8.解析几何

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第八章解析几何考点25 直线与圆两年高考真题演练 1．(20152北京)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( ) A．(x－1)＋(y－1)＝1 B．(x＋1)＋(y＋1)＝1 C．(x＋1)＋(y＋1)＝2 D．(x－1)＋(y－1)＝2

2．(20152安徽)直线3x＋4y＝b与圆x＋y－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( ) A．－2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．2或12

3．(20152新课标全国Ⅱ)已知三点A(1，0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )

521A. B. 33C.

254

D. 33

4．(20152湖南)若直线3x－4y＋5＝0与圆x＋y＝r(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________．

→→22

5．(20152山东)过点P(1，3)作圆x＋y＝1的两条切线，切点分别为A，B，则PA2PB＝________．

6．(20152江苏)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．

7．(20152湖北)

如图，已知圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.

(1)圆C的标准方程为________．

(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________．

8．(20152新课标全国Ⅰ)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)＋(y

－3)＝1交于M，N两点．

(1)求k的取值范围；

→→

(2)若OM2ON＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.

9．(20142新课标全国Ⅰ)已知点P(2，2)，圆C：x＋y－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．

(1)求M的轨迹方程；

(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．

考点25 直线与圆一年模拟试题精练 11．(20152滨州模拟)当0＜k＜时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交

2点在( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．(20152广东海珠综合测试)“a＝－1”是“直线ax－y＋6＝0与直线4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．(20152安庆模拟)若直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为10，则m＝( )

A．7 B. C．14 D．17

4．(20152泉州模拟)已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点．把直线l绕点M逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )

A．3x＋y－6＝0 B．3x－y＋6＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－3y－2＝0

5．(20152合肥模拟)经过点P(1，1)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，若使截距之和最小，则该直线的方程为( )

A．x－y＝0 B．x＋y－2＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x＋2y－3＝0

6．(20152宝鸡模拟)若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是( )

5152 B．52 C.2 D．152 22

7．(20152漳州模拟)在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的|PA|＋|PB|

中点，则＝( ) 2

|PC|

A．2 B．4 C．5 D．10

8．(20152聊城模拟)当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以

C为圆心，半径为5的圆的方程为( )

A．x＋y－2x＋4y＝0 B．x＋y＋2x＋4y＝0 C．x＋y＋2x－4y＝0 D．x＋y－2x－4y＝0

9．(20152淄博模拟)过直线2x＋y＋4＝0和圆(x＋1)＋(y－2)＝4的交点，并且面积最小的圆的方程为( )

26123722

A．x＋y＋x－y＋＝0

55526123722

B．x＋y＋x－y－＝0

55526123722

C．x＋y－x－y＋＝0

55526123722

D．x＋y－x－y－＝0

555

10．(20152郑州模拟)已知实数x，y满足x＋y＝4(y≥0)，则m＝3x＋y的取值范围是( )

A．(－23，4) B．[－23，4] C．[－4，4] D．[－4，23]

11．(20152苏州模拟)若直线l过点P(－1，2)，且与以A(－2，－3)，B(3，0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是________．

12．(20152三明模拟)若A(1，－2)，B(5，6)，直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为________．

13．(20152南昌模拟)过点P(1，2)引直线，使A(2，3)，B(4，－5)到它的距离相等，则直线方程为________．

14．(20152深圳市二调)已知平面内的动点P与点N(0，1)的连线的斜率为k1，线段PN1

的中点与原点连线的斜率为k2，k1k2＝－2(m＞1)，动点P的轨迹为C.

(1)求曲线C的方程；

(2)恰好存在唯一一个同时满足下列条件的圆：①以曲线C的弦AB为直径；②过点N；③直径|AB|＝2|NB|，求m的取值范围．

考点26 椭圆两年高考真题演练 xy1．(20152广东)已知椭圆＋2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝( )

25mA．2 B．3 C．4 D．9

2．(20152福建)已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，

ab4

直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，5则椭圆E的离心率的取值范围是( )

A.?0，C.?

22??3??3?? B.?0，4?

??2?

?3??3?

，1? D.?4，1?

???2?

xyb

3．(20152浙江)椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点F(c，0)关于直线y＝x的对称点Q

abc在椭圆上，则椭圆的离心率是________．

xy2

4．(20152陕西)如图，椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)，经过点A(0，－1)，且离心率为. ab2(1)

求椭圆E的方程；

(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.

5．(20142新课标全国Ⅱ)设F1，F2分别是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，M

ab是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.

(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；

(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.

考点26 椭圆一年模拟试题精练 x2

1．(20152宝鸡市质检一)已知抛物线y＝8x的焦点与椭圆2＋y＝1的一个焦点重合，

则该椭圆的离心率为( )

512325 B. C. D. 5235

2．(20152烟台模拟)一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为( )

xyxy

A.＋＝1 B.＋＝1 86166xyxy

C.＋＝1 D.＋＝1 84164

3．(20152日照模拟)椭圆ax＋by＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为3a

，则的值为( ) 2b

323 B. 229323 D. 227

4．(20152杭州七校期末联考)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围是( )

A.?

?5??2?，1? B.?，1? ?5??2???

5?2??

? D.?0，? 5?2??

C.?0，xy

5．(20152聊城模拟)椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上

aba

的一点，l：x＝－，且PQ⊥l，垂足为Q，若四边形PQF1F2为平行四边形，则椭圆的离心率

c的取值范围是( )

?1??1?A.?，1? B.?0，? ?2??2?

C.?0，??2??2?? D.?，1? 2??2?

6．(20152本溪模拟)椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2

2516的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|y1－y2|的值为________．

7．(20152成都模拟)椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B.当

43△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．

xy2222

8．(20152南京市调研)给定椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)，称圆C1：x＋y＝a＋b为椭

ab圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为(1)求实数a，b的值；

(2)若过点P(0，m)(m＞0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为22，求实数m的值．

，且经过点(0，1)． 2

考点27 双曲线两年高考真题演练 1．(20152安徽)下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是( ) yx2

A．x－＝1 B.－y＝1

yx2

C．x－＝1 D.－y＝1

2．(20152湖南)若双曲线2－2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心

ab率为( )

7545 B. C. D. 3433

3．(20152天津)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0 )的一个焦点为F(2，0)，且双曲线

ab的渐近线与圆(x－2)＋y＝3相切，则双曲线的方程为( )

xyxy

A.－＝1 B.－＝1 913139xy22

C.－y＝1 D．x－＝1 33

4．(20152四川)过双曲线x－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条

渐近线于A，B两点，则|AB|＝( )

B．23 C．6 D．43 3

5．(20152重庆)设双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，

abA2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为( )

A．± B．± C．±1 D．±2

6．(20152湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则( )

A．对任意的a，b，e1

B．当a>b时，e1e2 C．对任意的a，b，e1>e2

D．当a>b时，e1>e2；当a

7．(20152北京)已知(2，0)是双曲线x－2＝1(b＞0)的一个焦点，则b＝________.

