北师大版 数学 上 章实数 导学案

第二章 实数

第一课时 数怎么又不够用了

一、 知识回顾 ①有理数的分类：

有理数

②实数的分类：

??整数?有理数??有限小数或无限循环小数?实数??分数???无理数?无限不循环小数??正有理数正实数???正无理数?? 实数?0?负有理数?负实数????负无理数?3?例1：练习：在， －π，0，0.3 ， ，0.33 ，0.3131131113…（两个3

73之间依次多一个1）中 属于有理数的有： 属于无理数的有： 属于实数的有：

一、按要求完成下列题目

1.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

???413.14，－，0.57，0.1010010001…，0.4583，3.7，－π，－

37

2..把下列各数分别填入相应的集合里：

1222 ??，?，7，327，0.1010010001…，0.5，?0.36，39，4，16

3139实数集{ …}，

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无理数集{ …}， 有理数集{ …}， 分数集{ …}， 负无理数集{ …} 3.判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。 （1） 无限小数都是无理数；（ ） （2） 无理数都是无限小数（ ）

（3） 有理数都是实数，实数不都是有理数；（ ） （4） 实数都是无理数，无理数都是实数；（ ） （5） 实数的绝对值都是非负实数；（ ） （6） 有理数都可以表示成分数的形式。（ ） （7） 有理数与无理数的差都是有理数. （ ） （8） 两个无理数的和不一定是无理数（ ）

平方根(一)

【学习目标】

1.掌握算术平方根的定义；2.会求一个数的算术平方根。

【学习重难点】掌握算术平方根的定义，会求一个数的算术平方根 一、预习导学： 1. 算术平方根

1.计算：42= ； 72= ；92 = ;112 = 。 2．填底数：( )2=16，（ ）2=49，( )2=81， ( )2=121. 3.

x2 =______

y2 =______

z2 =______

w2 =______

二、探索新知

算术平方根的概念：

一般地,如果一个正数x的平方等于a ,即x2=a ,那么这个数x就叫做a的 ____记做 ；读叫做 .

注：特别地,我们规定0的算术平方根是0,即0?0.

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2. 例1 求下列各数的算术平方根：

（1）900； （2）1； （3）

4964； （4）14．

例2 自由下落物体的高度h（米）与下落时间t（秒）的关系为h=4.9t2．有一

铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？

结论：

（1）算术平方根的概念，式子a中的双重非负性：一是a≥0，二是a≥0． （2）算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根． 三、边学边练 （一）、填空题：

1．若一个数的算术平方根是7，那么这个数是 ； 2．9的算术平方根是 ； 3．(23)2的算术平方根是 ； 4．若m?2?2，则(m?2)2= ． A

（二）、求下列各数的算术平方根：

36，121，15，0.81，10?4，1.96，(5)0，10691446，25

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C

三、如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？

四、一个正方形的面积变为原来的4倍，其边长变为原来的多少倍？面积变为原来的9倍，其边长变为原来的多少倍？面积变为原来的100倍，其边长变为原来的多少倍？面积变为原来的n倍，其边长变为原来的多少倍？

五、 已知x?2?y?4?0，求yx的值．

平方根（2）

【教学目标】：

1.了解平方根的概念、开平方的概念. 2.明确算术平方根与平方根的区别与联系. 3.进一步明确平方与开方是互为逆运算. 【教学重难点】：

平方根与算术平方根的区别与联系. 【自学指导】：

一 看P40---P41并思考一下问题： A. 什么样的数有平方根？

B. 算术平方根与平方根的区别与联系是什么？谈谈你的看法？

C. 负数为什么没有平方根，即负数不能进行开平方运算的原因是什么？ D. 什么叫开平方呢？我们共学了几种运算呢，这几种运算之间有怎样的联

系呢？

E. 一个正数有几个平方根？ F. 0有几个平方根?

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二、 探讨，总结：

A. 平方根与算术平方根的联系与区别 联系：

(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.

(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有. (3)0的平方根，算术平方根都是0. 区别：

(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“非负数a的非负平方根叫a的算术平方根”.

(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.

(3)表示法不同：正数a的平方根表示为±a，正数a的算术平方根表示为a.

(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个.

B. 一个正数有两个平方根，它们互为相反数。0只有一个平方根，它

是0本身。负数没有平方根。一个正数a有两个平方根,它们互为相

反数。正数a的正的平方根,记作“a”，正数a的负的平方根,记作“-a”，这两个平方根合在一起记作“±a”。

C. 开平方与平方互为逆运算。因此，我们可以通过平方运算来求一个

数的平方根。

_ 根号

_ 的正平方根 a

_ 的负平方根 a

D.

