2018届高考数学二轮复习平面向量学案含答案（全国通用）

专题四 平面向量

———————命题观察·高考定位———————

(对应 生用书第12页)

→→→

1．(2017·江苏高考)如图4－1，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为→→→→→→1,1，2，OA与OC的夹角为α，且tan α＝7，OB与OC的夹角为45°.若OC＝mOA→

＋nOB(m，n∈R)，则m＋n＝________.

图4－1

272

3 [法一 因为tan α＝7，所以cos α＝10，sin α＝10.

→→→

过点C作CD∥OB交OA的延长线于点D，则OC＝OD＋DC，∠OCD＝45°. →→→又因为OC＝mOA＋nOB， →→→→所以OD＝mOA，DC＝nOB， →→

所以|OD|＝m，|DC|＝n.

→→→|DC||OD||OC|

在△COD中，由正弦定理得sin α＝＝，

sin∠OCDsin∠ODC因为sin ∠ODC＝sin (180°－α－∠OCD)

4

＝sin (α＋∠OCD)＝5， 即

n7210

＝

m2＝4， 2

52

75

所以n＝4，m＝4，所以m＋n＝3. 法二 由tan α＝7可得cos α＝

152

，sin α＝

752

，

→→→→

OB1OA·OCm＋nOA·

则＝＝， 52→→2

|OA||OC|

→→→→

OB＋n22OB·OCmOA·

由cos∠BOC＝2可得2＝＝，

→→2|OB||OC|cos ∠AOB＝cos (α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45° ＝

2723

×2－×2＝－5， 52521

→→3313则OA·OB＝－5，则m－5n＝5，－5m＋n＝1， 226

则5m＋5n＝5，则m＋n＝3.]

2．(2016·江苏高考)如图4－2，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的→→→→→→两个三等分点，BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值是________．

图4－2

→→→→→→7

CF＝(BD＋DF)·(CD＋DF)

8 [由题意，得BF·

→→→→→→

2

＝(BD＋DF)·(－BD＋DF)＝DF－BD2 →→

2

＝|DF|－|BD|2＝－1，①

→→→→→→BA·CA＝(BD＋DA)·(CD＋DA) →→→→＝(BD＋3DF)·(－BD＋3DF) →→

2

＝9DF－BD2 →→2

＝9|DF|－|BD|2＝4.② →5→2132

由①②得|DF|＝8，|BD|＝8. →→→→→→∴BE·CE＝(BD＋DE)·(CD＋DE) →→→→→→

2

＝(BD＋2DF)·(－BD＋2DF)＝4DF－BD2 →→51372

＝4|DF|－|BD|2＝4×8－8＝8.] 3．(2015·江苏高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为______．

－3 [∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ?2m＋n＝9，?m＝2，

?∴∴?∴m－n＝2－5＝－3.] ?m－2n＝－8，?n＝5，

1

4．(2013·江苏高考)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝2AB，BE→→→2

＝3BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． →→→2→1→2→→1→11→2→

2 [由题意DE＝BE－BD＝3BC－2BA＝3(AC－AB)＋2AB＝－6AB＋3AC，121

于是λ1＝－，λ2＝，故λ1＋λ2＝.] 632

5．(2014·江苏高考) 如图4－3，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD→→→→→→

＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD的值是________.

【导 号：56394021】

图4－3

→→→1→1→→→→→1→→→

22 [由CP＝3PD，得DP＝4DC＝4AB，AP＝AD＋DP＝AD＋4AB，BP＝AP→→1→→→3→→→?→1→?－AB＝AD＋4AB－AB＝AD－4AB.因为AP·BP＝2，所以?AD＋AB?·

4??→→→?→3→?1→→3→222

?AD－AB?＝2，即AD－AD·AB－AB＝2.又因为AD＝25，AB2＝64，

2164??

→→

所以AB·AD＝22.] [命题规律]

平面向量的命题以客观题为主，主要考查平面向量的基本概念、向量的线性运算、向量的平行与垂直、向量的数量积，考查数形结合的数 思想，在解答题中常与三角函数相结合，或作为解题工具应用到解析几何问题中．

———————主干整合·归纳拓展———————

(对应 生用书第12页) [第1步▕ 核心知识再整合]

1．平面向量的两个重要定理

(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.

(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底． 2．平面向量的两个充要条件

若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 3．平面向量的三个性质

(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2.

(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 →

|AB|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2.

(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角， a·b

则cos θ＝|a||b|＝x1x2＋y1y2

222. x2＋yx＋y1122

[第2步▕ 高频考点细突破]

平面向量的线性运算 【例1】 (江苏省南通市如东高中2017届高三上 期第二次调研)在平行四边形→→33

ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC·BE＝32，则AB的长为________．

→→→→→→[解析] 根据条件：AC·BE＝(AB＋AD)·(BC＋CE) →→?1→→?

?－AB＋AD? ＝(AB＋AD)·?2?1→21→→→2

＝－2AB＋2AB·AD＋AD 1→21→

＝－2|AB|＋4|AB|＋1 33＝32. →→→112

∴16|AB|－8|AB|＋1＝0，解得|AB|＝4.故答案为4. 1

[答案] 4 [规律方法] 向量加法：“尾首相接，首尾相连”，向量减法：“共起点，连终点，指向被减向量”． [举一反三]

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/cpjv.html