8．(20152新课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝±x，则该双

2曲线的标准方程为________．

xyy

9．(20142湖南)如图，O为坐标原点，双曲线C1：2－2＝1(a1＞0，b1＞0)和椭圆C2：2

a1b1a2

x?23?

＋2＝1(a2＞b2＞0)均过点P?，1?，且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是b2?3?面积为2的正方形．

(1)求C1，C2的方程；

→→

(2)是否存在直线l，使得l与C1交于A，B两点，与C2只有一个公共点，且|OA＋OB|＝→

|AB|？证明你的结论．

考点27 双曲线一年模拟试题精练 xy5

1．(20152邯郸市质检)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为y＝－x，

ab2则它的离心率为( )

53352

B. C. D. 2253

222

2．(20152天津市六校联考)以双曲线－＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的

916圆的方程是( )

A．x＋y－10x＋9＝0 B．x＋y－10x＋16＝0 C．x＋y＋10x＋16＝0 D．x＋y＋10x＋9＝0

xyπ

3．(20152厦门市质检)过双曲线C：－＝1的左焦点作倾斜角为的直线l，则直线

496l与双曲线C的交点情况是( )

A．没有交点 B．只有一个交点

C．两个交点都在左支上 D．两个交点分别在左、右支上

4．(20152晋冀豫三省二调)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与圆(x－

ab3)＋y＝9相交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的离心率为( )

A．8 B．22 C．3 D．4

xy6

5．(20152忻州一中等四校联考)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则

ab2此双曲线的渐近线方程为( )

A．y＝±2x B．y＝±2x C．y＝±

x D．y＝±x 22

6．(20152玉溪一中检测)若圆x＋y－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为( )

yxxy

A.－＝1 B.－＝1 972972xyyx

C.－＝1 D.－＝1 16818116

7．(20152四川省统考)已知点F是双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该

ab双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率是( )

A．3 B．2 C.2 D.3

8．(20152荆门市调研)设双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F作与x

ab轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原3→→→

点，若OP＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，λ2μ＝，则双曲线的离心率为( )

2335329

B. C. D. 3528

9．(20142广州综合测试)已知双曲线E：2－＝1(a＞0)的中心为原点O，左、右焦点

a435a→→

分别为F1、F2，离心率为，点P是直线x＝上任意一点，点Q在双曲线E上，且满足PF22QF2

53＝0.

(1)求实数a的值；

(2)证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；

(3)若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同两点M，N，在线段|PM||MH|

MN上取异于点M，N的点H，满足＝，证明：点H恒在一条定直线上．

|PN||HN|

考点28 抛物线两年高考真题演练 1．(20152陕西)已知抛物线y＝2px(p＞0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线焦点坐标为( )

A．(－1，0) B．(1，0) C．(0，－1) D．(0，1)

2．(20152新课标全国Ⅰ)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛

2物线C：y＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝( )

A．3 B．6 C．9 D．12

3．(20152四川)设直线l与抛物线y＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)＋y＝r(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )

A．(1，3) B．(1，4) C．(2，3) D．(2，4) 4．(20152浙江)如图，

1222

已知抛物线C1：y＝x，圆C2：x＋(y－1)＝1，过点P(t，0)(t＞0)作不过原点O的直

4线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．

(1)求点A，B的坐标； (2)求△PAB的面积．

注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．

5．(20142安徽)如图，

已知两条抛物线E1：y＝2p1x(p1>0)和E2：y＝2p2x(p2>0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点．

(1)证明：A1B1∥A2B2；

(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面S1

积分别为S1与S2，求的值．

考点28 抛物线一年模拟试题精练 1．(20152唐山市摸底)抛物线y＝2x的准线方程是( ) 11

A．x＝－ B．x＝

2211

C．y＝－ D．y＝

xy2

2．(20152巴蜀中学一模)双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，抛物线y

ab＝2px(p＞0)与双曲线C的渐近线交于A，B两点，△OAB(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )

A．y＝8x B．y＝4x C．y＝2x D．y＝43x

3．(20152北京西城区检测)设抛物线W：y＝4x的焦点为F，过F的直线与W相交于A，B两点，记点F到直线l：x＝－1的距离为d，则有( )

A．|AB|≥2d B．|AB|＝2d C．|AB|≤2d D．|AB|＜2d

4．(20152忻州一中等四校一联)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝2px(p＞0)的焦点F，M为抛物线C上一点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且外接圆的面积为9π，则p＝( )

A．2 B．4 C．6 D．8

5．(20152延安摸拟)直线y＝kx＋2与抛物线y＝8x有且只有一个公共点，则k的值为( )

A．1 B．1或3 C．0 D．1或0

6．(20152昆明一中检测)设抛物线C：y＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心且经过点A的圆与l交于B，D两点，若∠ABD＝90°，|AF|＝2，则p＝( )

A．1 B.3 C．2 D.6

7．(20152云南部分名校第一次联考)抛物线y＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为43，则抛物线方程为( )

A．y＝6x B．y＝8x 1522

C．y＝16x D．y＝x 2

xy2

8．(20152吉林市摸底)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的左顶点与抛物线y＝2px

2的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )

A．23 B．25 C．43 D．45

9．(20152云南玉溪一中期中)已知抛物线方程为y＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为( )

A.C.