_ 被开方数

E. 一般地,如果一个数的平方根等于a,那么这个数叫做a的平方根,也

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称为二次方根.也就是说,如果x2=a,那么x叫做a的平方根.

三、巩固练习：

1、判断题（正确的打“∨”，错误的打“×”）；

（1）任意一个数都有两个平方根，它们互为相反数； （ ） （2）数a的平方根是±a； （ ） （3）—4的算术平方根是2； （ ） （4）负数不能开平方； （ ）

（5）±64=8． （ ） 2.判断下列各数是否有平方根？并说明理由.

2222

(1)(－3)；(2)0；(3)－0.01；(4)－5；(5)－a；(6)a－2a+2 3.求下列各数的平方根.

7(1)121；(2)0.01；(3)2；(4)(－13)2；(5)－(－4)3

94.对于任意数a，a2一定等于a吗？

5.a中的被开方数a在什么情况下有意义，(a)2等于什么？ 四、作业

1.16既 的平方根是 。 2． 64的平方根是（ ）

A．±8 B．±4 C．±2 D．±2 3． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ）

111 A．4 B． C．- D．

8444．计算：

（1）-9= （2）9= （3）±1 = （4）±0.25= 16915；（4）1；（5）1；（6）0．09 25495．求下列各数的平方根． （1）100； （2）0；（3）6．

立方根

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16的平方根是_______；9的平方根是_______． 81学习目标

1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。

2、能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算。 学习重点：立方根的意义及其表示方法。 学习难点：立方根与平方根的区别。 预习导学

一、创设问题情境，引入立方根概念

1.问题2 要做一只容积为125cm3的正方体木箱，它的棱长是多少? 与“平方根”类似，讨论和研究以下问题：

（A） 这个实际问题，在数学上提出怎样的一个计算问题?如何解？

（B） 你能找一个数，使这个数的立方等于125吗? 2.试一试

我们先来算一算一些数的立方.

23=______ ;(-2)3=______; 0.53=_____;(-0.5)3=______; 22()3=_____;-()3?=_____ ; 03=______. 333.立方根的表示方法：

类似平方根定义可知,若x3=a则x为a的立方根,记为3a,读作“三次根号a”

因为53?125，所以5是125的立方根，即 3125?5 求一个数的立方根的运算，叫做开立方。其中a叫做被开放数。 4. 讨论以下问题：

1、 27的立方根是什么? 2、－27的立方根是什么?

3、0的立方根是什么?

5.根据以上题目的答案，回答以下问题： 1、正数有几个立方根?

2、0有几个立方根? 3、负数有几个立方根?

4、从以上问题中你发现了什么? 【总结归纳】

一个正数有一个正的立方根 0有一个立方根，是它本身 一个负数有一个负的立方根 任何数都有唯一的立方根

二 自主训练

1.参照教材P45例1，求下列各数的立方根： (1)64 (2)－125 (3)－0.008

2.参照教材P46例2求下列各式的值：

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(1)

31000 (2)；

3312510003； (3) ?；(4)

647291；

三、达标作业

一、选择题

1.下列说法中正确的是（ ） A.－4没有立方根 11C.的立方根是 3662.在下列各式中：32

B.1的立方根是±1

D.－5的立方根是3?5

410 = 30.001=0.1,30.01 =0.1,－3(?27)3=－27,273其中正确的个数是（ ）

A.1 B.2 3.若m<0，则m的立方根是（ ）

A.3m

B.－ 3m

C.3

D.4 D. 3?m

C.±3m

4.下列说法中，正确的是（ ）

A.一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数 B.一个有理数的立方根，不是正数就是负数 C.负数没有立方根

D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1 二、填空题

6.364的平方根是______. 7.（3x－2）3=0.343,则x=______. 8.若x?11+?x有意义，则3x=______. 889.若x<0，则x2=______,3x3=______. 10.若x=(3?5)3，则?x?1=______.

