打包下载：高中数学全一册测评（共26套）苏教版必修2Word版含答

1.3.2 空间几何体的体积

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、填空题

1．若正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为1，则此正三棱锥的体积为__________． 133?2?22

【解析】 设此正三棱锥的高为h，则h＋?××2?＝1，所以h＝，h＝，故

33?32?13312

此三棱锥的体积V＝××(2)×＝.

3436

1

【答案】

6

2．一个正四棱台形油槽可以装煤油190 L，假如它的上、下底边长分别等于60 cm和40 cm，它的深度是________ cm.

【解析】 设深度为h，则V＝(40＋40×60＋60)，

3即190 000＝×7 600，所以h＝75.

3【答案】 75

3．如图1－3－11，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________.

2

h22

h

图1－3－11

【解析】 将该几何体补上一个同样的几何体，变为一个高为a＋b的圆柱，则所求几π

何体的体积为V＝＝×πr·(a＋b)＝

22

2

V圆柱1a＋br2

2

.

【答案】

π

a＋br2

2

4．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______．

【解析】 设新的底面半径为r，由题意得

112222

×π×5×4＋π×2×8＝×π×r×4＋π×r×8， 33∴r＝7，∴r＝7. 【答案】

7

π

，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的2

2

5．在梯形ABCD中，∠ABC＝

直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________．

【解析】 过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB·BC115π222

－·π·CE·DE＝π×1×2－π×1×1＝. 333

【答案】

5π

3

2

6．将一铜球放入底面半径为16 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高了9 cm，则这个铜球的半径为__________cm.

432

【解析】 设铜球的半径为R cm，则有πR＝π×16×9，解得R＝12.

3【答案】 12

7．如图1－3－12，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，如果AB＝AC＝13，BB1＝BC＝6，E，F为侧棱AA1上的两点，且EF＝3，那么多面体BB1C1CEF的体积为________．

图1－3－12

【解析】 在△ABC中，BC边上的高h＝13

2

－3＝2，

2

V柱＝BC·h·BB1＝×6×2×6＝36，

1

∴VE－ABC＋VF－A1B1C1＝V柱＝6，故VBB1C1CEF＝36－6＝30.

6【答案】 30

1212

8．如图1－3－13所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△

AOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA，OB重合，则以A(B)，C，D，O为顶点的四面体的

体积是__________．

图1－3－13

【解析】 显然，折叠后OA是该四面体的高，且OA为22，而△COD的面积为4，所82

以四面体的体积为.

3

【答案】

82

3

二、解答题

9．如图1－3－14所示，A为直线y＝

3

x上的一点，AB⊥x轴于点B，半圆的圆心O′3

在x轴的正半轴上，且半圆与AB，AO相切，已知△ABO绕x轴旋转一周形成的几何体的体积为93π，求阴影部分旋转成的几何体的体积．

图1－3－14

【解】 阴影部分绕x轴旋转一周所得几何体是圆锥挖去一个内切球．其体积为V＝V圆锥

－V球．

3

?y＝?3x，

设A点坐标为(x，y)，则?

1??3xyπ＝9

2

3π，

解得?

?x＝33，

?y＝3.

于是∠AOB＝30°，从而OO′＝2R， 3R＝x＝33，R＝3.

4433

∴V＝93π－πR＝93π－π(3)＝53π.

33

10．如图1－3－15，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，

AE＝CF，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．

图1－3－15

(1)证明：AC⊥HD′；

5

(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝22，求五棱锥D′－ABCFE的体积．

4【解】 (1)证明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD. 又由AE＝CF得＝，故AC∥EF.

由此得EF⊥HD，故EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.

AECFADCDOHAE1

(2)由EF∥AC得＝＝.

DOAD4

由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝AB－AO＝4.所以OH＝1，D′H＝DH＝3. 于是OD′＋OH＝(22)＋1＝9＝D′H， 故OD′⊥OH.

由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H， 所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′.

又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.

2

2

2

2

2

2

2

EFDH9又由＝得EF＝.

ACDO2

11969五边形ABCFE的面积S＝×6×8－××3＝.

2224169232

所以五棱锥D′－ABCFE的体积V＝××22＝.

342

[能力提升]

1．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．

【解析】 设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′. 11

由题意，得×6××2×3×h＝23，∴h＝1，

32∴斜高h′＝1＋【答案】 12

2

3

2

1

＝2，∴S侧＝6××2×2＝12.

2

2．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为________． 【解析】 法一：如图，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4r1＝(R＋r)－(R－r)，解得r1＝Rr.故球的表面积为S球＝4πr1＝4πRr.

2

2

2

2

法二：如图，设球心为O，球的半径为r1，连结OA，OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边

AB上的高．由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即r21＝Rr，故r1＝Rr，故球的表面

积为S球＝4πRr.

【答案】 4πRr

3．如图1－3－16，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AB的中点，D是AA1的中点，则三棱锥D－B1C1E的体积与三棱柱ABC－A1B1C1的体积之比是__________.

图1－3－16

【解析】 设C1到平面A1B的距离为h，由已知得，

S△DB1E＝AB·A1A，所以V三棱锥D－B1C1E＝S△DB1Eh＝×·AB·A1A·h＝AB·A1A·h＝VABC－A1B1C1，即V三棱锥D－B1C1E∶VABC－A1B1C1＝1∶4.