5252

＋2 B.＋1 225252－2 D.－1 22

10．(20152铜陵模拟)过抛物线y＝2px(p＞0)焦点F的直线l与抛物线交于B，C两点，→→

l与抛物线的准线交于点A，且|AF|＝6，AF＝2FB，则|BC|＝( )

913

A. B．6 C. D．8 22

11．(20152巴蜀中学一模)已知圆C：(x－a)＋(y－b)＝r(b＞0)，圆心在抛物线y＝4x上，经过点A(3，0)，且与抛物线的准线相切，则圆C的方程为____________．

12．(20142忻州联考)已知P为抛物线y＝4x上一个动点，Q为圆x＋(y－4)＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是________．

13．(20152衡水中学四调)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，点P是点F关于y轴的对称点，过点P的直线交抛物线于A，B两点．

(1)试问在x轴上是否存在不同于点P的一点T，使得TA，TB与x轴所在的直线所成的锐角相等，若存在，求出定点T的坐标，若不存在，说明理由；

5→→

(2)若△AOB的面积为，求向量OA，OB的夹角．

考点29 圆锥曲线的综合问题

两年高考真题演练

xy2

1．(20152新课标全国Ⅱ)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，点(2，2)

ab2在C上．

(1)求C的方程；

(2)直线l不经过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

xy3

2．(20152山东)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，ab21??且点?3，?在椭圆C上．

2??

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆E：2＋2＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E

4a4b于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.

|OQ|(ⅰ)求的值；

|OP|

(ⅱ)求△ABQ面积的最大值．

3．(20142重庆)如图，设椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D在

ab|F1F2|2

椭圆上，DF1⊥F1F2，＝22，△DF1F2的面积为.

|DF1|2

(1)求该椭圆的标准方程；

(2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

考点29 圆锥曲线的综合问题

一年模拟试题精练

1．(20152昆明一中检测)设椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－2，0)，过F

ab的直线交C于A，B两点，设点A关于y轴的对称点为A′，且|FA|＋|FA′|＝4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若点A在第一象限，当△AFA′面积最大时，求|AB|的值．

2．(20152巴蜀中学一模)已知椭圆的焦点坐标是F1(－1，0)，F2(1，0)，过点F2垂直于长轴的直线交椭圆于P，Q两点，且|PQ|＝3.

(1)求椭圆的方程；

(2)过F2的直线与椭圆交于不同的两点M，N，则△F1MN的内切圆面积是否存在最大值？若存在，则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．

xy2

3．(20152云南省名校统考)如图，已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，且

ab2b

过点(2，2)，四边形ABCD的顶点在椭圆E上，且对角线AC，BD过原点O，kAC2kBD＝－2.

→→

(1)求OA2OB的取值范围；

(2)求证：四边形ABCD的面积为定值．

4．(20152锦州市期末)如图，已知点F为椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点，圆A：

ab(x＋t)＋y＝2(t＞0)与椭圆C的一个公共点为B(1，0)，且直线FB与圆A相切于点B.

(1)求t的值及椭圆C的标准方程；

→→→

(2)设动点P(x0，y0)满足OP＝OM＋3ON，其中M，N是椭圆C上的点，O为原点，直线OM122

与ON的斜率之积为－，求证：x0＋2y0为定值．

参考答案第八章解析几何考点25 直线与圆

【两年高考真题演练】

1．D [圆的半径r＝1＋1＝2，∴圆的方程为(x－1)＋(y－1)＝2.]

2．D [圆方程可化为(x－1)＋(y－1)＝1，∴该圆是以(1，1)为圆心，以1为半径的|331＋431－b|

圆，∵直线3x＋4y＝b与该圆相切，∴＝1.解得b＝2或b＝12，故选D.] 223＋4

3．B [由点B(0，3)，C(2，3)，得线段BC的垂直平分线方程为 x＝1，①

由点A(1，0)，B(0，3)，得线段AB的垂直平分线方程为 y－

33?1?＝?x－?，② 23?2?

?2?联立①②，解得△ABC外接圆的圆心坐标为?1， 3?，

?3?

其到原点的距离为

21?2?1＋? 3?＝.故选B.] 3?3?

4．2 [如图，

过O点作OD⊥AB于D点，在Rt△DOB中，∠DOB＝60°， ∴∠DBO＝30°，

|330－430＋5|

又|OD|＝＝1，

5∴r＝2|OD|＝2.]

5. [由题意，圆心为O(0，0)，半径为1. 2

如图所示， ∵P(1，3)，∴PA⊥x轴，PA＝PB＝3.

∴△POA为直角三角形，其中OA＝1，AP＝3，则OP＝2， ∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°.

3→→→→

∴PA2PB＝|PA||PB|2cos∠APB＝3333cos 60°＝.]

6．(x－1)＋y＝2 [直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r＝（1－2）＋（0＋1）＝2.

故所求圆的标准方程为(x－1)＋y＝2.]

7．(1)(x－1)＋(y－2)＝2 (2)－2－1 [(1)由题意，设圆心C(1，r)(r为圆C的

?|AB|?＋12＝2，解得r＝2.所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2.

半径)，则r＝???2?

(2) 法一令x＝0，得y＝2±1，所以点B(0，2＋1)．又点C(1，2)，所以直线BC的斜率为kBC＝－1，所以过点B的切线方程为y－(2＋1)＝x－0，即y＝x＋(2＋1)．

令y＝0，得切线在x轴上的截距为－2－1.

法二令x＝0，得y＝2±1，所以点B(0，2＋1)．又点C(1，2)，设过点B的切线方程为y－(2＋1)＝kx，即kx－y＋(2＋1)＝0.由题意，圆心C(1，2)到直线kx－y＋|k－2＋2＋1|

(2＋1)＝0的距离d＝＝r＝2，解得k＝1.故切线方程为x－y＋(2＋1)2

k＋1

＝0.令y＝0，得切线在x轴上的截距为－2－1.]

8．解 (1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，因为l与C交于两点，所以4－74＋7解得

|2k－3＋1|

<1. 21＋k

?4－74＋7?

，?.

3??3

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．

将y＝kx＋1代入方程(x－2)＋(y－3)＝1，整理得 (1＋k)x－4(1＋k)x＋7＝0.

4（1＋k）7

所以x1＋x2＝，x1x2＝22. 1＋k1＋k→→

OM2ON＝x1x2＋y1y2

＝(1＋k)x1x2＋k(x1＋x2)＋1 4k（1＋k）＝＋8. 2

1＋k

4k（1＋k）

由题设可得＋8＝12， 2

1＋k解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1. 故圆心C在l上，所以|MN|＝2.

9．解 (1)圆C的方程可化为x＋(y－4)＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.