三、解答题

11.求下列各数的立方根

17125（1）729 （2）－4 （3）－ （4）（－5）3

2721612.求下列各式中的x. (1)125x3=8

(2)(－2+x)3=－216 (3)3x?2 =－2

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(4)27(x+1)3+64=0

实数（1）

【 目标】：

了解无理数发现的历程，知道无理数是客观存在的； 知道实数的概念并能对实数进行正确的分类；

知道实数与数轴上的点一一对应，会用数轴上的点表示实数；会判断一个数是有理数还是无理数。 【学习指导】： 一无理数的定义。

无理数具体形式表示常见的类型。（根号，直接表现，π的倍数等） 实数可进行如下分类:

按定义分类：

按正负分类：

??正有理数?正实数??正无理数???零?负有理数?负实数????负无理数 实数?有理数和无理数的区别：把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数或无限循环。

与有理数一样,实数a的相反数是-a; 一个正实数的绝对值是它本身, 一个负实数的绝对值是它的相反数, 0的绝对值是0; 非零实数a与 互为倒数. 写成式子形式为:( 请第一组出数, 其它人说出它的相反数. 绝对值和倒数)

a=

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表 示, 反过来, 数轴上的每一个点都可以表示一个实数,即实数和数轴上的点是一一对应关系.

实数大小的比较: 有理数大小的比较法则在实数范围内仍适用: 数轴上任意两点, 右边点所表示的实数总比左边的点所表示的实数大; 正数大于0, 0大于负数, 正数大于一切负数, 两个负数比较大小, 绝对值大的反而小.

3 常见的无理数：（1）开不尽的方根：2、5等 （

34　*4、?125、1681不是）

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? （2）?及含?的数：?、3等

（3）不循环的无限小数：0.1010010001…

(1)有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，例如5=5.0；分数都可以化为有限小数或无限循环小数，例如12=0.5(有限小数)，13=0.3(无限循环小数).

(2)无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数，如2，33等，也有π这样的数.

二、提高练习：

1判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由. (1)无理数都是开方开不尽的数.( ) (2)无理都是无限小数.( ) (3)无限小数都是无理数.( )

(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( ) (5)不带根号的数都是有理数.( ) (6)带根号的数都是无理数.( ) (7)有理数都是有限小数.( )

(8)实数包括有限小数和无限小数.( ) 2填空题

272???41251.—的立方根是______，的平方根是________.

2.?8的相反数是_______,绝对值等于3的数是________. 3.满足—2

334.12350是12.35的_______倍.

3?45075.已知= —16.52，x=1.652，则x=_________.

336.用“<”或“>”号连接下列各数：

26（1）— 16_____ —4.2 ; (2) —20_____ —32 ；（3）3_____9.

7.若一个正数的平方根是2a—1和—a+2 , 则a=______, 这个正数是________. 8.估算：面积是20m的正方形，它的边长是______m (精确到0.1m). 二、选择题

9.面积为2的正方形的边长是（ ）.

(A)整数 (B)分数 (C)有理数 (D)无理数 10.下列说法正确的是（ ）.

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2

(A)一个数的算术平方根都是正数

(B)一个数的立方根有两个，它们互为相反数 (C)只有正数才有平方根

(D)一个数的立方根与这个数的符号相同

三总结评价：今天的学习，我学会了： 我在 方面的表现很好，在 方面表现不够，以后要注意的是： 总体表现（优、良、差），愉悦指数（高兴、一般、痛苦）。

实数(二)

知识与技能目标：

1.了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用.

2.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则，运算律在实数范围内正确计算.

3.正确运用公式

a?b?a?b(a?0,b?0); aa?(a?0,b?0).

bb 重点

1.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能在实数范围内正确进行运算.

2.发现规律：

a?b?a?b(a?0,b?0);

aa?(a?0,b?0).并能用规律进行计算.

bb 过程

一探究新知

在实数范围内如何求相反数、倒数、绝对值，它们的求法和在有理数范围内的求法相同.那么在有理数范围内的运算法则、运算律等能不能在实数范围内继续用呢？

1.有理数的运算法则在实数范围内仍然适用.

如：2?3?3?2，

3?2?11?3?(2?)?3, 2222?32?(2?3)2?52.所以说明有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。

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1、计算： (1)3?1?1； 3(2)7?7； (3)(25)2； (4)(2?12). 22.做一做：填空 (1)4?9=_________，4?9=_________； (2)16?9=_________，16?9=_________； (3)

44=_________，=_________；

991616=_________. ?_________，2525

(4)

以下用计算器进行计算：

(5)6?7=_________，6?7=_________；

66=_________，=_________；

77导学：请 先计算，然后 找出规律.

4?9?4?9； 16?9?16?9;441616

?,?;

925259

6?7?6?7;66?.

