高中数学必修1知识点总结:第二章_基本初等函数
更新时间:2023-08-21 10:42:01 阅读量: 高等教育 文档下载
高中数学必修1知识点总结
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
(1)根式的概念
①如果xn
a,a R,x R,n 1,且n N ,那么x叫做a的n次方根.当n是奇数时,a的n次方根用符
的n次方根
n是偶数时,正数a的正的n
表示,负的n
次方根用符号0
是0;负数a没有n次方根.
这里n叫做根指数,a叫做被开方数.当n为奇数时,a为任意实数;当n为偶数时,a 0.
③根式的性质:(2)分数指数幂的概念
a (a 0)
. n a;当n
a;当n为偶数时,
|a|
a (a 0)
mn
①正数的正分数指数幂的意义是:a
a 0,m,n N ,且n 1).0的正分数指数幂等于0.
mn
②正数的负分数指数幂的意义是:a
1m ()n a 0,m,n N ,且n 1).0的负分数指数幂没
a有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质
①a
r
as ar s(a 0,r,s R) ②(ar)s ars(a 0,r,s R)
r
③(ab)
arbr(a 0,b 0,r R)
【2.1.2】指数函数及其性质
(4)指数函数
〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算
(1)对数的定义 ①若a
x
N(a 0,且a 1),则x叫做以a为底N的对数,记作x
logaN,其中a叫做底数,N
叫做真数.
②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化:x(2)几个重要的对数恒等式
logaN ax N(a 0,a 1,N 0).
loga1 0,logaa 1,logaab b.
(3)常用对数与自然对数
常用对数:lgN,即log10
N;自然对数:lnN,即logeN(其中e 2.71828…).
0,N 0,那么
(4)对数的运算性质 如果a
0,a 1,M
①加法:loga
M logaN loga(MN) ②减法:logaM logaN loga
M logaMn(n R) ④alogaN N
M
N
③数乘:nloga
⑤log
ab
Mn
logbNn
(b 0,且b 1) logaM(b 0,n R) ⑥换底公式:logaN
logbab
【2.2.2】对数函数及其性质
(5)对数函数
(6)反函数的概念
设函数
y f(x)的定义域为A,值域为C,从式子y f(x)中解出x,得式子x (y).如果对于y在C中
的任何一个值,通过式子x函数x
(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应,那么式子x (y)表示x是y的函数,
(y)叫做函数y f(x)的反函数,记作x f 1(y),习惯上改写成y f 1(x).
(7)反函数的求法
①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式③将x
y f(x)中反解出x f 1(y);
f 1(y)改写成y f 1(x),并注明反函数的定义域.
(8)反函数的性质 ①原函数
②函数
y f(x)与反函数y f 1(x)的图象关于直线y x对称.
y f(x)的定义域、值域分别是其反函数y f 1(x)的值域、定义域.
y f(x)的图象上,则P'(b,a)在反函数y f 1(x)的图象上.
③若P(a,b)在原函数
④一般地,函数
y f(x)要有反函数则它必须为单调函数.
〖2.3〗幂函数
(1)幂函数的定义 一般地,函数
y x 叫做幂函数,其中x为自变量, 是常数.
(3)幂函数的性质
①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于
y轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.
②过定点:所有的幂函数在(0, )都有定义,并且图象都通过点(1,1). ③单调性:如果
0,则幂函数的图象过原点,并且在[0, )上为增函数.如果 0,则幂函数的图象在(0, )上
y轴.
为减函数,在第一象限内,图象无限接近x轴与
④奇偶性:当 为奇数时,幂函数为奇函数,当 为偶数时,幂函数为偶函数.当
q
p
qp
q
(其中p,q互质,p和q Z),p
p为偶数q为奇数时,
若则
p为奇数q为奇数时,则y x
是奇函数,若
p为奇数q为偶数时,则y x
是偶函数,若
y x
qp
是非奇非偶函数.
⑤图象特征:幂函数
y x ,x (0, ),当 1时,若0 x 1,其图象在直线y x下方,若x 1,其图象在
直线
y x上方,当 1时,若0 x 1,其图象在直线y x上方,若x 1,其图象在直线y x下方.
〖补充知识〗二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:
f(x) ax2 bx c(a 0)②顶点式:f(x) a(x h)2 k(a 0)③两根式:
f(x) a(x x1)(x x2)(a 0)(2)求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时,宜用一般式.
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与x轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求
(3)二次函数图象的性质 ①二次函数
f(x)更方便.
f(x) ax2 bx c(a 0)的图象是一条抛物线,对称轴方程为x
b
,顶点坐标是2a
b4ac b2( ,). 2a4a
②当a
0时,抛物线开口向上,函数在( ,
bbb
]上递减,在[ , )上递增,当x 2a2a2a
时,
4ac b2
fmin(x)
4a
时,
;当a 0时,抛物线开口向下,函数在( ,
bbb
]上递增,在[ , )上递减,当x 2a2a2a
4ac b2
fmax(x)
4a
.
③二次函数
f(x) ax2 bx c(a 0)当 b2 4ac 0时,图象与x
轴有两个交点
.
M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2| |x1 x2|
(4)一元二次方程ax
2
bx c 0(a 0)根的分布
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布. 设一元二次方程ax
2
bx c 0(a 0)的两实根为x1,x2,且x1 x2.令f(x) ax2 bx c,从以下四个方
b2a
③判别式: ④端点函数值符号.
