浙江省严州中学2015届高三4月阶段测试数学(理)试题

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严州中学2015届高三4月阶段测试数学（理科）试卷

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1．在△ABC中，“sinA sinB”是“A B”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为

A．π

B．

π 2

正视图

π

C．

3πD．

6

侧视图

3．计算：(log43 log83)(log32 log92)

A．

5

4

B．

5 2

C．5 D．15

俯视图

（第2题）

x 1

4．已知a 0，实数x,y满足： x y 3，若z 2x y的最小值为1，则a

y a(x 3)

A．2 B．1 C．

1

2

D．

1 4

5．若sin cos

A．

1 2

5

， [0,π]，则tan 5

1

B． C． 2

2

D．2

6．已知圆x2 y2 4x 5 0的弦AB的中点为Q(3,1)，直线AB交x轴于点P，则|PA| |PB|

A．4

B．5

C．6

D．8

x2y2

7．设F1、F2分别为双曲线C：2 2 1(a 0，b 0)的左、右焦点，A 为双曲线的左

ab

顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线一条渐近线于M、N两点，且满足 MAN 120 ，则该双曲线的离心率为 21

A．

3

B．

3

5

C．

3

D．3

（第7题）

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k2x a2 k(x 0)

8．设f(x) 2，其中a R．若对任意的非零实数x1，存22

x (a 4a)x (3 a)(x 0)

在唯一的非零实数x2(x1 x2)，使得f(x1) f(x2)成立，则k的取值范围为 A．R

B．[ 4,0] D．[ 33, 9]

C．[9,33]

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，第13-15题每题4分，共36分） 9．已知全集U R，集合A {x 1 x 1}，B {xx2 2x 0}，则A B A ( UB) ▲ ．

10．在等差数列{an}中，a2 3，a3 a7 14，则公差d an 11．若向量与b满足|a| 2，|b| 2，(a b) a．则向量与的夹角等于 ▲ ；

|a b| ．

2x 1(x 0)

12．已知函数f(x) 2，则f(2) ▲ ；若f(a) 1，则a ▲ ．

x 2x(x 0)

13．已知实数x,y 0且xy 2，则

x3 8y3x2 4y2 8

的最小值是 ▲ ．

14．抛物线y2 4x的焦点为F，过点(0,3)的直线与抛物线交于A,B两点，线段AB的垂

直平分线交x轴于点D，若|AF| |BF| 6，则点D的横坐标为 ▲ ．

A1

D

1

1

1

C

D

（第14题）

B

A

（第15题）

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15．正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，底面ABCD的对角线BD在平面 内，则正方体

在平面 内的射影构成的图形面积的取值范围是 ▲ ．

三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）

三角形ABC中，已知sin2A sin2B sinAsinB sin2C，其中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．

（Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）求

17．（本题满分15分）

如图，在三棱锥P ABC中，PA 平面ABC，2AC PC 2，AC BC，D、E、且有MN//BC． F分别为AC、AB、AP的中点，M、N分别为线段PC、PB上的动点，

（Ⅰ）求证：MN 面PAC；

（Ⅱ）探究：是否存在这样的动点M，使得二面角E MN F为直二面角？若存在，求CM的长度；若不存在，说明理由．

A

E

（第17题）

a b

的取值范围． c

P

B

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18．（本题满分15分）

x2y21

已知椭圆2 2 1(a b 0)的离心率为，过点P（0,1）的动直线l与椭圆交于

ab2

A,B两点，当l//x轴时，|AB|

46

． 3

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当AP 2PB时，求直线l的方程．

19．（本题满分15分）

（第18题）

如图，在平面直角坐标系xOy中，设a1 2，有一组圆心在x轴正半轴上的圆An

（n 1,2, ）与x轴的交点分别为A0(1,0)和An 1(an 1,0)．过圆心An作垂直于x轴的直线ln，在第一象限与圆An交于点Bn(an,bn)

（Ⅰ）试求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设曲边形An 1BnBn 1（阴影所示）的面积为Sn，若对任意n N*，111 m恒成立，试求实数m的取值范围． S1S2Sn

