微分几何（版）梅向明黄敬之编课后题答案

第二章 曲面论 §1曲面的概念

1.求正螺面r={ ucosv ,u sinv, bv }的坐标曲线.

解 u-曲线为r={ucosv0 ,u sinv0,bv0 }=｛0,0，bv0｝＋u {cosv0,sinv0,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r={u0cosv,u0sinv,bv }为圆柱螺线．

２．证明双曲抛物面r＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线.

证 u-曲线为r={ a（u+v0）, b（u-v0）,2uv0}={ av0, bv0,0}+ u{a,b,2v0}表示过点{ av0, bv0,0}以{a,b,2v0}为方向向量的直线;

v-曲线为r=｛a（u0+v）, b（u0-v）,2u0v｝=｛au0, bu0,0｝+v{a,-b,2u0}表示过点(au0, bu0,0)以{a,-b,2u0}为方向向量的直线.

3．求球面r={acos?sin?,acos?sin?,asin?}上任意点的切平面和法线方程.

??解 r?={?asin?cos?,?asin?sin?,acos?} ，r?={?acos?sin?,acos?cos?,0}

x?acos?cos?y?acos?sin??asin?sin?acos?cos?z?asin?acos?0?0

任意点的切平面方程为?asin?cos??acos?sin?即 xcos?cos? + ycos?sin? + zsin? - a = 0 ； 法线方程为

x?acos?cos?y?acos?sin?z?asin??? .

cos?cos?cos?sin?sin?x2y24．求椭圆柱面2?2?1在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 .

ab?x2y2解 椭圆柱面2?2?1的参数方程为x = cos?, y = asin?, z = t , r??{?asin?,bcos?,0} ,

ab?rt?{0,0,1} .所以切平面方程为：

x?acos??asin?0y?bsin?bcos?0z?t0?0，即x bcos? + y asin? － a b = 0 111 / 12

此方程与t无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 .

?a35．证明曲面r?{u,v,}的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数.

uvxyuv??a3a3证 ru?{1,0,?2}，rv?{0,1,?2}.切平面方程为：??3z?3 .

uvauvuv3a2与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,).于是，四面体的体积为：

uv13a393V?3|u|3|v|?a是常数.

6|uv|2§２ 曲面的第一基本形式

1. 求双曲抛物面r＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的第一基本形式.

???解 ru?{a,b,2v},rv?{a,?b,2u},E?ru2?a2?b2?4v2,

??? F?ru?rv?a2?b2?4uv,G?rv2?a2?b2?4u2,

∴ I = (a2?b2?4v2)du2?2(a2?b2?4uv)dudv?(a2?b2?4u2)dv2.

２．求正螺面r={ ucosv ,u sinv, bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直.

??????解 ru?{cosv,sinv,0},rv?{?usinv,ucosv,b}，E?ru2?1，F?ru?rv?0，G?rv2?u2?b2，∴ I =du2?(u2?b2)dv2，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直.

３．在第一基本形式为I =du2?sinh2udv2的曲面上，求方程为u = v的曲线的弧长.

解 由条件ds2?du2?sinh2udv2,沿曲线u = v有du=dv ，将其代入ds2得

ds2?du2?sinh2udv2=cosh2vdv2，ds = coshvdv , 在曲线u = v上，从v1到v2的弧长为

|?cosvhdv|?|sinvh2?sinvh1|.

v1v24．设曲面的第一基本形式为I = du2?(u2?a2)dv2，求它上面两条曲线u + v = 0 ,u–v = 0的交角.

分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程.

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解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量E?1，Fv?0，G?u2?a2，曲线u + v = 0与u – v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为E?1，Fv?0，G?a2.曲线u + v = 0的方向为du = -dv , u – v = 0的方向为δu=δv , 设两曲线的夹角为?，则有

cos?=

Edu?u?Gdv?uEdu2?Gdv21?a2 . ?2221?aE?u?G?v5．求曲面z = axy上坐标曲线x = x0 ,y =y0的交角.

解 曲面的向量表示为r={x,y,axy}, 坐标曲线x = x0的向量表示为r={ x0,y,ax0y } ，其切向量

??ry={0，1，ax0}；坐标曲线y =y0的向量表示为r={x , y0,axy0}，其切向量rx={1，0，ay0}，设两曲线

??rx?rya2x0y0x = x0与y =y0的夹角为?，则有cos? = ???

2222|rx||ry|1?ax01?ay06. 求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.

解 对于u-曲线dv = 0,设其正交轨线的方向为δu:δv ,则有

Eduδu + F(duδv + dvδu)+ G d vδv = 0,将dv =0代入并消去du得u-曲线的正交轨线的微分方程为E

δu + Fδv = 0 .

