高中数学 第一章 计数原理 1.2.1 排列概念与排列数公式学案新人

1.2.1排列与排列数公式

一、课前准备 1．课时目标

(1) 理解排列的定义，并能解决简单的排列实际应用问题； (2) 熟记排列数公式，能进行熟练的运算； 2．基础预探

1．一般地，从n个不同的元素中任取m(m?n)个元素，按照一定的 排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列.

2.从n个不同的元素中取出m(m?n)个元素的 的个数叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.

m 3．排列数公式An＝ （m,n?N*,且m?n）.

n4.n个不同的元素全部取出的 ，叫做n个不同元素的一个全排列，An?__________.

m5.正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用______表示，排列数公式写成阶乘的形式为An?，这里规定

0!? . 二、学习引领

1.学习时应注意定义中那些细节？

排列要求ｎ个元素是不同的，被排列的ｍ个元素也是不同的，即从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素进行排列.定义中规定m,n?N,且m?n，如果ｍ＜ｎ，则称为选排列，如果ｍ＝ｎ，则称为全排列. 2．如何判断一个问题是否是排列问题？

排列定义包括两个基本条件：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排列”. 排列问题与元素的顺序有关，与顺序无关的不是排列，如取出两个数做乘法与顺序无关，就不是排列，做除法与顺序有关，就是排列.

3.如何判断两个排列是否是相同排列？

只有元素完全相同，并且元素的排列顺序完全相同时，才是同一个排列.元素完全相同，顺序不一样就是不同的排列.

4.什么是排列数，它计算时应注意什么？

“排列”与“排列数”是两个不同的概念，排列是一个具体的排法，不是数；排列数是所有可能的排列的种数，是一个数.计算排列数时注意，它公式右边是ｍ个数的连乘积，其特点是：第一个因数是ｎ，后

*面的每一个因数都比它前面的因数少1；最后一个因数是ｎ－ｍ＋1，一共有ｍ个连续自然数的连乘积.还应注意m,n?N*,且m?n，特别解决排列数含参运算问题时，若求得m，n不是正整数或m>n就应舍去。 三、典例导析

题型一 排列定义的简单应用

例1 （1）6个人站成一排照相，有多少种不同的排法？（2）6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有多少种。

思路导析：分析要完成的事是什么，再是否分析与次序有关，再套用排列的定义解决。

6解：(1) 本题为将6人排成一对，故为排列问题，不同的排法总数为A6?6!?720(种)。

(2) 本题表面上看要求前排2人，后排4人，但实际上可看作将这六个人排成一排．

6所以不同的排法总数为A6?6!?720(种)．

方法规律：解这类简单的排列应用题必须首先认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否按顺序在排列，如果是的话，就可直接利用排列数公式求解.

变式训练：写有1,2,3,4,5,6的6张卡片, (1) 不放回的抽取3张，则可以构成多少个三位数? (2) 若抽取后放回，可以构成多少个不同的三位数?

题型二 排列数公式的应用

54A84?2A8例2 计算； 85A8?A9思路导析: 直接利用排列数的公式，将数值代入计算即可。

4A84?2?4A844?8124解：原式=??? 444?3?2A8?9A824?9155规律总结：应用排列数公式时，注意开始的是哪个数，结束的是哪个数，总共有几个数；进行式子化简运算时，常利用阶乘的公式更简单，注意两个公式的灵活选用。

564A10?A10变式训练：计算 54A9?A9

题型三 分类分步加法计数原理综合应用

322例3 解方程3Ax?2Ax?1?6Ax

思路导析: 先利用排列数的公式，将含参的式子展开换为普通的方程求解，注意其中参数的取值范围。

322解：由3Ax?2Ax?6A?1x得3x(x?1)(x?2)?2(x?1).x?6x(x?1)

因为x?3，所以3(x?1)(x?2)?2(x?1)?6(x?1)，即3x2?17x?10?0 解得x=5或x?2（舍去）所以x=5 3方法规律：解含有排列数的方程(或不等式)的基本思想是：将排列数方程(或不等式)转化为关于x的代数

m方程(或不等式)求解．由于排列数An中m、n均为正整数，m?n这些限制条件，因此还要注意含有排列

数的方程(或不等式)中未知数的取值范围．

11?n2n变式训练：求值：A2?Ann?4

四、随堂练习

1．用1，2，3组成各位数字不重复的三位数，按从小到大的顺序进行排列，第四个数是（ ）

A 132 B 231 C 213 D 312 2．4?5?6??(n?1)?n(n?N*)等于 （ ）

4n?4n?3A An B An C n!?4! D An

3．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有_____种． A. 11 B.12 C. 10 D.9

4．由1，4，5，x四个数字组成没有重复数字的四位数，若所有这些四位数的各位上的数字之和为288，则数字x=

5. 若n?N*且n?30，则(30?n)(31?n)mmm?16.求证：An. ?1?An?mAn(43?n)(44?n)等于

五、课后作业

1．将红、黄、蓝、绿、白五种颜色的小球放进红、黄、蓝、绿、白的五种颜色的小盒中，共有( )种方法。

A 120 B 60 C 240 D 36

22.已知An?132，则n等于（ ）

A 11 B 12 C 13 D 14

3.从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条(用数值表示) x4. 不等式A9?6A9x?2的解集为 .

5.某乒乓球队有1名种子队员、2名主力队员和7名普通队员，先从中选出5人参加5场比赛，每人参加一场，其中种子队员必须赛第一场，则总共有多少种安排方法？ 6.计算下列各题

（1）求 11!?22!?……?nn!的值. （2）

123???2!3!4!?n?1 n!

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