2011年4月线性代数（经管类）试题答案

2011年4月线性代数（经管类）试题答案

2011年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．下列等式中，正确的是（ D ）

?200??100?A．??041???2??021??

?????10?C．5??02???10

???123??369?B．3??456?????456??

????0???1?20??12?D．???0?3?5?????0? 35????2．下列矩阵中，是初等矩阵的为（ C ）

?111?

??A．?010?

?001???

?200?

??B．?020?

?002???

?108?

??C．?010?

?001???

?108???D．?018?

?001????OB??1?C3．设A,B均为n阶可逆矩阵，且C??，则是（ C ） ?AO????B?1A．??O?O?? ?1?A??OB．??1?A?B?1?? O???OC．??1?B?A?1?? O???A?1D．??O?O?? ?1?B??OB??OA?1??BB?1O??EO??????????． ??AO??B?1O??O??1??OEAA????????4．设A为3阶矩阵，A的秩r(A)?3，则矩阵A?的秩r(A?)?（ D ）

A．0

B．1

C．2

D．3

因为A满秩，所以A?也满秩． ?1?(?1,4)，?2?(1,?2)，?3?(3,?8)，5．若有常数a,b使a?1?b?2??3?0，则（ A ） A．a??1,b??2

B．a??1,b?2

C．a?1,b??2

D．a?1,b?2

由a?1?b?2??3?0，即(?a?b?3,4a?2b?8)?(0,0)，得a??1,b??2． 6．?1?(1,2,0),?2?(2,4,0),?3?(3,6,0),?4?(4,9,0)的极大线性无关组为（ A ） A．?1,?4

B．?1,?3

C．?1,?2

D．?2,?3

只有?1,?4线性无关（分量不成比例）． ?100???7．设矩阵A??220?，那么矩阵A的列向量组的秩为（ B ）

?340???

1

2011年4月线性代数（经管类）试题答案

A．3 B．2 C．1 D．0

?100??100?????A??220???020?，秩为2． ?340??000??????1?8．设??3是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵?A?有一个特征值等于（ D ）

?4?A．??14 3 B．?3 4 C．

3 4?1 D．

4 33是A的特征值???1?9．设矩阵A??2?3?A．(0,0,0)T

4?1?31是A的特征值?是?A?的特征值． 443?4?00??12?，则A的对应于特征值??0的特征向量为（ B ） 12??B．(0,2,?1)T

C．(1,0,?1)T

D．(0,1,1)T

设所求特征向量为x?(x1,x2,x3)T，则Ax?0，解这个齐次方程组： ?x1?0??100??100??????A??212???012?，得?x2??2x3，取x3??1，得特征向量(0,2,?1)T． ?312??000??x?x????3?22210．二次型f(x1,x2,x3)?2x1的矩阵为（ C ） ?x1x2?x2?2?1?A．???11??

??

?1/2??2?B．???1/2? 1???1/20??2??C．??1/210?

?000???

?2?10???D．??110?

?000???二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

11111．行列式123?__________．

14911111112123?012??2． 38149038 2

2011年4月线性代数（经管类）试题答案

30411112．行列式

0?1053?201中第4行各元素的代数余子式之和为__________． 02A41?A42?A43?A44?a21A41?a22A42?a23A43?a24A44?0． ?11???13．设矩阵A??2?2?，B?(1,2,3)，则BA?__________．

?31????11???(1,2,3)2?2BA????(14,0)． ?31???14．设3阶方阵A的行列式|A|?3331，则|A3|?__________． 2?1?1|A|?|A|????． ?2?815．设A,B为n阶方阵，且AB?E，A?1B?B?1A?E，则A2?B2?__________．

由AB?E，得A?1?B，B?1?A，从而B2?A2?E，A2?B2?2E． 16．已知3维向量??(1,?3,3),??(1,0,?1)则??3??__________． ??3??(1,?3,3)?3(1,0,?1)?(4,?3,0)． 17．设向量??(1,2,3,4)，则?的单位化向量为__________． ?11234?(1,2,3,4)??,,,???． ||?||1?4?9?16?30303030?18．设n阶矩阵A的各行元素之和均为0，且A的秩为n?1，则齐次线性方程组Ax?0的?的单位化向量为1??通解为__________．

?a11x1?a12x2???a1nxn?0??a21x1?a22x2???a2nxn?0由?，观察可得非零解(1,1,?,1)T，因为r(A)?n?1，所以?????????????an1x1?an2x2???annxn?0(1,1,?,1)T是基础解系，通解为k(1,1,?,1)T，k为任意常数． 19．设3阶矩阵A与B相似，若A的特征值为,,111，则行列式|B?1|?__________．

