2011级武科大数值计算基础复习指导及试卷

《数值计算基础》课程复习指导

第1章 绪论

1、有效数字、绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限的概念； 2、有效数字与绝对误差，有效数字与相对误差的关系； 3、如何判断有效数字，如何估算绝对误差限与相对误差限。 第2章 解线性方程组的直接法

1、直接法解线性方程组的思想，如何使用高斯消去法、列选主元消去法、全选主元消去法；

2、直接三角分解法解线性方程组的思想，矩阵的LU分解的条件，如何对矩阵进行LU分解。如何使用直接三角分解法、平方根法和追赶法法解线性方程组。 第3章 代数插值法与最小二乘法

1、插值的基本概念，插值问题的存在且唯一性；

2、如何使用待定系数法、拉格郎日插值法、牛顿插值法构造插值多项式及确定余项；

3、li(x),?(x)的性质及应用；

4、差商的定义、性质及应用；

5、如何使用分段线性插值及确定余项；

5、如何使用待定系数法构造埃尔米特插值多项式及确定余项； 6、如何使用曲线拟合的最小二乘法进行线性拟合。 第4章 数值积分与数值微分

1、机械求积与代数精度的概念，如何判定一个求积公式的代数精度； 2、如何通过代数精度法与插值法构造求积公式；

3、牛顿-柯特斯公式的定义及构造的方法，牛顿-柯特斯系数的性质；如何使用梯形公式、辛卜生公式、柯特斯公式计算定积分及确定余项；

4、复化求积法；如何使用复化梯形公式、复化辛卜生公式、复化柯特斯公式计算定积分及余项；

5、变步长求积法的思想，如何使用变步长梯形求积法和龙贝格求积法计算定积分； 6、高斯求积公式的定义及构造方法；

7、数值微分的数值方法，如何使用二点公式、三点公式计算微分。 第5章 常微分方程数值解

1、常微分方程数值解法的基本思想，欧拉方法、后退欧拉方法、梯形方法、改进欧拉方法公式的构造方法；

2、如何使用欧拉方法、后退欧拉方法、改进欧拉方法、龙格-库塔方法计算常微分方程； 3、局部截断误差与方法精度的定义，如何判断一个方法是几阶方法。 第6章 逐次逼近法

1、向量范数与矩阵范数的基本概念，常用的向量范数与矩阵范数，矩阵谱半径的基本概念。

2、如何使用简单迭代法和高斯-塞德尔迭代法解线性方程组，如何判断迭代法的收敛性。 3、如何使用简单迭代法、牛顿迭代法解非线性方程。如何判断迭代格式的收敛阶。

《数值计算基础》考试样卷

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1、数值x的近似值x*=0.1215×102，若满足x?x??( )，则称x有4位有效数字.

－

(A)

1111－－－－×103 (B) ×104 (C) ×105 (D) ×106 22222、若Ak为矩阵A的k阶主子矩阵，则矩阵A满足（ ）时，则存在唯一单位下三角阵

L和上三角阵R，使A?LR。

(A) A?0 (B) 某个Ak?0(C)Ak?0(k?1,?n?1) (D) Ak?0(k?1,?,n)

3、通过四个互异节点的插值多项式P(x)，只要满足( ), 则P(x)是不超过一次多项式。 (A) 初始值y0=0 (B) 所有一阶均差为0 (C) 所有二阶均差为0 (D) 所有三阶均差为0 4、牛顿切线法求解方程f(x)=0的近似根，若初始值x0满足( )，则解的迭代数列一定收敛。

(A)f(x0)f??(x0)<0

(B) f(x?)f??(x?)>0

(C)f(x?)f??(x?)?0 (D)f(x?)f??(x?)?0 5、改进欧拉法的平均形式公式是( )

???yp?yk?hf(xk,yk)?yp?yk?hf(xk??,yk)????(A)?yc?yk?hf(xk,yp) (B)?yc?yk?hf(xk??,yp)

??1?yk?1?(yp?yc)?yk????(yp?yc)??2??????yp?yk?hf(xk,yk)?yp?yk?hf(xk,yk)????(C)?yc?yk?hf(xk??,yp) (D)?yc?yk?hf(xk??,yp)

??h?yk???(yp?yc)?yk????(yp?yc)??????二、填空题（每小题3分，共15分）

1、sin1有2位有效数字的近似值0.84的相对误差限是 . 2、设f(x)可导，求方程x=f(x) 根的牛顿迭代格式是 . 23、设f(x)?2x?4，则f[1,2]? .

4、在区间?a,b?上的插值型求积公式系数A0,A1,┅,An满足A0?A1?┅＋An＝ . 5、二阶龙格－库塔法的局部截断误差是 . 三、解答题（每小题10分，共50分）

1、用列主元消去法解线性方程组

?240??x1??5??3?11??x???9? ???2??????2?20????x3????3??2、用牛顿法求6的近似值，取初始值x0?2，进行二次迭代。 3、已知有y=f(x)的函数表如下 x y 1 1 2 3 3 7 求其代数插值多项式并给出其余项。 4、给出数值积分公式：

?h?h1f(x)dx?Af(?h)?Bf(h)