20．（本题满分15分）

已知函数f(x) x

a

4，g(x) kx 3． x

（Ⅰ）当a [3,4]时，函数f(x)在区间[1,m]上的最大值为f(m)，试求实数m的取值

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范围；

（Ⅱ）当a [1,2]时，若不等式|f(x1)| |f(x2)| g(x1) g(x2)对任意x1,x2 [2,4]（x1 x2）恒成立，求实数k的取值范围．

理科（数学）参考答案

一．选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）

1．C； 2．D； 3．A； 4．C； 5．C； 6．B； 7．A； 8．D． 8．【解析】

设g(x) k2x a2 k，h(x) x2 (a2 4a)x (3 a)2，由条件知二次函数的对称轴不能在y轴的左侧即a2 4a 0，且两个函数的图象在y轴上交于同一点，即g(0) h(0)，

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所以，k 6a 9在[ 4,0]上有解，从而k [ 33, 9].

二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每空3分，第13-15题每空4分，共36分） 9．[ 1,0]，[ 1,2) 10．13．1 15．【解析】

1

441

，n 11．， 12．3，1 3334

14．4 15．[1,3]

设矩形BDD1B1与 所成锐二面角为 ， 面积记为S1，则正方形A1B1C1D1与 所成锐二面角为所求阴影面积

A1

D1

1

C

2

，面积记为S2．

D

A

（第15题）

B

S S1cos S2

2

) S1cos S2sin

63

,cos ．故S [1,3]． 33

2cos sin 3sin( )，其中sin

三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）

三角形ABC中，已知sin2A sin2B sinAsinB sin2C，其中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．

（Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）求

a b

的取值范围． c

16．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得：a2 b2 c2 ab，

a2 b2 c212 ∴由余弦定理得：cosC ． 6分 ，∴C

2ab23

a bsinA sinB2

（Ⅱ）由正弦定理得： (sinA sinB)

csinC3

又

A B

3

，∴B

3

A，

∴sinA sinB sinA sin( A) sin(A )，

33而0 A

3

，∴

3

A

3

2

， 3

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∴sinA sinB (

17．（本题满分15分）

3a b23,1]，∴ (1,]. 2c3

14分

如图，在三棱锥P ABC中，PA 平面ABC，2AC PC 2，AC BC，D、E、且有MN//BC． F分别为AC、AB、AP的中点，M、N分别为线段PC、PB上的动点，

（Ⅰ）求证：MN 面PAC；

（Ⅱ）探究：是否存在这样的动点M，使得二面角E MN F为直二面角？若存在，求CM的长度；若不存在，说明理由．

17．【解析】（Ⅰ）∵PA 平面ABC，

∴PA BC，

又AC BC，∴BC 面PAC； 又∵MN//BC， ∴MN 面PAC.

（Ⅱ） 由条件可得， FMD即为二面角E MN F的平面角；

若二面角E MN F为直二面角，则 FMD 90 . 在直角三角形PCA中，设CM t,(0 t 2)，则PM 2 t， 在 MDC中，由余弦定理可得，

6分

A

E

（第17题）

P

B

DM2 CM2 CD2 2CM CDcos60 t2

11

t； 42

33

(2 t)； 421

又由FD2 FM2 MD2，得2t2 3t 1 0，解得t 1或t .