234 3

2011年4月线性代数（经管类）试题答案

A与B相似，B的特征值也是11111112,3,4，|B|?2?3?4?24，|B?1|?1|B|?24． 20．设A???12??2a??是正定矩阵，则a的取值范围为__________．

??|A|?122a?a?4?0?a?4． 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） ?111??100?21．已知矩阵A???2?10??，B?????210?，求：（1）ATB；（2）．

?101????021???1241?解：（1）ATB??1??1?10????100??210?????5??1?10??；

??101????021????121??541541（2）|ATB|??1?10??1?10??1?1??2．121?4?20?4?2

?123??122．设A???221???，B???21???343???53???，C??3??20???，且满足AXB?C，求矩阵X． ?31???123100?3100?解：(A,E)???221010?????12?0?2?5?210???

?343001????0?2?6?301?????123100??123100??0?2?5?210?????0?2?5?210?? ??00?1?1?11????00111?1???120???2?33??10013?2??0?2036?5??????0?2036?5?? ?00111?1????00111?1???1013?2?3?2?6?4???0?010?3/2?35/2???，A?1??1??3/2?35/2?1??2??????3?65?；?00111?1????11?1??2??22?2?? 4

2011年4月线性代数（经管类）试题答案

|B|?2153?1，B?1?1??3?1?B????52??； |B|??6?4??13??2?22???????3?1?3?1??1?1?X?A?1CB?1???3?65??20???0?4????52?2???52?? 2?????31???04??22?2???????11?????0?2??02????3?1????52??????21?????10?4?． ??104???23．求向量组?1?(1,2,1,0)T,?2?(1,1,1,2)T,?3?(3,4,3,4)T,?4?(4,5,6,4)T的秩与一个极大线性无关组．

?1??2解：??1,?2,?3,?4???1??0??1??0??

0??0?

11003200

111234344?34?34??11?11?????5?0?1?2?30?1?2?3???? ???00?006?02?02??????????4?44?0?2??02?00?32000??10??0??01??001?????000??

3

2000??0?， 1??0??

4??11??3??01??001?????000??向量组的秩为3，?1,?2,?4是一个极大线性无关组．

?x1?x2?3x3?x4?1?24．判断线性方程组?2x1?x2?x3?4x4?2是否有解，有解时求出它的解．

?x?4x3?5x4??1?1?1?13?11??10?45?1?????解：(A,b)??2?1?142???2?1?142?

?10?45?1??1?13?11??????10?45?1??10?45?1???????0?17?64???0?17?64?， ?0?17?62??0000?2?????r(A,b)?3，r(A)?2，r(A,b)?r(A)，方程组无解．

25．已知2阶矩阵A的特征值为?1?1,?2?9，对应的特征向量依次为?1?(?1,1)T，

5

2011年4月线性代数（经管类）试题答案

?2?(7,1)T，求矩阵A．

??17??10??1??解：?1,?2线性无关，令P?(?1,?2)??，则PAP??11??09??，

????其中P?1?1?1?1?7?P???，从而 ?|P|?8??1?1???10??11??17??10??1?7?1??163??1?7?????????A?P?P?????09??11??09???1?1??19?????1?1?? 88????????????1??64?56??87?????????12??． ?8?168???????10?26．已知矩阵A相似于对角矩阵????02??，求行列式|A?E|的值．

??解：?的特征值是?1,2，且A相似于?，所以A的特征值也是?1,2，A?E的特征值是

?2,1，从而|A?E|??2?1??2． 注：标准答案如下：

因为A与?相似，所以存在可逆矩阵P，使A?P?1?P，

|A?E|?|P?1?P?E|?|P?1(??E)P|?|??E|?四、证明题（本大题共6分）

?20??2．

0127．设A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵．证明： （1）AB?BA为对称矩阵；（2）AB?BA为反对称矩阵．

证：因为A为对称矩阵，B为反对称矩阵，所以AT?A，BT??B．

（1）(AB?BA)T?(AB)T?(BA)T?BTAT?ATBT?(?B)A?A(?B)?AB?BA，

所以AB?BA为对称矩阵；

（2）(AB?BA)T?(AB)T?(BA)T?BTAT?ATBT?(?B)A?A(?B)??(AB?BA)，

AB?BA为反对称矩阵．

6

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