第二章 随机变量及其分布 习题课

安徽建筑工业学院数理系

第二章 随机变量及其分布 习 题 课一、重点与难点 二、主要内容

三、典型例题

2012年6月30日主讲:俞能福

上页

下页

返回

结束

安徽建筑工业学院数理系

一、重点与难点1.重点(0-1)分布、二项分布和泊松分布的分布律 正态分布、均匀分布和指数分布的分布函数、 密度函数及有关区间概率的计算

2.难点连续型随机变量的概率密度函数的求法

2012年6月30日主讲:俞能福

上页

下页

返回

结束

安徽建筑工业学院数理系

二、主要内容密 度 函 数 连 续 型 随机变量 分 布 函 数 分 布 律 离 散 型 随机变量

随 机 变 量

均 匀 分 布

指 数 分 布

正 态 分 布

随机变量 的函数的 分 布

定 义

两 点 分 布

二 项 分 布

泊 松 分 布

2012年6月30日主讲:俞能福

上页

下页

返回

结束

安徽建筑工业学院数理系

随机变量定义 设 E 是随机试验 , 它的样本空间是 S { e }. 如 ,这 果对于每一个 e S , 有一个实数 X ( e ) 与之对应

样就得到一个定义在 随机变量 .

S 上的单值实值函数

X ( e ), 称

(1)随机变量与普通的函数不同 随机变量是一个函数 ,但它与普通的函数有着 本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而随机 变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一 定是实数).2012年6月30日主讲:俞能福上页 下页 返回 结束

安徽建筑工业学院数理系

(2)随机变量的取值具有一定的概率规律 随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此 随机变量的取值也有一定的概率规律. (3)随机变量与随机事件的关系 随机事件包容在随机变量这个范围更广的概 念之内.或者说 : 随机事件是从静态的观点来研究 随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随 机现象.

2012年6月30日主讲:俞能福

上页

下页

返回

结束

安徽建筑工业学院数理系

随机变量的分类随机变量

离散型

非离散型 其它

连续型

随机变量所取的可能值是有限多个或无限 可列个, 叫做离散型随机变量. 随机变量所取的可能值可以连续地充满某个 区间,叫做连续型随机变量.2012年6月30日主讲:俞能福上页 下页 返回 结束

安徽建筑工业学院数理系

离散型随机变量的分布律(1)定义设离散型随机变量 X 所有可能取的值为 , 即事件 xk

( k 1 , 2 , ), X 取各个可能值的概率 { X x k } 的概率 , 为 P { X x k } pk , 称此为离散型随机变量

k 1, 2 , . .

X 的分布律

2012年6月30日主讲:俞能福

上页

下页

返回

结束

安徽建筑工业学院数理系

(2)说明10

pk 0,

k 1 ,2 , ;

2

0

k 1

p k 1;律也可表为

3 离散型

随机变量的分布

0

x1 X ~ p1

x2 p2

xn pn

Xpk2012年6月30日主讲:俞能福

x1 p1

x2 p2

xn pn 上页 下页 返回 结束

安徽建筑工业学院数理系

两点分布设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分 布律为X pk

0 1 p

1 p

则称 X 服从(0-1)分布或两点分布.

2012年6月30日主讲:俞能福

上页

下页

返回

结束

安徽建筑工业学院数理系

二项分布X 的分布律为

X pk

0 qn

1 n pq 1 n 1

k n k n k p q k

n pn

( k 0 ,1 , 2 , , n ,

0 p 1)

称这样的分布为二项分布.记为 X ~ b( n, p). 二项分布n 1

两点分布

2012年6月30日主讲:俞能福

上页

下页

返回

结束

安徽建筑工业学院数理系

泊松分布设随机变量所有可能取 各个值的概率为 P{X k} 的值为 0 ,1 , 2 , , 而取

ek

,

k 0 ,1 , 2 , ,

k! 其中 0 是常数 .则称 X 服从参数为 布 , 记为 X ~ π ( ).

