数学竞赛教案讲义(5) - 数列

第五章 数列

一、基础知识

定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{an}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…，an或a1, a2, a3,…，an…。其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若Sn表示{an}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，an=Sn-Sn-1. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则{an}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.

定理2 等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn=

n(a1?an)n(n?1)?na1?d；3）an-am=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，

22则an+am=ap+aq；5）对任意正整数p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn. 定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有

an?1?q，则{an}称为等比数列，q叫做公比。 ana1(1?qn)定理3 等比数列的性质：1）an=a1q；2）前n项和Sn，当q?1时，Sn=；当

1?qn-1

q=1时，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b?0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则aman=apaq。

定义4 极限，给定数列{an}和实数A，若对任意的?>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|an-A|

n??定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和Sn的极限（即其所有项的和）为

a1（由极限的定义可得）。 1?q定理3 第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。

竞赛常用定理

定理4 第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。

定理5 对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若α?β，则xn=c1an-1+c2βxn=(c1n+c2) α

n-1

n-1

，其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定；(2)若α=β，则

，其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。

二、方法与例题 1．不完全归纳法。

这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。

例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。

例2 已知数列{an}满足a1=

例3 设0

2迭代法。

数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1

1,a1+a2+…+an=n2an, n≥1，求通项an. 21，求证：对任意n∈N+,有an>1. an或n-1等，这种办法通常称迭代或递推。

例4 数列{an}满足an+pan-1+qan-2=0, n≥3，q?0，求证：存在常数c，使得

22nan?1?pan?1·an+qan?cq?0.

2例5 已知a1=0, an+1=5an+24an?1，求证：an都是整数，n∈N+.

3．数列求和法。

数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。 例6 已知an=

例7 求和：Sn?

例8 已知数列{an}满足a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn为数列?

4．特征方程法。

例9 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求an.

1(n=1, 2, …)，求S99=a1+a2+…+a99.

4n?2100111+…+. ?n(n?1)(n?2)1?2?32?3?4?an?的前n项和，求证：Sn<2。 n??2?

例10 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通项an.

5．构造等差或等比数列。

例11 正数列a0,a1,…,an,…满足anan?2?

2xn?2例12 已知数列{xn}满足x1=2, xn+1=,n∈N+, 求通项。

2xnan?1an?2=2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通项。

三、基础训练题

1． 数列{xn}满足x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn为{xn}前n项和，当n≥2时，xn=_________. 2. 数列{xn}满足x1=

2xn1，xn+1=,则{xn}的通项xn=_________.

3xn?223. 数列{xn}满足x1=1，xn=

1xn?1+2n-1(n≥2)，则{xn}的通项xn=_________. 24. 等差数列{an}满足3a8=5a13，且a1>0, Sn为前n项之和，则当Sn最大时，n=_________. 5. 等比数列{an}前n项之和记为Sn,若S10=10，S30=70，则S40=_________. 6. 数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1(n≥2)，x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+…+ xn，则S100=_________. 7. 数列{an}中，Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1则|a1|+|a2|+…+|a10|=_________.

8. 若

x3xnx1x2?????，并且x1+x2+…+ xn=8，则x1=_________. x1?1x2?3x3?5xn?2n?1Sna2n?，则limn=_________.

n??b3n?1Tnn9. 等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若

2007n2?n?110. 若n!=n(n-1)…2·1, 则?(?1)=_________.

n!n?1n11．若{an}是无穷等比数列，an为正整数，且满足a5+a6=48, log2a2·log2a3+ log2a2·log2a5+ log2a2·log2a6+ log2a5·log2a6=36，求??1??的通项。 a?n?n12．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，数列{ab}是公比为q的等比数列，且b1=1, b2=5, b3=17, 求：（1）q的值；（2）数列{bn}的前n项和Sn。 四、高考水平训练题

?1x??2??1．已知函数f(x)=?2x?1??x?1??则a2006=_____________.

1???x??2??7?1?+

??x?1?，若数列{an}满足a1=，an+1=f(an)(n∈N)，

3?2?(x?1)2．已知数列{an}满足a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，则{an}的通项an=??1?(n?1)(n?2).

3. 若an=n2+?n, 且{an}是递增数列，则实数?的取值范围是__________. 4. 设正项等比数列{an}的首项a1=an=_____________.