→→

设M(x，y)，则CM＝(x，y－4)，MP＝(2－x，2－y)． →→

由题设知CM2MP＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)＋(y－3)＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)＋(y－3)＝2.

(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，2为半径的圆．

由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为1

ON的斜率为3，所以l的斜率为－，

故l的方程为y＝－x＋. 33

410410

又|OM|＝|OP|＝22，O到l的距离为，|PM|＝，

所以△POM的面积为.

5【一年模拟试题精练】 1．B [l1和l2的交点坐标为?

?k，2k－1?，

??k－1k－1?

1k2k－1

∵0＜k＜，∴＜0，＞0，

2k－1k－1故l1和l2交点在第二象限．]

2．A [直线ax－y＋6＝0与直线4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直的充要条件是4a＋a－332

＝0，解得a＝－1或a＝，所以“a＝－1”是“直线ax－y＋6＝0与直线4x－(a－3)y＋9

4＝0互相垂直”的充分不必要条件，故选A.]

3．B [∵l2：x＋3y－＝0，∴l1∥l2，

3|m＋|21＋3

故l1和l2的距离为＝10，

∵m＞0，∴m＝.] 2

tan θ＋tan 45°

4．A [M(2，0)，旋转前，k＝2＝tan θ；旋转后k＝tan(θ＋45°)＝

1－tan θtan 45°＝－3，

故旋转后的直线方程为y－0＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.]

k－1k－1

5．B [y－1＝k(x－1)，横截距为，纵截距为1－k，由题意得k＜0，＋1－k

?1?＝2＋?－?＋(－k)≥2＋2?k??－1?2（－k）＝4，当且仅当－1＝－k，即k＝－1取等号，故?k?k??

该直线的方程为x＋y－2＝0.]

y1＋y2x1＋x2

6．B [＝－10，

x1＋x2222

令t＝，故P(t，t－10)，|OP|＝t＋（t－10）＝2（t－5）＋50≥52.]

27．D [

建立如图坐标系，设A(a，0)，B(0，b)，

?ab??ab?则D?，?，P?，?， ?22??44?

9212129222

|PA|＝a＋b，|PB|＝a＋b，

1616161612122

|PC|＝a＋b，

1616|PA|＋|PB|

故＝10.] 2

|PC|

8．C [该直线可整理为a(x＋1)＋(－x－y＋1)＝0，故定点C为(－1，2)，所求圆的标准方程为(x＋1)＋(y－2)＝5，即x＋y＋2x－4y＝0.]

9．A [将y＝－4－2x代入(x＋1)＋(y－2)＝4整理得：5x＋26x＋33＝0，x1＋x2＝－2612

，y1＋y2＝－4－2x1－4－2x2＝，弦长＝255

?|－2＋2＋4|?245

2－??＝5，满足条件面积最2

2＋1??

26123722

小的圆为以两交点的中点为圆心，弦长为直径的圆，故圆的方程为x＋y＋x－y＋＝0.]

555

10.

B [由图可知，当m＝3x＋y过(－2，0)时，m取最小值，最小值为－23；当m＝3x＋y与该半圆相切时，m取最大值，

＝2，m＝4，故m∈[－23，4]．]

（3）＋1

|m|

1?2－（－3）?11.?－∞，－?∪[5，＋∞) [由题意得：l的斜率k≥kPA＝＝5或k≤kPB2?－1－（－2）?＝

0－21＝－.] 3－（－1）2

12．x＋y－5＝0或2x－3y＝0 [AB的中点为M(3，2)， 2

当l的截距为0时，可设y＝kx，得k＝，

当l的截距不为0时，可设l的方程为＋＝1得a＝5.

aa故l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.]

13．4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0 [AB的中点为(3，－1)，满足条件的直线为过AB

y－2x－1

的中点或与AB平行．当过AB的中点(3，－1)时，＝，即3x＋2y－7＝0；当

2－（－1）1－3该直线与AB平行时，该直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0.]

?xy＋1?，由题意k＝y－1(x≠0)，

14．解 (1)设P(x，y)，记PN的中点为M，则M?，1

2?x?2?

y＋1?y＋1?（y－1）??2

211x?2?2

k2＝(x≠0)，由k1k2＝－2可得＝－2(x≠0)，化简整理可得：2＋y＝1(x

xmxmm

22x2

≠0)，即曲线C的方程为2＋y＝1(x≠0)．

(2)由题意N(0，1)，

若存在以曲线C的弦AB为直径的圆过点N，则有NA⊥NB，

所以直线NA、NB的斜率都存在且不为零，设直线NA的斜率为k(不妨设k＞0)，∴直线y＝kx＋1，??21

NA：y＝kx＋1，直线NB：y＝－x＋1，由?x消去y整理可得 2

k＋y＝1，2

??m

2mk

(1＋mk)x＋2mkx＝0，解得xA＝－22，

1＋mk

|2mk|1

所以|NA|＝1＋k22，以－代替k可得

1＋mkk

|NB|＝2m

1＋21＋k22， 2＝kmk＋m1＋2

?2m???1?k?

又∵|AB|＝2|NB|，

即有|NA|＝|AB|－|NB|＝|NB|， |2mk|22m

∴1＋k1＋k22， 22＝1＋mkk＋m

22∴k＋mk＝1＋mk，即(k－1)[k＋(1－m)k＋1]＝0，

①当m＝3时，(k－1)[k＋(1－m)k＋1]＝(k－1)＝0，解得k＝1； ②当1＜m＜3时，方程k＋(1－m)k＋1＝0，有Δ＝(1－m)－4＜0， ∴方程(k－1)[k＋(1－m)k＋1]＝(k－1)＝0有唯一解k＝1；

③当m＞3时，方程k＋(1－m)k＋1＝0有Δ＝(1－m)－4＞0，且1＋(1－m)31＋1≠0，

所以方程(k－1)[k＋(1－m)k＋1]＝(k－1)＝0有三个不等的根，综上，当1＜m≤3

时，恰有一个圆符合题意．考点26 椭圆

322222

【两年高考真题演练】

1．B [由题意知25－m＝16，解得m＝9，又m>0，所以m＝3.] 2．A [

左焦点F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形． ∵|AF|＋|BF|＝4， ∴|AF|＋|AF0|＝4， ∴a＝2. 设M(0，b)， 4b4则≥， 55∴1≤b＜2. c

离心率e＝＝a

2c2＝a

a－b

＝ 2

4－b?3?

