。

2x a

有两x b

18．（本题14分）若存在实数x，使f(x)=x，则称x为f(x)的不动点，已知函数f(x)

个关于原点对称的不动点

(1) 求a,b须满足的充要条件；

(2) 试用y=f(x)和y=x的图形表示上述两个不动点的位置（画草图） 19．（本题14分）欲建面积为144m2的长方形围栏，它的一边靠墙（如

图），现有铁丝网50m，问筑成这样的围栏最少要用铁丝网多少米？并求此时围栏的长度．

2

20．（本题14分）设数列{an}满足关系an 1 2

anN 2,3, )， 试证明：(1) |a1| 1；

21．（本题16分）设f(|a,b为实数，且

0 a b,f(a) f(b) 2f(

a b

) 2

b满足3<b<4

22．（本题16分）A和B两人掷骰子，掷出一点时，原掷骰子的人再继续掷，掷出不是一点时，

由对方接着掷，第一次由A开始掷，设第n次由A掷的概率是Pn．试求：(1) Pn+1用Pn表示

的式子；(2) 极限limPn

n

。。

2003年上海交通大学冬令营选拔测试数学试题 2003.1.4

一、填空题（本大题共40分，每题4分）

1．三次多项式f(x)满足f(3)＝2f(1)，且有两个相等的实数根2，则第三个根为___________． 2．用长度为12的篱笆围成四边形，一边靠墙，则所围成面积S的最大值是_______________． 3．已知x,y R ，x+2y＝1，则

22

的最小值是______________． xy

4．有4个数，前3个成等比数列，后3个成等差数列，首末两数和为32，中间两数和为24，则这四个数是___________________．

5．已知f(x) ax7+bx5+x2+2x 1，f(2) 8，则f( 2) _______________． 6．投三个骰子，出现三个点数的乘积为偶数的概率是_______________． 7．正四面体的各个面无限延伸，把空间分为________________个部分． 8．有n个元素的集合分为两部分，空集除外，可有___________种分法．

9．有一个整数的首位是7，当7___________．

10．100!末尾连续有______________个零． 二、解答题（本大题共60分，每题10分）

11．数列{an}的a1 1，a2 3，3an+2 2an+1+an，求an和limn

12．3个自然数倒数和为1．求所有的解．

13．已知x1000+x999(x+1)+…+(x+1)50的系数．

12k

14．化简：(1) 1 n n!； (2) Cn 1 Cn 2 Cn k．

a3 2a

15．求证：4为最简分式． 2

a 3a 1

16．证明不等式() n! ()，当自然数n≥6时成立．

n2

n

n3

n

。。

复旦大学2003年暨保送生考试数学试题

一、填空题(本大题共80分，每题8分)

1t2

f(t x)，当x=1时，y t 5，则f(x)＝________________． 1．函数y 2x2

2．方程x2+(a 2)x+a+1 0的两根x1,x2在圆x2+y2 4上，则a _______________．

3．划船时有8人，有3人只能划右边，1人只能划左边，共有________种分配方法． 4．A＝{x|log2(x2 4x 4)>0}，B＝{x||x+1|+|x 3|≥6}，则A B=_______________． 5．数列{an}的前n项和为Sn，若ak=k·pk(1 p),(p≠1)，则Sk＝______________． 6．若(x 1)2+(y 1)2 1，则

y 1

的范围是___________________． x 3

7．边长为4的正方形ABCD沿BD折成60o二面角，则BC中点与A的距离是． 8．已知|z1| 2，|z2| 3，|z1+z2| 4，则

z1

______________． z2

9．解方程x

logax

x3

2，x＝________________． a

an

10．(a>0)，limn＝______________．

n 2 an

二、解答题(本大题共120分)