1, 前n项和为Sn, 且210S30-（210+1）S20+S10=0，则23n1?5. 已知limn?1，则a的取值范围是______________.

n??3?(a?1)n36．数列{an}满足an+1=3an+n(n ∈N+) ，存在_________个a1值，使{an}成等差数列；存在________个a1值，使{an}成等比数列。

7．已知an?n?401n?402(n ∈N+)，则在数列{an}的前50项中，最大项与最小项分别是

____________.

8．有4个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和中16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数分别为____________.

9. 设{an}是由正数组成的数列，对于所有自然数n, an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，则an=____________.

10. 在公比大于1的等比数列中，最多连续有__________项是在100与1000之间的整数. 11．已知数列{an}中，an?0，求证：数列{an}成等差数列的充要条件是

11111??????（n≥2）①恒成立。 a1a2a2a3a3a4anan?1a1an?112．已知数列{an}和{bn}中有an=an-1bn, bn=

bn?1(n≥2), 当a1=p, b1=q(p>0, q>0)且p+q=1时，21?an?1an；（3）求数列limbn.

n??an?1（1）求证：an>0, bn>0且an+bn=1（n∈N）；（2）求证：an+1=13．是否存在常数a, b, c，使题设等式 1·22+2·32+…+n·(n+1)2=

n(n?1)2

(an+bn+c) 12对于一切自然数n都成立？证明你的结论。 五、联赛一试水平训练题

1．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项和为972，这样的数列共有_________个。 2．设数列{xn}满足x1=1, xn=

4xn?1?2，则通项xn=__________.

2xn?1?7253. 设数列{an}满足a1=3, an>0，且3an?an?1，则通项an=__________. 4. 已知数列a0, a1, a2, …, an, …满足关系式(3-an+1)·(6+an)=18，且a0=3，则

?ai?0n1i=__________.

5. 等比数列a+log23, a+log43, a+log83的公比为=__________.

6. 各项均为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的

数列至多有__________项. 7. 数列{an}满足a1=2, a2=6, 且

an?2?an=2，则

an?1?1lima1?a2???ann2n???________.

8. 数列{an} 称为等差比数列，当且仅当此数列满足a0=0, {an+1-qan}构成公比为q的等比数列，q称为此等差比数列的差比。那么，由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时，项数最多有__________项.

?an?9．设h∈N+，数列{an}定义为：a0=1, an+1=?2?a?h?n在大于0的整数n，使得an=1？

an为偶数an为奇数。问：对于怎样的h，存

10．设{ak}k≥1为一非负整数列，且对任意k≥1，满足ak≥a2k+a2k+1，（1）求证：对任意正整数n，数列中存在n个连续项为0；（2）求出一个满足以上条件，且其存在无限个非零项的数列。

11．求证：存在唯一的正整数数列a1,a2,…,使得 a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)=

anan?23anan?2?1?1?1.

六、联赛二试水平训练题

1．设an为下述自然数N的个数：N的各位数字之和为n且每位数字只能取1，3或4，求证：a2n是完全平方数，这里n=1, 2,….

2．设a1, a2,…, an表示整数1，2，…，n的任一排列，f(n)是这些排列中满足如下性质的排列数目：①a1=1; ②|ai-ai+1|≤2, i=1,2,…,n-1。 试问f(2007)能否被3整除？

3．设数列{an}和{bn}满足a0=1,b0=0，且

??an?1?7an?6bn?3, ???bn?1?8an?7bn?4,n?0,1,2,?.求证：an (n=0,1,2,…)是完全平方数。

4．无穷正实数数列{xn}具有以下性质：x0=1，xi+1

22x0xnx12?????1≥3.999（1）求证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个n≥1，使

x1x2xn均成立；

22x0xnx12?????1<4对任一n均成立。 （2）寻求这样的一个数列使不等式

x1x2xn5．设x1,x2,…,xn是各项都不大于M的正整数序列且满足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,…,n)①.试问这样的序列最多有多少项？

2(1?2an?2)an1?16．设a1=a2=，且当n=3,4,5,…时，an=, 222an?1?4an?2an?1?an?23(ⅰ)求数列{an}的通项公式；(ⅱ)求证：

1?2是整数的平方。 an7．整数列u0,u1,u2,u3,…满足u0=1，且对每个正整数n, un+1un-1=kuu，这里k是某个固定的正整数。如果u2000=2000，求k的所有可能的值。

8．求证：存在无穷有界数列{xn}，使得对任何不同的m, k，有|xm-xk|≥

1. m?k9.已知n个正整数a0,a1,…，an和实数q，其中0

bk?11<(k=1,2,…,n)； bkq（3）b1+b2+…+bn<

1?q(a0+a1+…+an). 1?qw.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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