高中数学必修1知识点总结:第二章_基本初等函数

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高中数学必修1知识点总结

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

〖2.1〗指数函数

【2.1.1】指数与指数幂的运算

(1)根式的概念

①如果xn

a,a R,x R,n 1,且n N ,那么x叫做a的n次方根.当n是奇数时,a的n次方根用符

的n次方根

n是偶数时,正数a的正的n

表示,负的n

次方根用符号0

是0;负数a没有n次方根.

这里n叫做根指数,a叫做被开方数.当n为奇数时,a为任意实数;当n为偶数时,a 0.

③根式的性质:(2)分数指数幂的概念

a (a 0)

. n a;当n

a;当n为偶数时,

|a|

a (a 0)

mn

①正数的正分数指数幂的意义是:a

a 0,m,n N ,且n 1).0的正分数指数幂等于0.

mn

②正数的负分数指数幂的意义是:a

1m ()n a 0,m,n N ,且n 1).0的负分数指数幂没

a有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质

①a

r

as ar s(a 0,r,s R) ②(ar)s ars(a 0,r,s R)

r

③(ab)

arbr(a 0,b 0,r R)

【2.1.2】指数函数及其性质

(4)指数函数

〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算

(1)对数的定义 ①若a

x

N(a 0,且a 1),则x叫做以a为底N的对数,记作x

logaN,其中a叫做底数,N

叫做真数.

②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化:x(2)几个重要的对数恒等式

logaN ax N(a 0,a 1,N 0).

loga1 0,logaa 1,logaab b.

(3)常用对数与自然对数

常用对数:lgN,即log10

N;自然对数:lnN,即logeN(其中e 2.71828…).

0,N 0,那么

(4)对数的运算性质 如果a

0,a 1,M

①加法:loga

M logaN loga(MN) ②减法:logaM logaN loga

M logaMn(n R) ④alogaN N

M

N

③数乘:nloga

⑤log

ab

Mn

logbNn

(b 0,且b 1) logaM(b 0,n R) ⑥换底公式:logaN

logbab

【2.2.2】对数函数及其性质

(5)对数函数

(6)反函数的概念

设函数

y f(x)的定义域为A,值域为C,从式子y f(x)中解出x,得式子x (y).如果对于y在C中

的任何一个值,通过式子x函数x

(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应,那么式子x (y)表示x是y的函数,

(y)叫做函数y f(x)的反函数,记作x f 1(y),习惯上改写成y f 1(x).

(7)反函数的求法

①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式③将x

y f(x)中反解出x f 1(y);

f 1(y)改写成y f 1(x),并注明反函数的定义域.

(8)反函数的性质 ①原函数

②函数

y f(x)与反函数y f 1(x)的图象关于直线y x对称.

y f(x)的定义域、值域分别是其反函数y f 1(x)的值域、定义域.

y f(x)的图象上,则P'(b,a)在反函数y f 1(x)的图象上.

③若P(a,b)在原函数

④一般地,函数

y f(x)要有反函数则它必须为单调函数.

〖2.3〗幂函数

(1)幂函数的定义 一般地,函数

y x 叫做幂函数,其中x为自变量, 是常数.

(3)幂函数的性质

①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于

y轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.

②过定点:所有的幂函数在(0, )都有定义,并且图象都通过点(1,1). ③单调性:如果

0,则幂函数的图象过原点,并且在[0, )上为增函数.如果 0,则幂函数的图象在(0, )上

y轴.

为减函数,在第一象限内,图象无限接近x轴与

④奇偶性:当 为奇数时,幂函数为奇函数,当 为偶数时,幂函数为偶函数.当

q

p

qp

q

(其中p,q互质,p和q Z),p

p为偶数q为奇数时,

若则

p为奇数q为奇数时,则y x

是奇函数,若

p为奇数q为偶数时,则y x

是偶函数,若

y x

qp

是非奇非偶函数.

⑤图象特征:幂函数

y x ,x (0, ),当 1时,若0 x 1,其图象在直线y x下方,若x 1,其图象在

直线

y x上方,当 1时,若0 x 1,其图象在直线y x上方,若x 1,其图象在直线y x下方.

〖补充知识〗二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:

f(x) ax2 bx c(a 0)②顶点式:f(x) a(x h)2 k(a 0)③两根式:

f(x) a(x x1)(x x2)(a 0)(2)求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时,宜用一般式.

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与x轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求

(3)二次函数图象的性质 ①二次函数

f(x)更方便.

f(x) ax2 bx c(a 0)的图象是一条抛物线,对称轴方程为x

b

,顶点坐标是2a

b4ac b2( ,). 2a4a

②当a

0时,抛物线开口向上,函数在( ,

bbb

]上递减,在[ , )上递增,当x 2a2a2a

时,

4ac b2

fmin(x)

4a

时,

;当a 0时,抛物线开口向下,函数在( ,

bbb

]上递增,在[ , )上递减,当x 2a2a2a

4ac b2

fmax(x)

4a

③二次函数

f(x) ax2 bx c(a 0)当 b2 4ac 0时,图象与x

轴有两个交点

M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2| |x1 x2|

(4)一元二次方程ax

2

bx c 0(a 0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布. 设一元二次方程ax

2

bx c 0(a 0)的两实根为x1,x2,且x1 x2.令f(x) ax2 bx c,从以下四个方

b2a

③判别式: ④端点函数值符号.