面来分析此类问题:①开口方向:a ②对称轴位置:x①k<x1≤x2
②x1≤x2<k
③x
1<k<x2 af(k)<0
④k1<x1≤x2<k2
⑤有且仅有一个根x1(或x2)满足k1<x1(或x2)<k2 f(k1)f(k2) 0,并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合
⑥k1<x1<k2≤p1<x2<p2 此结论可直接由⑤推出. (5)二次函数 设
f(x) ax2 bx c(a 0)在闭区间[p,q]上的最值
,最小值为m,令x0
f(x)在区间[p,q]上的最大值为M
(Ⅰ)当a
1
(p q). 2
0时(开口向上)
①若
①
bbbb p,则m f(p) ②若p q,则m f( ) ③若 q,则m f(q) 2a2a2a2a
x
x
x
bb x0,则M f(q) ② x0,则M f(p)
2a2a
x
x
(Ⅱ)当a 0时(开口向下) ①若
bbbb p,则M f(p) ②若p q,则M f( )
③若 q,则M f(q) 2a2a2a2a
x
x
x
f
f
①
bb x0,则m f(q) ② x0,则m f(p). 2a2a
f
x
x
相关练习题
1.若函数f(x) logax(0 a 1)在区间[a,2a]上的最大值
是最小值的3倍,则a的值为( ) A.
2211 B. C. D. 4242
2.若函数y loga(x b)(a 0,a 1)的图象过两点( 1,0)
和(0,1),则( )
A.a 2,b 2 B
.a C.a 2,b 1 D
.a
6
b 2 b 3.已知f(x) log2x,那么f(8)等于( )
A.
41 B.8 C.18 D. 32
4.函数y lgx( )
一、是偶函数,在区间( ,0) 上单调递增 二、是偶函数,在区间( ,0)上单调递减 三、是奇函数,在区间(0, ) 上单调递增 D.是奇函数,在区间(0, )上单调递减 5.已知函数f(x) lg
1 x
.若f(a) b.则f( a) ( ) 1 x
11
A.b B. b C. D.
bb
6.函数f(x) logax 1在(0,1)上递减,那么f(x)在(1, )上( ) A.递增且无最大值 B.递减且无最小值 C.递增且有最大值 D.递减且有最小值 1.若f(x) 2 2
x
x
lga是奇函数,则实数a=_________。
2
2.函数f(x) log1x 2x 5的值域是__________.
2
3.已知log147 a,log145 b,则用a,b表示log3528 。
4.设A 1,y,lg xy , B 0,x,y,且A B,则x ;y 。 5.计算:
3 2
2log
3 2
5
。
ex 1
6.函数y x的值域是__________.
e 1
三、解答题
2.解方程:(1)9
x
x
2 31 x 27 (2)6x 4x 9x
x
3.已知y 4 3 2 3,当其值域为[1,7]时,求x的取值范围。 4.已知函数f(x) loga(a a)(a 1),求f(x)的定义域和值域;
x
参考答案
一、选择题
11132
1. A
logaa 3loga(2a),loga(2a) ,a3 2a,a 8a,a ,a
384
2. A loga(b 1) 0,且logab 1,a b 2
3. D
令x 8(x 0),x 8 f(8) f(x6) log2x log24. B 令f(x) lgx,f( x) lg x lgx f(x),即为偶函数
令u x,x 0时,u是x的减函数,即y lgx在区间( ,0)上单调递减 5. B f( x) lg
6
1
6
1 x1 x
lg f(x).则f( a) f(a) b. 1 x1 x
6. A 令u x 1,(0,1)是u的递减区间,即a 1,(1, )是u的 递增区间,即f(x)递增且无最大值。
二、填空题 1.
1x x xx
f(x) f( x) 2 2lga 2 2lga 10
1 10
(lga 1)(2x 2 x) 0,lga 1 0,a
(另法):x R,由f( x) f(x)得f(0) 0,即lga 1 0,a 2. , 2 x 2x 5 (x 1) 4 4,
2
2
1
10
而0
1
1,log1 x2 2x 5 log14 2 222
3.
log14282 a
log147 log145 log1435 a b,log3528
log1435a b
14
log14(2 14)1 log142 1 (1 log147) 2 a log1435log1435log1435log1435a b
1 log14
4. 1, 1 ∵0 A,y 0,∴lg(xy) 0,xy 1
又∵1 B,y 1∴,∴x 1,且y 1 ,x 1,而x 1
1
5.
5
2log
log
5
15
1 5
ex 1
6. ( 1,1) y x,ex 1 y 0, 1 y 1
e 11 y
三、解答题
2.解:(1)(3) 6 3
x2
x
27 0,(3 x 3)(3 x 9) 0,而3 x 3 0
3 x 9 0,3 x 32,
x 2 2x4x22x2x
(2)() () 1,() () 1 0
3933
22()x 0则,x )33 x log2
3
1
,2
x
3.解:由已知得1 4 3 2 3 7,
x
xxxx 4 3 2 3 7 (2 1)(2 4) 0
,得 x即 x xx
4 3 2 3 1 (2 1)(2 2) 0
即0 2 1,或2 2x 4 ∴x 0,或1 x 2。
4.解:a a 0,a a,x 1,即定义域为( ,1);
x
x
x
ax 0,0 a ax a,loga(a ax) 1,
即值域为( ,1)。
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