77

如果把具体的数字换成字母应怎样表示呢？

a?b?a?b(a≥0,b≥0)；

aa (a≥0,b＞0) ?bb12 / 23

巩固练习化简： (1)6?2； 3(2)27?3－4； (3)(3－1)2； (4)

6?2； 36. 54(5)

二例题讲解 化简：

(1)12?3?5；(2)

三课堂练习

1、化简：(1)5?22

). 36?3；(3)(5+1)2；(4)(2?1)(2?1). 2912?6；(2)；(3)(1+3)(2－3)； 208(4)(3?2.化简：

(1)80?5?50?2；(2)(1+5)(5－2)； (3)2(2?8)；(4)

21?7； 3(5)(3?

12410?540)；(6). 3102.一个直角三角形的两条直角边长分别为5 cm和45 cm，求这个直角三

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角形的面积.

实数（三）

学习目标：

1. 公式a?b?a?b（a≥0，b≥0），

ab?a（a≥0，b＞0）从右往左的运b用．

2. 了解含根号的数的化简，利用化简对实数进行简单的四则运算． 重点

1.两个法则的逆运用.

2.能运用实数的运算解决简单的实际问题。 难点

灵活地运用法则和逆用法则进行实数的运算.

学习过程

一、复习引入

下面正方形的边长分别是多少？

面积8

面积2

这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算律解释它吗？

二、知识探究 探究（一）： 1．能否根据上一课时探究的公式：a?b?a?b（a≥0，b≥0），（a≥0，b＞0）．将8化成22？

2. 巩固练习：

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ab?ab化简：（1）45；（2）27；（3）54；（4）

3.反思：以上化简过程有何规律呢？ 探究（二）: 1. 议一议：

2. 练习：化简：

1258；（5）． 9161怎样化简呢？ 21． 3

3.反思：被开方数含有分母，常用的化简方法是什么？

4. 小结归纳：

带根号的数的化简要求：

（1）使被开方数不含开得尽的数； （2）使被开方数不含分母． 三、知识巩固

化简：（1）18；（2）33?75；（3）

四、知识拓展

化简：（1）128； （2）9000； （3）212?48；

（4）

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2． 73221??50?32； （5）320?45?； （6）． 2395

五、课堂测试 1．计算

321175的结果是 ( ) ?48?324A. 2 B. 0 C. -3 D. 3 2．化简： ①32?3

3．已知x?2?3,y?2?3,求x2?xy?y2。

六、课堂小结

（1）被开方数中含有 或者含有 的式子需要化简； （2）公式a?b?a?b（a≥0，b≥0），

115?20； ②； ③(7?7)2?(7?7)2。 ?28125ab?a（a≥0，b＞0）从左往右或b从右往左在化简中会灵活运用．

七、总结评价：今天的学习，我学会了： 我在 方面的表现很好，在 方面表现不够，以后要注意的是： 总体表现（优、良、差），愉悦指数（高兴、一般、痛苦）。

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实数复习（1）

【复习目标】

1.进一步掌握平方根、立方根的有关概念、表示方法和性质。 2.能熟练地进行开平方和开立方运算，掌握几种基本公式 3.增强用数形结合方法分析问题的能力

【学习重点】平方根、立方根的性质和运算 【学习难点】几种基本公式的掌握 【学习过程】［知识点回顾］ ㈠算术平方根

11.的算术平方根为（ ） 169算术平方根的定义：

12. －有算术平方根吗？8的算术平方根是－2吗？

169算术平方根具有 性，即⑴被开方数a 0，⑵a本身 0，必须同时成立 ㈡平方根

1. 49的平方根是 ，算术平方根是 ，它的平方根可表示为 2.快速地表示并求出下列各式的平方根

9⑴1 ⑵|－5| ⑶0.81

16平方根的定义：

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3.用平方根定义解方程

⑴16（x+2）2=81 ⑵x2-225=0 ㈢立方根

1. －8的立方根是 ，表示为 立方根的定义： 2.说出下列各式表示的意义并求值：

⑴3?0.512= ⑵－3?729= ⑶3(?2)3= ⑷（38）3= 3.如果3x?2有意义，x的取值范围为 立方根的性质： 4.用立方根的定义解方程

3

⑴（x-2）3=27 ⑵［2（x+3）］=512

［归纳几种运算规律］

㈠∵ 22= 32= 42= (?2)2= (?3)2= (?4)2= ∴a2 = 有关练习：

11.(?)2= 19992=

72.如果(a?3)2=a-3，则a ；如果(a?3)2=3-a,则a

∵（4）2= （9）2= （25）2= ∴(a)2= (a≥0)