3确定A、B使得该数值积分公式的代数精度尽可能的高，并确定其代数精度为多少？ 5、用欧拉法解初值问题，要求保留4位有效数字。

?y'?x?y(0?x?1,h?0.5) ??y(0)?1四、综合题（每小题10分，共20分）

1、试利用数值积分的方法推导求解初值问题的梯形公式为

hyn?1?yn?[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)] ，并证明该方法是二阶方法。

22、设l0(x)是以n+1个互异点x0,x1,x2,…,xn 为节点的拉格朗日插值基函数

l?(x)?(x?x?)(x?x?)...(x?xn)

(x??x?)(x??x?)...(x??xn)试利用牛顿插值法证明：

l0(x)?1?(x?x0)(x?x0)(x?x1)(x?x0)(x?x1)...(x?xn?1) ??...?(x0?x1)(x0?x1)(x0?x2)(x0?x1)(x0?x2)..x.0(?xn)《数值计算基础》考试样卷

参考答案

一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1、D 2、D 3、C 4、B 5、D 二、填空题（每小题3分，共15分） 1、

11?10?2?1??10?1?0.00625 2?8162、 xk?1?xk?xk?f(xk) ?1?f(xk)3、 6

4、 b-a 5、 O(h3)

三、解答题（每小题10分，共50分） 1、解：

?2405??3?119?2r2?(?)r1?3?119????r2?r1??3??2405??????2??r3?r13????2?203????2?203???1??014?3??8?0?3?59,x2回代得x3?22、解：

?3???? 8分 ?3?1119?9??r?4r???214?2327?1??????0?1????333??2259??00?9???377????11?4,x1?? 2分

2f(x)?x2?6，f'(x)?2x,?(x)?x?x0?2f(x)116?(x?6)，x?(x?) 7分 n?1n2xnf'(x)2165 3分 (2?)??2.500222151249x2?(?)??2.45022520x1?3、 解

法一： 待定系数法

设P2(x)?a0?a1x?a2x2，则 （3分）

?a0?a1?a2?1?a0?1???a0?2a1?4a2?3??a1??1 （3分） ?a?3a?9a?7?a?112?0?2即P2(x)?x2?x?1 （1分） 法二：Lagrange插值法

P2(x)??yili(x)i?02(3分)(3分) (1分)?(x?2)(x?3)(x?1)(x?3)(x?1)(x?2)?1??3??7(1?2)(1?3)(2?1)(2?3)(3?1)(3?2)?x2?x?1法三：Newton插值法

xi 1 2 3 yi 1 3 7 一阶差商 2 4 1 二阶差商 （3分）

N2(x)?f(x0)?f[x0,x1](x?x0)?f[x0,x1,x2](x?x0)(x?x1)?1?2(x?1)?(x?1)(x?2)?x2?x?1

余项为R2(x)?4、 解：

令f(x)?1,x时，该公式精确成立，则 2分

（4分）

f???(?)?(x?1)(x?2)(x?3) （3分） 6?A??A?B?2h?????1??A?B?0??B?3???即

1h2 4分 3h2?h?hf(x)dx?2131hf(?h)?hf(h) 1分 223令f(x)?x

左=

?h?hx2dx?231312h，右=h?(?h)2?h?(h)2?h3?左 1分 32233令f(x)?x3 左=

13134433h?(?h)?h?(h)??h?左 1分 ，右=xdx?0??h2239h即公式的代数精度为2次 1分

5、解：

使用欧拉法计算公式为

yn?1?yn?hf(xn,yn)?yn?h(xn?yn)?(1?h)yn?hxn?1.5yn?0.5xny1?1.5y0?0.5x0?1.5?1?0.5?0 2分 ?1.500y2?1.5y1?0.5x1 ?1.5?1.5000?0.5?0.5 2分

6分

?2.500四、综合题（每小题10分，共20分） 1、解：

y(xn?1)?y(xn)???yn?1xn?1xnf(x,y(x)dx?h[f(xn,y(xn))?f(xn?1,y(xn?1))]2h?yn?[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)]2 4分

阶次的证明：

即证y(xn?1)?yn?1?O(h3)

y(xn?1)?y(xn)?y?(xn)h?y??(xn)2h?O(h3) (1) 2分 2hyn?1?yn?[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)]

2令yn?y(xn)，右边的yn?1?y(xn?1)

hyn?1?y(xn)?[f(xn,y(xn))?f(xn?1,y(xn?1))]2y??(xn)h???y(xn)?[y(xn)?y(xn)?h?O(h2)] (2) 2分 21y??(xn)2?y(xn)?y?(xn)h?h?O(h3)2(1)－(2),得

y(xn?1)?yn?1?O(h3) 2分

2、 证明：

显然

l0(x0)?1,l0(x1)?0,l0(x2),...l0(xn)?0 2分 l0[x0,x1,?xk]??l0(xi)l0(x0)1 2分 ?????(x0)(x0?x1)(x0?x2)?(x0?xk)i?0?(xi)k则l0(x)的牛顿插值多项为：

Nn(x)?1?(x?x0)(x?x0)(x?x1)(x?x0)(x?x1)...(x?xn?1) ??...?(x0?x1)(x0?x1)(x0?x2)(x0?x1)(x0?x2)...(x0?xn)2分

又因为l0(n?1)(x)?0，故有

(n?1)l(?)l0(x)?Nn(x)?0(x?x0)(x?x1)...(x?x)?0 2分

(n?1)!所以有

l0(x)?Nn(x)?1?(x?x0)(x?x0)(x?x1)(x?x0)(x?x1)...(x?xn?1) ??...?(x0?x1)(x0?x1)(x0?x2)(x0?x1)(x0?x2)..x.0(?xn) 2分

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