的泊松分

2012年6月30日主讲:俞能福

上页

下页

返回

结束

安徽建筑工业学院数理系

随机变量的分布函数(1)定义设 X 是一个随机变量 , x 是任意实数 , 函数 F (x) P{X x} 称为 X 的分布函数 .

(2)说明 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取 值的概率情况.分布函数 F ( x ) 是 x 的一个普通实函数 .

2012年6月30日主讲:俞能福

上页

下页

返回

结束

安徽建筑工业学院数理系

(3)性质1 0 F ( x ) 1,0

( , ); ( x 1 x 2 );

23

0

F ( x 1 ) F ( x 2 ),

0

F ( ) lim F ( x ) 0 , F ( ) lim F ( x ) 1 ;x x

4

0

x x0

lim F ( x ) F ( x 0 ),

( x 0 );

即任一分布函数处处右连续.

2012年6月30日主讲:俞能福

上页

下页

返回

结束

安徽建筑工业学院数理系

(4)重要公式P{a X b} F (b) F (a ), P{ X a } 1 F (a ).

离散型随机变量的分布函数F ( x ) P{ X x }

pk .xi x

2012年6月30日主讲:俞能福

上页

下页

返回

结束

安徽建筑工业学院数理系

连续型随机变量的概率密度(1)定义如果对于随机变量 非负函数 , 使对于任意实数 F (x) X 的分布函数 x 有 f (t )d t, , 其中 . f ( x ) 称为 X 的概 F ( x ), 存在

x

则称 X 为连续型随机变量 率密度函数 , 简称概率密度

2012年6月30日主讲:俞能福

上页

下页

返回

结束

安徽建筑工业学院数理系

(2)性质12o

f ( x) 0;

o

f ( x)d x 1.x21

3

o

P { x1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x1 )

x

f ( x)d x.

4

o

若 f ( x ) 在点 x 处连续 , 则有 F ( x ) f ( x ) .

2012年6月30日主讲:俞能福

上页

下页

返回

结

束

安徽建筑工业学院数理系

(3)注意若X是连续型随机变量 ，{X=a }是不 可能事件, 则有 P { X若 P { X a } 0, a } 0.

连 续 型

则不能确定

{ X a } 是不可能事件

若 X 为离散型随机变量{ X a } 是不可能事件

P { X a } 0.

离 散 型

2012年6月30日主讲:俞能福

上页

下页

返回

结束

安徽建筑工业学院数理系

均匀分布(1)定义 设连续型随机变量 1 , f (x) b a 0, 则称 X 在区间 X 具有概率密度 a x b, 其它 , , 记为

( a , b ) 区间上服从均匀分布 X ~ U ( a , b ).

2012年6月30日主讲:俞能福

上页

下页

返回

结束

安徽建筑工业学院数理系

(2)分布函数 0, x a F (x) , b a 1, x a, a x b, x b.

F (x)

1

a

o

b

x

2012年6月30日主讲:俞能福

上页

下页

返回

结束

安徽建筑工业学院数理系

指数分布 设连续型随机变量 X 的概率密度为 x 0, x 0. 1 x θ e , f ( x) θ 0,

其中 θ 0 为常数 , 则称 X 服从参数为 分布 .

的指数

分布函数

1 e F (x) 0,2012年6月30日主讲:俞能福

x θ

,

x 0, x 0.上页 下页 返回 结束

安徽建筑工业学院数理系

正态分布(或高斯分布)(1)定义 设连续型随机变量 f (x) 1 2 πσ

X 的概率密度为( x μ) 2σ2 2

e

, x , μ, σ 的2

其中 μ , σ ( σ 0 ) 为常数 , 则称 X 服从参数为 正态分布或高斯分布 , 记为 X ~ N ( μ , σ ).

2012年6月30日主讲:俞能福

上页

下页

返回

结束

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/cqb1.html