11．已知|z|＝1，求|z2+z+4|的最小值．

12．a1,a2,a3,…,ana≥2，求证：(

13

．已知sin cos

1a111

) ()a ()a ()a 2． a1a2a3an

cos sin tan cot 的值．

。。

x

(x>0)的图象上， 2

1 x

14．一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数y

求此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值．

15．一圆锥的底面半径为12，高为16，球O1内切于圆锥，球O2内切于圆锥侧面，与球O1…，

以次类推，

(1) 求所有这些球的半径rn的通项公式；

(2) 所有这些球的体积分别为V1,V2,…,Vn,…．求lim(V1 V2 Vn)

n

16．

17

，求S2003．

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同济大学2003年暨保送生考试数学试题

一、填空题

1．f(x)是周期为2的函数，在区间[ 1,1]上，f(x) |x|，则f(2m ) ___(m为整数)． 2．函数y cos2x 2cosx,x∈[0,2 ]的单调区间是__________________． 3

．函数y 2__________________．

4．

5．函数y＝f(x)，f(x+1) f(x)称为f(x)在x处的一阶差分，记作△y，对于△y在x处的一阶差分，称为f(x)在x处的二阶差分△2y，则y＝f(x)＝3x·x在x处的二阶差分△2y 6．

7．从1～100这100个自然数中取2个数，它们的和小于等于50的概率是． 8．正四面体ABCD，如图建立直角坐标系，O

影，则M点坐标是_________，CN与DM9．双曲线x2 y2＝1上一点P___________．

22xy 1在第一象限上一点P(x0,y0)10．椭圆

3

2

43

与坐标轴所围成的三角形的面积是二、解答题

11都成立，求k的取值范围． 12131

a,b,c的关系；(2) 若f(1) ，求f(x)的解2

求y的最小值；(2) 求取得最小值时的 ．

C C1 1

n

14E从A1出发沿棱A1AA

1的平面截三棱柱所得15(1) 若bn＝an an 1求bn；(2) 求

A1

1

b；(3) 求lima

ii 1

n

n

．

16．抛物线y2＝2px，(1) 过焦点的直线斜率为k，交抛物线与A,B，求|AB|．(2) 是否存在正方形

ABCD，使C在抛物线上，D在抛物线内，若存在，求这样的k，正方形ABCD有什么特点？

。。

上海交通大学2004年保送生考试数学试题(90分钟)2004.1.3

一、填空题：

1．已知x,y,z是非负整数，且x+y+z=10，x+2y+3z=30，则x+5y+3z的范围是__________． 2．长为l的钢丝折成三段与另一墙面合成封闭矩形，则它的面积的最大值是_________． 3．函数y x cosx（0 x

2

）的值域是_____________．

4．已知a,b,c为三角形三边的长，b=n，且a≤b≤c，则满足条件的三角形的个数为________． 5．x ax b和x bx c的最大公约数为x 1，最小公倍数为

2

2

x3 (c 1)x2 (b 3)x d，则a

6．已知1 a 7．(7

2004

2,则方程a2 x2 2 36)818的个位数是______________8．已知数列 an 满足a1 1,a2 2，且an 29．n n的正方格,10．已知6xyzabc 7abcxyz,则xyzabc11． 12．

1

2 1：2：3：…：a，求二项式的次数、a、以

3．ff(x)=0；（2）总有f(x)≠0．

4．

5．对于两条垂直直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切，求椭圆中心的轨迹．

6．已知 bn 为公差为6的等差数列，bn 1 an 1 an(n N)． (1) 用a1、b1、n表示数列 an 的通项公式；

(2) 若a1 b1 a，a [27,33]，求an的最小值及取最小值时的n的值．

x) f1[fn(x)]，且f36(x) f6(x)，求f28(x)．

。。

复旦大学2004年保送生考试数学试题（150分钟）2003.12.21

1．x8 1 (x4 2x2 1)(x4 ax2 1)，则a _________． 2．已知5x 5x 4 7，则x的范围是___________．

一、填空题（每题8分，共80分）

x2y2

1，则椭圆内接矩形的周长最大值是___________． 3．椭圆

169

4．12只手套（左右有区别）形成6双不同的搭配，要从中取出4只正好能形成2种取法． 5．已知等比数列 an 中a1 3，且第一项至第八项的几何平均数为9． 6．x (a 1)x a 0的所有整数解之和为27，则实数a．

2

(x 4)2y2x2y2

1，则7．已知的最大值为4949

8．设x1,x2是方程x xsin cos9．

10．3

2

353

01 arctgx2=__________． 5

1

2

3．已知过两抛物线C1：x 1 (y 1)2，C2：(y 1)2 4x a 1的交点的各自的切线互相垂直，求a．

0, 0, ，求tg2 ． 2

。。

4．若存在M，使任意t D（D为函数f(x)的定义域），都有f(x) M，则称函数f(x)有界．问函数f(x)

5．求证：1

6．已知E为棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱ABB到平面A1EC的距离．

7

8bn 1 6an 6bn，又a1 2，b1 4，

111

sin在x (0,)上是否有界？ xx2

12

3

13

3

1n

3

3．

。。

简单解答： 一、填空题：1. 二、解答题： 5．证明1：

1

2 2.( 0.6,0.8) 3.20 4.