面来分析此类问题:①开口方向:a ②对称轴位置:x①k<x1≤x2

②x1≤x2<k

③x

1<k<x2 af(k)<0

④k1<x1≤x2<k2

⑤有且仅有一个根x1(或x2)满足k1<x1(或x2)<k2 f(k1)f(k2) 0,并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合

⑥k1<x1<k2≤p1<x2<p2 此结论可直接由⑤推出. (5)二次函数 设

f(x) ax2 bx c(a 0)在闭区间[p,q]上的最值

,最小值为m,令x0

f(x)在区间[p,q]上的最大值为M

(Ⅰ)当a

1

(p q). 2

0时(开口向上)

①若

bbbb p,则m f(p) ②若p q,则m f( ) ③若 q,则m f(q) 2a2a2a2a

x

x

x

bb x0,则M f(q) ② x0,则M f(p)

2a2a

x

x

(Ⅱ)当a 0时(开口向下) ①若

bbbb p,则M f(p) ②若p q,则M f( )

③若 q,则M f(q) 2a2a2a2a

x

x

x

f

f

bb x0,则m f(q) ② x0,则m f(p). 2a2a

f

x

x

相关练习题

1.若函数f(x) logax(0 a 1)在区间[a,2a]上的最大值

是最小值的3倍,则a的值为( ) A.

2211 B. C. D. 4242

2.若函数y loga(x b)(a 0,a 1)的图象过两点( 1,0)

和(0,1),则( )

A.a 2,b 2 B

.a C.a 2,b 1 D

.a

6

b 2 b 3.已知f(x) log2x,那么f(8)等于( )

A.

41 B.8 C.18 D. 32

4.函数y lgx( )

一、是偶函数,在区间( ,0) 上单调递增 二、是偶函数,在区间( ,0)上单调递减 三、是奇函数,在区间(0, ) 上单调递增 D.是奇函数,在区间(0, )上单调递减 5.已知函数f(x) lg

1 x

.若f(a) b.则f( a) ( ) 1 x

11

A.b B. b C. D.

bb

6.函数f(x) logax 1在(0,1)上递减,那么f(x)在(1, )上( ) A.递增且无最大值 B.递减且无最小值 C.递增且有最大值 D.递减且有最小值 1.若f(x) 2 2

x

x

lga是奇函数,则实数a=_________。

2

2.函数f(x) log1x 2x 5的值域是__________.

2

3.已知log147 a,log145 b,则用a,b表示log3528 。

4.设A 1,y,lg xy , B 0,x,y,且A B,则x ;y 。 5.计算:

3 2

2log

3 2

5

ex 1

6.函数y x的值域是__________.

e 1

三、解答题

2.解方程:(1)9

x

x

2 31 x 27 (2)6x 4x 9x

x

3.已知y 4 3 2 3,当其值域为[1,7]时,求x的取值范围。 4.已知函数f(x) loga(a a)(a 1),求f(x)的定义域和值域;

x

参考答案

一、选择题

11132

1. A

logaa 3loga(2a),loga(2a) ,a3 2a,a 8a,a ,a

384

2. A loga(b 1) 0,且logab 1,a b 2

3. D

令x 8(x 0),x 8 f(8) f(x6) log2x log24. B 令f(x) lgx,f( x) lg x lgx f(x),即为偶函数

令u x,x 0时,u是x的减函数,即y lgx在区间( ,0)上单调递减 5. B f( x) lg

6

1

6

1 x1 x

lg f(x).则f( a) f(a) b. 1 x1 x

6. A 令u x 1,(0,1)是u的递减区间,即a 1,(1, )是u的 递增区间,即f(x)递增且无最大值。

二、填空题 1.

1x x xx

f(x) f( x) 2 2lga 2 2lga 10

1 10

(lga 1)(2x 2 x) 0,lga 1 0,a

(另法):x R,由f( x) f(x)得f(0) 0,即lga 1 0,a 2. , 2 x 2x 5 (x 1) 4 4,

2

2

1

10

而0

1

1,log1 x2 2x 5 log14 2 222

3.

log14282 a

log147 log145 log1435 a b,log3528

log1435a b

14

log14(2 14)1 log142 1 (1 log147) 2 a log1435log1435log1435log1435a b

1 log14

4. 1, 1 ∵0 A,y 0,∴lg(xy) 0,xy 1

又∵1 B,y 1∴,∴x 1,且y 1 ,x 1,而x 1

1

5.

5

2log

log

5

15

1 5

ex 1

6. ( 1,1) y x,ex 1 y 0, 1 y 1

e 11 y

三、解答题

2.解:(1)(3) 6 3

x2

x

27 0,(3 x 3)(3 x 9) 0,而3 x 3 0

3 x 9 0,3 x 32,

x 2 2x4x22x2x

(2)() () 1,() () 1 0

3933

22()x 0则,x )33 x log2

3

1

,2

x

3.解:由已知得1 4 3 2 3 7,

x

xxxx 4 3 2 3 7 (2 1)(2 4) 0

,得 x即 x xx

4 3 2 3 1 (2 1)(2 2) 0

即0 2 1,或2 2x 4 ∴x 0,或1 x 2。

4.解:a a 0,a a,x 1,即定义域为( ,1);

x

x

x

ax 0,0 a ax a,loga(a ax) 1,

即值域为( ,1)。

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/coyi.html

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