线性代数期末复习题

线性代数

一. 单项选择题

1.设A、B均为n阶方阵，则下列结论正确的是 。 (a)若A和B都是对称矩阵，则AB也是对称矩阵 (b)若A?0且B?0，则AB?0

(c)若AB是奇异矩阵，则A和B都是奇异矩阵 (d)若AB是可逆矩阵，则A和B都是可逆矩阵 2. 设A、B是两个n

?阶可逆方阵，则??AB???????1等于（ ）

（a）?A???1?B???1 (b) ?B???1?A???1 （c）?B?1?(A?1)? （d）?B?1??A???1

3.m?n型线性方程组AX=b,当r(A)=m时,则方程组 . (a) 可能无解 (b)有唯一解 (c)有无穷多解 (d)有解 4.矩阵A与对角阵相似的充要条件是 . (a)A可逆 (b)A有n个特征值

(c) A的特征多项式无重根 (d) A有n个线性无关特征向量 5.A为n阶方阵,若A2?0，则以下说法正确的是 . (a) A可逆 (b) A合同于单位矩阵

(c) A=0 (d) AX?0有无穷多解

6．设A，B，C都是n阶矩阵，且满足关系式ABC?E，其中E是n阶单位矩阵， 则必有（ ）

（A）ACB?E （B）CBA?E （C）BAC?E （D）

a11a12a22a32a13a333a113a314a11?a124a21?a224a31?a32?a13?a23?（ ） ?a33???

7．若D?a21a31a23?2，则D1?3a21 （A）?6 （B）6 （C）24 （D）?24 二、填空题

1.A为n阶矩阵，|A|=3，则|AA?|= ,| 2A?1?A?|= . ?1?2．设A?0???01202??1，则A的伴随矩阵A*? ； ?3???1??1?，则A＝ 。 1?3．设A＝??2??1 1

4.R3中的向量???123??,???222??,2????2?,则?? ，|?|= . 5. 设3阶矩阵A的行列式|A|?8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为

226.二次型f(x1,x2,x3,x4)?x12?2x2?2x3?4x1x2?4x2x3对应的矩阵是 .

7.已知三维向量空间的一组基为：则向量??[2,0,0]?1?[1,1,0],?2?[1,0,1],?3?[0,1,1]，在这组基下的坐标为： 。

228. 如果二次型f(x1,x2,x3)?2x12?3x2?tx3?2x1x2?2x1x3是正定的，则t的取值范围

是 。 三、解答题

?0?1. 设AX?B?X，其中A??1????1a0a0bc0d00c0d1100??1??1，B?2????1??5??1??0??3??，X

2. 计算

0b0

?2???3??1???16?????????3.求向量组?1??5?,?2???4?,?3??3?,?4???39?的一个极大线性无关组，并将其

??1???1??1??9?????????他向量用该极大线性无关组线性表出.

?x1?2x2?2x3?0?4．设线性方程组?2x1?x2??x3?0, 问?取何值时方程组有非零解？并求通解,写出其基

?3x?x?x?0123?础解系.

?x1?x2?kx3?4?5. 已知方程组?x1?x2?2x3??4

??x?kx?x?k2123?（1）k为何值时，方程组有唯一解？无穷多解？无解？ （2）在有无穷多解时，求出方程组的通解。

6．已知二次型f(x1,x2,x3)?2x1x2?2x1x3?2x2x3,利用正交变换化f为标准形,并写出相应的正交矩阵. 四、证明题

2

若A2?2A?4E?0,证明A?E可逆,并求(A?E)?1.

答案

一、(1) d (2)a (3) d (4) d (5) d （6）d （7）d ?6?二、(1) 9 ; 3n?1 (2) 0???0?1?(6) ?2???0?22?2?330?3???1 （3） ?2???0????11??? （4） ?1? ;14 (5) -2 ?12??2???0?3??2 （7）[1,1,?1] （8）t? ?5?2?三、(1) 由AX?B?X得：(A?E)X??B ??1?因为 A?E??1????1??0???1???0??3100??23230??1， A?E??3?0，所以A?E可逆 。 ??2??1?3???3?1??1??，故X?(A?E)B??2?3?????11??3???173(A?E)?1131??0 (2) (ad?bc)2 ?1?? (3) ?1,?2,?X?k?01T ; ?4???1?123?2?T83?3 (4) ??1时有非零解 ;

1? k取任意数 ?01?为基础解系

11?1kk2?(k?1)(k?4) 1(5) A?1?1(1) 当k??1且k?4时，方程组有唯一解; ?1?(2) 当k??1时， ?A?b??1????11?1?1?121???4??1???4?0???1???01?20?130???4???8 ?3??r([A?b])?r(A)，方程组无解；

3

?1?（3）当k?4时，?A?b??1????11?1?4421???4??1???4?0???16???0010310???0??4 ?0??r([A?b])?r(A)?2?3，方程组有无穷多解， ?x1???3??0???????通解为: x2?x3?1?4，（x3 为任意常数）

?????????x3???1????0???????22(6) f??y12?y2?2y3 ; P??????12120??1616261??3?1?? 3?1??3?四、 因为(A?I)?(A?3I)?I 所以 (A?I)?1?A?3I

4

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/cp77.html