同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为Fδu + Gδv = 0 .

7. 在曲面上一点,含du ,dv的二次方程Pdu2+ 2Q dudv + Rdv2＝０，确定两个切方向（du ：dv）和（δu ：δv），证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ + GP=0.

dudu2

)+ 2Q+ R=0 ,设其

dvdv

2Qdu?udu?uRdu?udu?udu?u二根,, 则=，+=?……①又根据二方向垂直的条件知E + F(+)+ G

dv?vdv?vPdv?vdv?vdv?vP= 0 ……②

证明 因为du,dv不同时为零，假定dv?0，则所给二次方程可写成为P(

将①代入②则得 ER - 2FQ + GP = 0 .

8. 证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为Edu2=Gdv2.

证 用分别用δ、??、d表示沿u－曲线，v－曲线及其二等分角线的微分符号，即沿u－曲线δu?０，δv＝０，沿v－曲线??u＝０，??v?０．沿二等分角轨线方向为du:dv ,根据题设条件,又交角公式得

(Edu?Fdv)2(Fdu?Gdv)2(Edu?v?Fdv?u)2(Fdu??v?Gdv??v)2??，即. 22?22EGE?udsG?vds13 / 12

展开并化简得E(EG-F2)du2=G(EG-F2)dv2,而EG-F2>0，消去EG-F2得坐标曲线的二等分角线的微分方程为Edu2=Gdv2.

9．设曲面的第一基本形式为I = 曲面上三条曲线u = ?av, v =1相交所成的三角

解 三曲线在平面上的图形（如图）所示.曲线

0221a221u u=av V=1 du2?(u2?a2)dv2，求形的面积.

围城的三角形的面积是

o v S=?u?adu?dv??u?adu?dv

?a?ua0uau=-av u =2?u?adu?dv=2?(1?)u2?a2du

au0022aa1a2a=[?(u2?a2)2?uu2?a2?a2ln(u?u2?a2)]|0

3a3=a2[2?2?ln(1?2)] . 310．求球面r={acos?sin?,acos?sin?,asin?}的面积.

??解 r?={?asin?cos?,?asin?sin?,acos?} ，r?={?acos?sin?,acos?cos?,0} ???E =r?2=a2,F=r?r?= 0 , G = r?2 =a2cos2? .球面的面积为：

??2?422??S = ?2?d??acos?d??2?a20?2??2cos?d??2?asin?|2??4?a2.

?22 11.证明螺面r={ucosv,usinv,u+v}和旋转曲面r={tcos?,tsin?,t2?1} (t>1, 0

分析 根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射? = arctgu + v , t=u2?1,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数,然后证明在新的参数下,两曲面具有相同的第一基本形式.

证明 螺面的第一基本形式为I=2du2+2 dudv+(u2+1)dv2, 旋转曲面的第一基本形式为

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t2I=(1?2)dt2?t2d? ,在旋转曲面上作一参数变换? =arctgu + v , t =u2?1 , 则其第一基本形式

t?1为:

u2?1u21222 (1?)du?(u?1)(du?dv)222uu?11?uu2?11222222ududv=(2?1)du2?=2+2 dudv+(+1)= I . du?2dudv?(u?1)dv2u1?u所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射 ? =arctgu + v , t =u2?1 .

§3曲面的第二基本形式

1. 计算悬链面r={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式.

??解 ru={sinhucosv,sinhusinv,1},rv={-coshusinv,coshucosv,0}

??ruu={coshucosv,coshusinv,0},ruv={-sinhusinv,sinhucosv,0},

?????rvv={-coshucosv,-coshusinv,0},E?ru2= cosh2u,F?ru?rv=0,G?rv2=cosh2u. 所以I = cosh2udu2+ cosh2udv2 .

?n=

??ru?rvEG?F2coshusinh?12=

1{?coshucosv,?coshusinv,sinhusinv},

cosh2uL=???1, M=0, N=

coshusinh?12=1 .

所以II = -du2+dv2 .

22. 计算抛物面在原点的2x3?5x12?4x1x2?2x2第一基本形式,第二基本形式.

?52}, 解 曲面的向量表示为r?{x1,x2,x12?2x1x2?x22???rx1?{1,0,5x1?2x2}(0,0)?{1,0,0},rx2?{0,1,2x1?2x2}(0,0)?{0,1,0},rx1x1?{0,0,5}, ??rx1x2?{0,0,2} ,rx2x2?{0,0,2}, E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,

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