∈?0，?，故选A.] 42??

2?x0＋c，y0?， [设Q(x0，y0)，则FQ的中点坐标??kFQ

2?2?2c（2c－a）

x0＝，2

ybx＋c??2＝c22，y

＝，依题意? x－cyb

??x－c2c＝－1，

解得?2bc

y＝??a，c（2c－a）4c

又因为(x0，y0)在椭圆上，所以＋4＝1，令e6

c262

＝，则4e＋e＝1，∴离心率e＝.] a2

4．(1)解由题设知＝，b＝1，

a2结合a＝b＋c，解得a＝2， x2

所以椭圆的方程为＋y＝1.

(2)证明由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y＝1，得(1＋

22k)x－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，

由已知Δ＞0，

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0， 4k（k－1）2k（k－2）

则x1＋x2＝，x1x2＝， 22

1＋2k1＋2k从而直线AP，AQ的斜率之和

y1＋1y2＋1kx1＋2－kkx2＋2－k

kAP＋kAQ＝＋＝＋

x1x2x1x2x1＋x2?11?＝2k＋(2－k)?＋?＝2k＋(2－k)

x1x2?x1x2?4k（k－1）

＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.

2k（k－2）5．解 (1)根据c＝a－b及题设知 b2

?b?a32

M?c，?，＝，2b＝3ac. ?a?2c4

c1c12222

将b＝a－c代入2b＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．故C的离心率为. a2a2

(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线b2

段MF1的中点，故＝4，即b＝4a.①

由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|. 设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则

???2（－c－x1）＝c，?x1＝－c.2 ?即?

?－2y1＝2，??

?y1＝－1.

9c1

代入C的方程，得2＋2＝1.②

4ab

9（a－4a）1

将①及c＝a－b代入②得＋＝1. 24a4a

解得a＝7，b＝4a＝28，故a＝7，b＝2 7. 【一年模拟试题精练】

c22522

1．D [y＝8x的焦点坐标为(2，0)，由题意得：a－1＝2，得a＝5，e＝＝＝.] a552．A [由|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝2a＝4c，得a＝2c， 43

2＋22＝1，得a＝22，b＝6， aa－c

因此，椭圆的标准方程为＋＝1.]

2b222

3．A [将y＝1－x代入ax＋by＝1，整理得(a＋b)x－2bx＋b－1＝0，x1＋x2＝，

a＋ba

2a?b，a?，a＋b＝a＝3.]

y1＋y2＝1－x1＋1－x2＝，因此AB的中点??a＋bbb2?a＋ba＋b?

a＋b

4．B [由|PF1|＋|PF2|＝2a和|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4c得，|PF1||PF2|＝2a－2c≤2

?|PF1|＋|PF2|?＝a2，即a2≤2c2，e2≥1，得e∈?2?.] ???，1?22???2?

2c－a2c－a

5．A [由题意得|PQ|＝|F1F2|＝2c，得P的横坐标为，－a＜＜a，即－ac

?1?222

＜2c－a＜ac，－e＜2e－1＜e，得e∈?，1?.]

?2?

6. [|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，因此 3

|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝20＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|，2πr＝π，r＝，S△ABF2

2115＝(|AB|＋|BF2|＋|AF2|)r＝|F1F2||y1－y2|，得|y1－y2|＝.] 223

7．3 [设F2为椭圆右焦点，|AF|＋|AF2|＝2a＝4，|BF|＋|BF2|＝2a＝4，故|AF|＋|BF|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8≥|AF|＋|BF|＋|AB|，故当△FAB的周长最大时，x＝m过椭圆右焦点1

F2，则|AB|＝3，故S△FAB＝|F2F|2|AB|＝3.]

8．解 (1)记椭圆C的半焦距为c.

c3222

由题意，得b＝1，＝，c＝a＋b，解得a＝2，b＝1.

x222

(2)由(1)知，椭圆C的方程为＋y＝1，圆C1的方程为x＋y＝5.显然直线l的斜率存

4在．

设直线l的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0. 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点， y＝kx＋m，??2

故方程组?x(*)有且只有一组解． 2

＋y＝1，??4由(*)得(1＋4k)x＋8kmx＋4m－4＝0. 从而Δ＝(8km)－4(1＋4k)(4m－4)＝0. 化简，得m＝1＋4k.①

因为直线l被圆x＋y＝5所截得的弦长为22，

所以圆心到直线l的距离d＝5－2＝3. 即

|m|

＝3.② 2

k＋1

由①②，解得k＝2，m＝9. 因为m＞0，所以m＝3.

考点27 双曲线

【两年高考真题演练】

1．A [由双曲线渐近线方程的求法知；双曲线x－＝1的渐近线方程为y＝±2x，故

选A.]

b3b

2．D [由条件知y＝－x过点(3，－4)，∴＝4，

aa即3b＝4a，∴9b＝16a，∴9c－9a＝16a， 522

∴25a＝9c，∴e＝.故选D.]

xy22

3．D [双曲线2－2＝1的一个焦点为F(2，0)，则a＋b＝4，①

abb

双曲线的渐近线方程为y＝±x，

a由题意得

2ba＋b

＝3，②

联立①②解得b＝3，a＝1，所求双曲线的方程为x－＝1，选D.]

4．D [右焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x－＝0，将

x＝2代入渐近线方程得y＝12，y＝±23，

∴|AB|＝23－(－23)＝43.选D.] 5．C [

22xy?b?双曲线2－2＝1的右焦点F(c，0)，左、右顶点分别为A1(－a，0)，A2(a，0)，易求B?c，?，ab?a?

b??C?c，－?，则 a??

bbaa

kA2C＝，kA1B＝，

c＋aa－c又A1B与A2C垂直，

bbb

aaa

则有kA1B2kA2C＝－1，即2＝－1，∴22＝1，

c＋aa－cc－a∴a＝b，即a＝b， b

∴渐近线斜率k＝±＝±1.]

a6．B [e1＝

1＋2，e2＝ a

（b＋m）bb＋m1＋(m>0)，得2.不妨令e1

2bb＋mbb＋m

bma时，有>，即e1>e2；当b

aa＋maa＋m

7.3 [由题意：c＝2，a＝1，由c＝a＋b.得b＝4－1＝3，所以b＝3.] x1x22

8.－y＝1 [由双曲线渐近线方程为y＝±x，可设该双曲线的标准方程为－y＝42442

λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以－(3)＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标

4x2

准方程为－y＝1.]