由上述计算可知，当满足 条件时，a2=(a)2 ㈡ ∵ 323= 333= 343= 18 / 23

3(?2)3= 3(?3)3= 3(?4)3= ∴3a3= ；

有关练习：化简：当1＜a＜3时，(1?a)2 +3(a?3)3

∵ （38）3= （327）3= （3125）3= ∴(3a)3=

由上述计算可知，当满足 条件时，3a3=(3a)3

［课堂综合练习］

1. 9的算术平方根是（ ）

（A）± 3 （B）3 （C）－ 3 （D）3 2.化简4=（ ）

（A）2 （B）4 （C）－ 2 （D）－ 4 3.化简(?4)2= 4.下列各式正确的是（ ）

（A）(?3)2=-3 （B）100 =±10 （C）615= （D）262?102=26-10=16 425. 49的平方根是 ，81的平方根是 ，（-4）2的算术平方根是 6.已知b是a的一个平方根，那么a的平方根是 7. a的平方根是±2，则a=

8.64的立方根是 ，3512的立方根是 364的平方根是 9.若m＜0，则m的立方根是

（A）3m （B）－3m （C）±3m （D）3?m

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10.下列语句不正确的是（ ）

（A）?(a2?1) 没意义 （B）3?(a2?1)没意义

（C）－（a2+1）的立方根是3?(a2?1) （D）－（a2+1）的立方根是一个负数 11.若a是（-3）2的平方根，则3a等于（ ）

（A）－3 （B）33 （C）33或－33 （D）3或-3 12.若1＜a＜3，化简(a?1)2－(a?3)2

实数复习(2)

【复习目标】 1.通过复习学生能够准确掌握数的开平方、开立方运算。 2.通过复习学生能充分理解实数的概念及分类。 3.增强学生进行实数运算的能力。 【学习重点】：数的开方运算和实数的概念 【学习难点】：实数的计算 【学习过程】 ［知识结构］

开平方?????平方根?有理数?互为逆运算??开方?开立方乘方???? ??实数

?无理数????立方根??［知识回顾］（一）数的开方：

算术平方根的定义： 平方根的定义： 平方根的性质： 立方根的定义： 立方根的性质： 练习：1、—8是 的平方根； 64的平方根是 ； 64? ；

—64的立方根是 ； 9? ； 9的平方根

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是 。

2、大于?17而小于11的所有整数为 3.几个基本公式：（注意字母a的取值范围）

(a)2= ； a2 = 3a3= ； (3a)3= ； 3?a= 2x?1： x?2应用：1. x取何值时，下列各式有意义

（1）4?x ： ；（2）34?x： ；（3）

22. 2、若m?n，求（m?n）?3(n?m)3的值 1、若a?0,求a2?3a3的值； 3.

（二）实数:

无理数的定义： 实数的定义： 实数与 上的点是一一对应的。 练习：1、判断下列说法是否正确：

1.实数不是有理数就是无理数。 （ ）

2.无限小数都是无理数。 （ ） 3.无理数都是无限小数。 （ ） 4.带根号的数都是无理数。 （ ） 5.两个无理数之和一定是无理数。 （ ） 6.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来， 数轴上所有的点都表示有理数。 （ ）

7.平面直角坐标系中的点与有序实数对之间是一一对应的。（ ）

2、把下列各数中，有理数为 ；无理数为

352042、?、?、2、、、0、?5、?38、0.3737737773?(相邻两个3之间的7逐渐

239加1个)

㈢实数的有关运算

1、计算3?22?

2?3?2?3

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32、解方程（1）9(3?y)2?4 （2）27?x?3??125?0

【知识提高】

1、已知3?1.732，30?5.477，（1）300? ；（2）0.3? ； （3）0.03的平方根约为 ；（4）若x?54.77，则x? 练习：已知33?1.442，330?3.107，3300?6.694，求（1）30.3? ； （2）3000的立方根约为 ；（3）3x?31.07，则x? 2、若

?x?2?2?2?x，则x的取值范围是

3、已知a、b、c位置如图所示，

2试化简 ：（1）a2?a?b?c?a?b?c?

b0ac

2（2）a?b?c?b?2c??b?a?

4、已知5?11的小数部分为m，5?11的小数部分为n，则m?n? 【当堂反馈】

1、下列说法正确的是( )

A、16的平方根是?4 B、?6表示6的算术平方根的相反数 C、 任何数都有平方根 D、?a2一定没有平方根 2、若?3m?35，则m? 3、若x?x?0，则x的取值范围是 ；3?4?x??4?x，则x的取值范

3围是

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4、已知y?1?2x?1?1?2x，求2x?3y的平方根

25、已知等腰三角形的两边长a,b满足2a?3b?5??2a?3b?13??0，求三角形的周长

6、如果一个数的平方根是a?1和2a?7，求这个数

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