2

同理可得，FM2 PM2 PF2 2PM PFcos30 (2 t)2 ∴存在直二面角E MN F，且CM的长度为1或

18．（本题满分15分）

x2y21

设椭圆2 2 1(a b 0)的离心率为，过点P（0,1）的动直线l与椭圆交于A,B

ab2

1

. 15分 2

两点，已知当l//x轴时，|AB|

（Ⅰ）求椭圆的方程；

46

． 3

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（Ⅱ）当AP 2PB时，求直线l的方程．

18．【解析】（Ⅰ）由条件：e

c1

，∴3a2 4b2， a2

过点P（0,1）且平行于x轴的直线截椭圆 所得弦长为：

2a246

b 1 ， b3

xy

1． 6

43

2

2

∴a2 4,b2 3，∴椭圆的方程为：

（第18题）

（Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2)， AP 2PB，∴x1 2x2 0①

（1）若直线l存在斜率，可设l：y kx 1，

x2y2

1

则由 4可得，(3 4k2)x2 8kx 8 0 3

y kx 1

8k

x x 2 1 13 4k2

∴ ，与①联立解得，k ；

2 xx 8

12 3 4k2

（2）若直线l不存在斜率，则l：x 0， ∴|AP| 3 1,|BP| 3 1，易知AP 2PB

1

∴直线l的方程为：y x 1．

2

19．（本题满分15分）

15分

如图，在平面直角坐标系xOy中，设a1 2，有一组圆心在x轴正半轴上的圆An

（n 1,2, ）与x轴的交点分别为A0(1,0)和An 1(an 1,0)．过圆心An作垂直于x轴的直线ln，在第一象限与圆An交于点Bn(an,bn)．

（Ⅰ）试求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设曲边形An 1BnBn 1（阴影所示）的面积为Sn，若对任意n N*，

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111 m恒成立，试求实数m的取值范围． S1S2Sn

19.【解析】（Ⅰ）由条件可得，

an 1 1 2(an 1)，又因为

a1 1 1，可得数列{an 1}是等比数列．

故，an 1 2n 1，从而an 2n 1 1． 6分

（Ⅱ）因为bn an 1 2n 1，所以B

n(2n 1 1,2n 1)所以Bn 1(2n 1,2n)，且An(2n 1 1,0)，An 1(2n 1,0)

Sn S梯形AnBnBn 1An 1 S扇形AnBnAn 1 所以

141

()n 1，所以 Sn6 4

16 2n 1 (2nn (2n 1)2 4n 1 244

1

1 ()n

1114114 (1 ()n 1)

1S1S2Sn6 446

1 4

16116

． (1 ()n)

18 3 418 3

16

．

18 3

15分

故可得实数m

20．（本题满分15分）

已知函数f(x) x

a

4，g(x) kx 3． x

（Ⅰ）当a [3,4]时，函数f(x)在区间[1,m]上的最大值为f(m)，试求实数m的取值范围；

（Ⅱ）当a [1,2]时，若不等式|f(x1)| |f(x2)| g(x1) g(x2)对任意x1,x2 [2,4]（x1 x2）恒成立，求实数k的取值范围．

20.【解析】（Ⅰ）∵3 a 4，∴y f(x)在(1,)上递减，在(a， )上递增， 又∵f(x)在区间[1,m]上的最大值为f(m)，

∴f(m) f(1)，得(m 1)(m a) 0，∴m amax，即 m 4；

6分

（Ⅱ）∵|f(x1)| |f(x2)| g(x1) g(x2) ∴|f(x1)| g(x1) |f(x2)| g(x2)恒成立

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令F(x) |f(x)| g(x)，∴F(x)在[2,4]上递增。 a

( 1 k)x 1x [2,2 4 a] x

对于F(x) ，

a (1 k)x 7

x (2 4 a,4] x

（1）当x [2,2 4 a]时，F(x) ( 1 k)x ①当k 1时，F(x)

a

1 x

a

1在[2,2 4 a]上递增，所以k 1符合； x

a

②当k 1时，F(x) ( 1 k)x 1在[2,2 4 a]上递增，所以k 1符合；

x

③当k 1时，只需

124a

( 1)max 2 3 2 a，即

k 1k 1aa

∴ 1 k 6 43，∴k 6 43

（2）当x (2 4 a,4]时，F(x) (1 k)x ①当k 1时，F(x)

a

7 x

a

7在(2 4 a,4]上递减，所以k 1不合； x

a

②当k 1时，F(x) (1 k)x 7在(2 a,4]上递减，所以k 1不合；

x

③当k 1时，只需

124a

( 1)min 1 2， 2 4 a，

1 k1 kaa

∴k 22 2

综上可知，k 6 43．

15分

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