9．解 (1)设C2的焦距为2c2，由题意知，2c2＝2，2a1＝2，从而a1＝1，c2＝1.因为点y?23??23?2122

P?－2＝1.故b1＝3. ，1?在双曲线x－2＝1上，所以??b1?3??3?b1

由椭圆的定义知 2a2＝?23?22

??＋（1－1）＋?3?

?23?22??＋（1＋1）＝23. ?3?

于是a2＝3，b2＝a2－c2＝2，故C1，C2的方程分别为 yyx

x－＝1，＋＝1.

332

(2)不存在符合题设条件的直线．

①若直线l垂直于x轴，因为l与C2只有一个公共点，所以直线l的方程为x＝2或x＝－2.

当x＝2时，易知A(2，3)，B(2，－3)， →→→

所以|OA＋OB|＝22，|AB|＝23. →→→

此时，|OA＋OB|≠|AB|.

→→→

当x＝－2时，同理可知，|OA＋OB|≠|AB|. ②若直线l不垂直于x轴，设l的方程为y＝kx＋m. y＝kx＋m，??222由?2y2得(3－k)x－2kmx－m－3＝0.

x－＝1?3?

当l与C1相交于A，B两点时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，

2kmm＋3从而x1＋x2＝. 2，x1x2＝23－kk－3

3k－3m

于是y1y2＝kx1x2＋km(x1＋x2)＋m＝2. k－3

y＝kx＋m，??22

222

由?yx得(2k＋3)x＋4kmx＋2m－6＝0.

＋＝1??32

因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式 Δ＝16km－8(2k＋3)(m－3)＝0. 化简，得2k＝m－3，因此

m＋33k－3m→→

OA2OB＝x1x2＋y1y2＝2＋2

k－3k－3－k－3

＝2≠0， k－3

→2→2→→→2→2→→于是OA＋OB＋2OA2OB≠OA＋OB－2OA2OB， →→2→→2→→→即|OA＋OB|≠|OA－OB|，故|OA＋OB|≠|AB|. 综合①，②可知，不存在符合题设条件的直线．【一年模拟试题精练】

bb5c－a5c3

1．B [该双曲线的渐近线为y＝±x，故＝，即＝，e＝＝.] aa2a2a23

2．A [该双曲线的渐近线为y＝±x，右焦点坐标为(5，0)，(5，0)到渐近线的距离为

44，故该圆的标准方程为(x－5)＋y＝16，即x＋y－10x＋9＝0.]

3π33

3．D [该双曲线的渐近线为y＝±x，kl＝tan＝＜，故l与双曲线C的交点分别

2632在左、右两支上．]

4．C [双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，因为圆心为(3，0)，半径为3，由|AB|＝2，可知圆心到直线AB的距离为22，于是

3ba＋b

＝22，解得b＝8a，于是c＝a＋b

2222

＝3a，所以e＝＝3.]

c62

5．C [∵e＝＝，故可设a＝2k，c＝6k，则得b＝2k，∴渐近线方程为y＝±a22x.]

??x＋y－4x－9＝0，??x＝0，??x＝0，

??6．A [解方程组得或? ?x＝0，?y＝3?y＝－3.???

∵圆x＋y－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，

?18?2

∴A(0，－3)，B(0，3)，∴a＝3，2c＝18，∴b＝??－3＝72，

?2?

∴双曲线方程为－＝1.]

972

7．B [因为AB⊥x轴，又已知△ABE是直角三角形，且显然AE＝BE，所以△ABE是等腰b??三角形，所以∠AEB＝90°，所以∠AEF＝45°，所以AF＝EF，易知点A?－c，?(不妨设点Aa??b2222

在x轴上方)，故＝a＋c，即b＝a(a＋c)，得c－ac－2a＝0，即e－e－2＝0，解得e＝2，

a或e＝－1(舍去)．]

→b→?bc??b?8．A [不妨设A在第一象限，故A的坐标为?c，?，P的坐标为?c，?，因此FP＝FA

a?c??a?b→→

＝(OA－OB)． 2c

b→→→→→1→→

OP＝OF＋FP＝(OA＋OB)＋(OA－OB)

22c

?1b?→?1b?→

＝?＋?OA＋?－?OB ?22c??22c?

3c23?1b??1b?3

∵λ2μ＝，∴?＋??－?＝，得e＝＝.]

16a3?22c??22c?169．(1)解设双曲线E的半焦距为c，

??c＝35，

5由题意可得?a解得a＝5. ??c2＝a2＋4，

(2)证明由(1)可知，直线x＝＝，点F2(3，0)．

?5?设点P?，t?，Q(x0，y0)， ?3?

因为PF→→

22QF2＝0，

所以???3－53，－t???

2(3－x0，－y0)＝0，所以ty＝4

(x0－3)．

因为点Q(x0，y0)在双曲线E上， 2

所以x05－y02

424＝1，即y0＝5(x0－5)，

所以ky0－ty0y0－ty0

PQ2kOQ＝2＝x5x 0250－3x0－3x0

4（x24

0－5）－（x0－3）＝53

50－3x0

4x240－＝53x0＝4x2

－55，

所以PQ与OQ的斜率之积为定值．

(3)证明 P??5?3，1???

，设H(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，令|PM||MH||PN|＝|HN|

＝λ，则|PM|＝λ|PN|，|MH|＝λ|HN|，

?即?????x51?51－3，y1－??＝λ???x2－3，y2－1???，

??（x－x1，y－y1）＝λ（x2－x，y2－y），

?x5

1－λx2＝3

（1－λ），整理，得??

－λy2

＝1－λ， ②??x1＋λx2＝x（1＋λ）， ③y1

＋λy2

＝y（1＋λ）， ④

?由①3③，②3④得??x222521－λx2＝3（1－λ）x， ??y22221－λy2＝（1－λ）y， ⑥将y2422

421＝5(x1－5)，y2＝5

(x2－5)代入⑥，

①

⑤ 4x1－λx2

得y＝32－4. ⑦

51－λ4

将⑤代入⑦，得y＝x－4，

所以点H恒在定直线4x－3y－12＝0上．考点28 抛物线

【两年高考真题演练】

pp2

1．B [由于抛物线y＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，由题意得－＝－1，p＝2，焦

22点坐标为(1，0)，故选B.]

c12xy

2．B [因为e＝＝，y＝8x的焦点为(2，0)，所以c＝2，a＝4，故椭圆方程为＋

a21612＝1，将x＝－2代入椭圆方程，解得y＝±3，所以|AB|＝6.]