3

1m

3

1(m 1)m(m 1)

1m 1

(1

1(m 1)m) 1m

1m 1)m

)

1m 1 m 1

=（

m 1

m 1 1

2

而

m

1 m 1

2

1m 1

1m 1

m 1 m 1

m

1m

原式<1+

3

11

111 324证明2：2n n n n(n 1)

11 ) 3 3

nn

。。

同济大学2004年自主招生优秀考生文化测试数学试卷

一、填空题（本大题共有8题，只要求直接填写结果，每题答对得5分，否则一律得零分，本

大题满分40分） 1．函数f(x) log1(sinx cosx)的单调递增区间是_______________________．

2

2．如图所示，为某质点在20秒内作直线运动时，速度函数

． v v(t)的图象，则该质点运动的总路程s=_____（厘米）

3．设a与b是两条非相互垂直的异面直线， 与 分别是过直线

a与b的平面，有以下4个结论：(1) b// ，(2) b ，(3) // ，

(4) ，则其中不可能出现的结论的序号为__________．

4．设某地于某日午后2时达到最高水位，为3.20米，下一个最高水位恰在12小时后达到，而最低水位为0.20米。若水位

高度h（米）的变化由正弦或余弦函数给出，则该地水位高度ht（单位：时，从该日零时起算）的函数的表达式为_______________． 5．设 是第二象限角，sin

3 57

,则sin 2 ． 5 8

2

6．已知复平面上点A与点B分别对应复数2与2iP对应复数Z，若复数z

对应点Q，点Q坐标为(x,y)，则点Q． 7．设有正数a与b，满足a<b，若实数x1,y1,x2,y21+y1是a与b的算术平均数，x2·y2是a与

．

825整除的五位．

60分） 9．

x) 4 2x2

10．（本题满分12分）求证：对于任何实数a与b，三个数：|a+b|,|a-b|,|1 a|中至少有一个不小于

1． 2

。。

11．（本题满分12分）设抛物线y=x2 (2k 7)x 4k 12与直线y=x有两个不同的交点，且交点总可

以被一个半径为1的圆片所同时遮盖，试问：实数k应满足什么条件？ 12．（本题满分12分）设四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为1

的正方形，且PA⊥面ABCD． (1) 求证：直线PC⊥直线BD；

(2) 过直线BD且垂直于直线PC的平面交

E—BCD

13．（本题满分y2=2px(p>0)，点B是抛物线的焦点，点C在正x轴上，动点A

C在什么范围之内时∠BAC是锐角？

。。

上海交通大学2005年保送、推优生数学试题

一、填空题（每小题5分，共50分） 1．方程x px

8

8

2

144

的两根满足． 0x,x

x x1212 2，则p _________（p R）2

2p

41

,x (0,)，则x=________________． 12821n 112004

)

，则n ______________． 3．已知n Z，有(1 ) (1

2．sinx cosx

4

56．78． 9．10二、解答题（第1题8分，第2、3、4题各10分，第5题12分）

1．x ax bx c 0的三根分别为a,b,c，并且a,b,c是不全为零的有理数，求a,b,c的值．

3

2

。。

2．是否存在三边为连续自然数的三角形，使得

(1) 最大角是最小角的两倍；(2) 最大角是最小角的三倍； 若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由．

ax2 8x b

3．y 的最大值为9，最小值为1，求实数a,b． 2

x 1

4．已知月利率为 ，采用等额还款方式，则若本金为1m关于 的函数关系式（假设贷款时间为2年）．

5

k有k个，是否存在整数r,s,t，使得对于任意正． x的最大整数）

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