3．D [

222

?y1＝4x1，?

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则?2相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，

?y＝4x，2?2

当l的斜率不存在时，符合条件的直线l必有两条；

y1＋y2y1－y2

当l的斜率存在时，x1≠x2，则有2＝2，即y02k＝2，

2x1－x2y0－0

由CM⊥AB得k2＝－1，y0k＝5－x0，2＝5－x0，∴x0＝3，

x0－5

即M必在直线x＝3上，将x＝3代入y＝4x，得y＝12，有－23＜y0＜23， ∵点M在圆上，∴(x0－5)＋y0＝r，r＝y0＋4＜12＋4＝16，又y0＋4＞4，∴4＜r＜16，∴2＜r＜4，故选D.]

4．解 (1)由题意知直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为y＝k(x－t)． y＝k（x－t），??

由?12消去y，整理得：

y＝x??4

x－4kx＋4kt＝0，

由于直线PA与抛物线相切，得k＝t，

因此，点A的坐标为(2t，t)．

设圆C2的圆心为D(0，1)，点B的坐标为(x0，y0)，由题意知：点B，O关于直线PD对称，故 2t

yxx＝0002，?1＋t?＝－＋1，

2t 解得 ?22

2t?y0＝?x0t－y0＝0.2.1＋t

?????

?2t2，2t2?.

因此，点B的坐标为??

?1＋t1＋t?

(2)由(1)知，|AP|＝t21＋t 和直线PA的方程tx－y－t＝0，点B到直线PA的距离是d＝设△PAB的面积为S(t)， 1t

所以S(t)＝|AP|2d＝.

5．(1)证明设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)，

??y＝k1x，?2p12p1?由?2得A1?2，?，

?k1k1??y＝2p1x，??y＝k1x，??2p22p2?由?2得A2?2，?. ?k1k1???y＝2p2x，

1＋t

，

同理可得B1?

2p1?1?2p?2p22p2?，B2?2，?. 2，??k2k2??k2k2?

→?2p12p12p12p1?

所以A1B1＝?2－2，－?

?k2k1k2k1?

?1111?＝2p1?2－2，－?， ?k2k1k2k1?

→?2p22p22p22p2?A2B2＝?2－2，－?

?k2k1k2k1?

?1111?＝2p2?2－2，－?. ?k2k1k2k1?

→p1→故A1B1＝A2B2，

p2所以A1B1∥A2B2.

(2)解由(1)知A1B1∥A2B2，同理可得B1C1∥B2C2，C1A1∥C2A2. 所以△A1B1C1∽△A2B2C2.

→?2|AS1?1B1|?因此＝?.

S2?→?

?|A2B2|?

→

→p1→|A1B1|p1

又由(1)中的A1B1＝A2B2知＝.

p2→p2

|A2B2|S1p1故＝2. S2p2

【一年模拟试题精练】

122

1．C [把抛物线y＝2x的方程化成标准形式为x＝y，是焦点在y轴正半轴的抛物线，

所以其准线方程为y＝－.] 8

ca＋b

2．C [∵＝＝2，∴a＝b，故双曲线的渐近线方程为y＝±x，因此可设A的

aa12

坐标为(x0，x0)，则B的坐标为(x0，－x0)，S△AOB＝x022x0＝x0＝4，则x0＝2或x0＝－2(舍)，

2将(2，2)代入y＝2px，p＝1，故抛物线的方程为y＝2x.]

3．A [设A，B的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，由抛物线的定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋2；d＝2.

当直线AB的斜率不存在时，|AB|＝4＝2d，

当直线AB的斜率存在时，AB的直线方程为y＝k(x－1)，将其代入y＝4x，整理得：kx2k＋44

－(2k＋4)x＋k＝0，x1＋x2＝2＝2＋2＞2，|AB|＞4＝2d，综上，|AB|≥2d.]

4．B [∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切， ∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，

∵圆的面积为9π，∴圆的半径为3，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，∴＋

22p

＝3，∴p＝4.] 4

?y＝kx＋2，?2

5．D [由?2得ky－8y＋16＝0，

??y＝8x

若k＝0，则y＝2，若k≠0，则Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1，

因此直线y＝kx＋2与抛物线y＝8x有且只有一个公共点，则k＝0或k＝1.] 6．A [设准线与x轴交于E，由题意，|AF|＝|BF|＝|AB|＝2，△ABF为等边三角形．∴∠FBD＝30°，∴|EF|＝1，即p＝1.]

7．B [设M(x1，y1)．∵|MF|＝4|OF|，

pp3p

∴x1＋＝43，∴x1＝，∴|y1|＝3p，

2221p

∴S△MFO＝333p＝43，∴p＝4，

22∴抛物线的方程为y＝8x.]

8．B [根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，即p2

点(－2，－1)在抛物线的准线上，又由抛物线y＝2px的准线方程为x＝－，则p＝4，则抛

2物线的焦点为(2，0)；则双曲线的左顶点为(－2，0)，即a＝2；点(－2，－1)在双曲线的渐1

近线上，则其渐近线方程为y＝±x，由双曲线的性质，可得b＝1，

则c＝5，则焦距为2c＝25.]

9．D [因为抛物线的方程为y＝4x，所以焦点坐标为F(1，0)，准线方程为x＝－1. 因为点P到y轴的距离为d1，所以到准线的距离为d1＋1，

又d1＋1＝|PF|，所以d1＋d2＝d1＋1＋d2－1＝|PF|＋d2－1，焦点到直线x－y＋4＝0的|1－0＋4|5525252

距离d＝＝＝，而|PF|＋d2≥d＝，所以d1＋d2＝|PF|＋d2－1≥－1，

22222选D.]

10．A [

过B，C两点作准线x＝－的垂线，垂足分别为B1，C1，由抛物线定义得|CF|＝|CC1|，

2x6－x339

|BF|＝|BB1|，设|CF|＝x，则＝，得x＝，故|BC|＝3＋＝.] 36＋3222

11．(x－2)＋(y－22)＝9 [由抛物线定义可得，圆过抛物线焦点(1，0)，又过A(3，0)，故圆心的横坐标为2，又∵b＞0，∴b＝432＝22，r＝（2－1）＋（22）＝3，故圆C的方程为(x－2)＋(y－22)＝9.]

12.17－1 [由题意知，圆x＋(y－4)＝1的圆心为C(0，4)，半径为1，抛物线的焦点为F(1，0)．根据抛物线的定义，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ|＋|PF|≥|PC|＋|PF|－1≥|CF|－1＝17－1.]

13．解 (1)由题意知：抛物线方程为y＝4x，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线l的方程为x＝my－1，代入y＝4x得y－4my＋4＝0，Δ＝16m－16＞0，得m＞1，

??y1＋y2＝4m，?假设存在T(a，0)满足题意， ?y1y2＝4，?

y1y22my1y2－（1＋a）（y1－y2）则kAT＋kBT＝＋＝ x1－ax2－a（x1－a）（x2－a）＝

8m－4m（1＋a）

＝0.

（x1－a）（x2－a）

∴8m－4m(1＋a)＝0， ∴a＝1，∴存在T(1，0)．

1115

(2)S△AOB＝|OP||y1－y2|＝|OF||y1－y2|＝|y1－y2|＝，∴|y1－y2|＝5，

2222设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，∠AOB＝θ. y1y144

kOA＝＝2＝＝tan α，kOB＝＝tan β，

x1y1y1y2

4设θ＝|α－β|， ∴tan θ＝|tan(α－β)| ＝?

?tan α－tan β?

??1＋tan αtan β?

44－??yy

＝?

16??1＋yy?

＝

|y1－y2|π

＝1，∴θ＝.考点29 圆锥曲线的综合问题 54

【两年高考真题演练】

a－b242

1．(1)解由题意得＝，2＋2＝1，

a2ab解得a＝8，b＝4. xy

所以C的方程为＋＝1.

(2)证明设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝xy

kx＋b代入＋＝1得

(2k＋1)x＋4kbx＋2b－8＝0.

22x1＋x2－2kbb故xM＝＝2，yM＝k2xM＋b＝2.

22k＋12k＋1yM1

于是直线OM的斜率kOM＝＝－，

xM2k1

即kOM2k＝－. 2

所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值． 31a－b3

2．解 (1)由题意知2＋2＝1.又＝，

a4ba2解得a＝4，b＝1.

所以椭圆C的方程为＋y＝1.

4xy

(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1.

164

|OQ|

(ⅰ)设P(x0，y0)，＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0)．

|OP|x02

因为＋y0＝1，

（－λx0）（－λy0）λ又＋＝1，即

1644|OQ|

所以λ＝2，即＝2.

|OP|(ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，可得(1＋4k)x＋8kmx＋4m－16＝0，由Δ＞0，可得m＜4＋16k，① 8km

则有x1＋x2＝－2，

1＋4k4m－16x1x2＝2. 1＋4k

416k＋4－m

所以|x1－x2|＝. 2

1＋4k

因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)， 1216k＋4－m|m|

所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|＝ 2

21＋4k2（16k＋4－m）m

＝＝22

1＋4km设2＝t， 1＋4k

222222

?x0＋y2?

?40?＝1， ??

?4－m2?m.

?1＋4k?1＋4k2??

将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，可得(1＋4k)x＋8kmx＋4m－4＝0，由Δ≥0，可得m≤1＋4k.② 由①②可知0＜t≤1，

因此S＝2（4－t）t＝2－t＋4t，故S≤23，

当且仅当t＝1，即m＝1＋4k时取得最大值23. 由(ⅰ)知，△ABQ面积为3S，所以△ABQ面积的最大值为63.

3．解 (1)设F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝a－b. |F1F2||F1F2|2由＝22.得|DF1|＝＝c. |DF1|222

1222

从而S△DF1F2＝|DF1||F1F2|＝c＝，故c＝1.

222从而|DF1|＝

2932222

，由DF1⊥F1F2得|DF2|＝|DF1|＋|F1F2|＝，因此|DF2|＝. 222

所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝22，故a＝2，b＝a－c＝1.

因此，所求椭圆的标准方程为＋y＝1.

(2)如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆＋y＝1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个

2交点，y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2.

由圆和椭圆的对称性，易知，x2＝－x1，y1＝y2.

→→

由(1)知F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1P1＝(x1＋1，y1)，F2P2＝(－x1－1，y1)．再由F1P1

x1422

⊥F2P2，得－(x1＋1)＋y＝0，由椭圆方程得1－＝(x1＋1)，即3x1＋4x1＝0.解得x1＝－或23

x1＝0.

当x1＝0时，P1，P2重合，题设要求的圆不存在．

当x1＝－时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.

3y1－y0y1

设C(0，y0)，由CP1⊥F1P1，得2＝－1.

x1x1＋115

而求得y1＝|x1＋1|＝，故y0＝. 33圆C的半径|CP1|＝

?－4?＋?1－5?＝42. ?3??33?3????

?5?32

综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x＋?y－?＝. 9?3?

【一年模拟试题精练】

1．解 (1)设F′是椭圆的右焦点，由椭圆的性质和定义可得：|FA|＋|FA′|＝|FA|＋|F′A|＝2a＝4.解得a＝2，

∵左焦点为F(－2，0)，c＝2， ∴b＝a－c＝2.

∴椭圆C的方程为＋＝1.

(2)设A(x1，y1)(x1＞0，y1＞0)，△AFA′面积S＝22x12y1＝x1y1.

2x1y1x1y12∵1＝＋≥233＝S，

42222∴S≤2.

x1y11

当△AFA′面积取得最大时，＝＝，解得x1＝2，y1＝1.

422

由F(－2，0)，A(2，1)，可得直线AB的方程为：y＝(x＋2)，化为x－22y

22＋2＝0，

?x－22y＋2＝0，

设B(x2，y2)，联立?2

?x＋2y2＝4，

?x＝－，

5?x＝2，?1??75

解得?可得B?－，－?. ?5??51?y＝1，

y＝－，??5

∴|AB|＝（x1－x2）＋（y1－y2）＝

. 5

2．解 (1)设椭圆的方程是2＋2＝1(a＞b＞0)，

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