【答案】 1∶4

1

4

3813133818

4．如图1－3－17，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

图1－3－17

(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；

(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 【解】 (1)交线围成的正方形EHGF如图所示．

(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8. 因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10. 于是MH＝EH－EM＝6，AH＝10，HB＝6. 1

故S四边形A1EHA＝×(4＋10)×8＝56，

2

2

2

S四边形EB1BH＝×(12＋6)×8＝72.

因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱， 9?7?所以其体积的比值为?也正确?. 7?9?

12

1.1.1 棱柱、棱锥和棱台

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、填空题

1．下列说法中正确的个数是________．

①棱柱的面中，至少有两个面互相平行；②棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面；③棱柱中一条侧棱的长叫做棱柱的高；④棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形．

【解析】 棱柱的面中，有两个底面，所以至少有两个面互相平行，故①正确．棱柱中两个互相平行的平面可能是棱柱的侧面，②错误．棱柱中一条侧棱的长不一定是棱柱的高，③错误．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面可能是平行四边形，④错误．

【答案】 1

2．下面图形所表示的几何体中，不是棱锥的为____．(填序号)

图1－1－11

【解析】 结合棱锥的定义可知，①不符合其定义，故填①. 【答案】 ①

3．在正方体上任意选择4个顶点，它们可以确定的几何图形或几何体为________．(写出所有正确结论的编号)

①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．

【解析】 在正方体ABCD－A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可以确定：①矩形，如四边形ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A－A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如A－CB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A－A1DC，所以填①③④⑤.

【答案】 ①③④⑤

4．一个无盖的正方体盒子展开后的平面图形如图1－1－12所示，A，B，C是展开图上的三点，在正方体盒子中三角形ABC的形状为__________．(“等边三角形”“等腰三角形”

或“直角三角形”)

图1－1－12

【解析】 由题图知，分别连接A，B，C三点，AB，BC，CA是正方体盒子的面对角线，所以△ABC为等边三角形．

【答案】 等边三角形

5．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________ cm. 【解析】 由棱柱有10个顶点知此棱柱有5条侧棱，又棱柱侧棱长相等，故每条侧棱长为12 cm.

【答案】 12

6．一个截面经过棱锥各条侧棱的中点，则截得棱台的上、下底面积之比是________.

【导学号：41292004】

【解析】 如图，由于A1是SA的中点，

则

SA11A1B1

＝＝， SA2ABS上底面?A1B1?1

＝??＝. S下底面?AB?4

2

故

【答案】 1∶4

7．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图1－1－13)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为________．

图1－1－13

【解析】 两个☆不能并列相邻，②④错误；两个※不能并列相邻，③错误，故选①.也可通过实物制作检验来判定．

【答案】 ①

8．所有棱长都相等的正四棱锥和正三棱锥的一个面重合后暴露的面的个数为________个．

【解析】 如图(1)(2)所示分别是所有棱长都相等的正四棱锥和正三棱锥．图(3)是它们拼接而成的一个几何体．故暴露的面数为7个．

(1) (2) (3)

【答案】 7 二、解答题

9．观察图1－1－14中的几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的．

(1) (2) (3)

图1－1－14

【解】 图(1)是由一个四棱柱在它的上、下底面上向内挖去一个三棱柱组成的几何体． 图(2)是由一个四棱柱和一个底面与四棱柱上底面重合的四棱锥组成． 图(3)是一个三棱台和一个上底面与三棱台的下底面重合的三棱柱组成．

10．如图1－1－15，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.

图1－1－15

问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？

(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？ (3)每个面的三角形面积为多少？

【解】 (1)如图，折起后的几何体是三棱锥．

(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形．

1212

(3)S△PEF＝a，S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a，S△DEF＝S22122232

－a－a－a＝a. 22

[能力提升]

1．在正五棱柱中，不在同一侧面且不在同一底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线有________条.

【导学号：41292005】

【解析】 正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，5个平面共可得到10条对角线．

【答案】 10

2．用一个平面去截一个几何体，如果截面是三角形，则这个几何体可能是__________． 【解析】 用平行于底面的平面去截三棱柱，截面是三角形，用同样的方法去截三棱锥、三棱台，所得截面均为三角形．

【答案】 答案不唯一，如三棱锥、三棱柱、三棱台等

3．如图1－1－16，M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.

正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝(2a)

2

图1－1－16

【解析】 由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段

所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm,4 cm，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.

【答案】 13

4．如图1－1－17所示，已知三棱台ABC－A′B′C′.

图1－1－17

(1)把它分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示； (2)把它分成三个三棱锥并用字母表示．

【解】 (1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′－AB″C″，多面体是B′C′－

BCC″B″.

(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′－ABC，B′－A′BC，C′－A′B′C.

① ②

1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、填空题

1．下列说法正确的是________．

①平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形； ②平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形； ③过圆锥顶点与底面圆心的截面是等腰三角形； ④过圆台上底面中心的截面是等腰梯形． 【解析】 由圆柱、圆锥、圆台的性质知③正确． 【答案】 ③

2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是________．

【解析】 连结正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥的组合体．

【答案】 两个圆锥的组合体

3．在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是________．

图1－1－24

【解析】 一个六棱柱中挖去一个等高的圆柱． 【答案】 一个六棱柱中挖去一个圆柱

4．线段y＝2x(0≤x≤2)绕x轴旋转一周所得的图形是________．

【解析】 由线段y＝2x(0≤x≤2)绕x轴旋转一周所得的图形是圆锥的侧面． 【答案】 圆锥的侧面

5．如图1－1－25所示，将梯形ABCD绕底边AB所在直线旋转一周，由此形成的几何体是由简单几何体__________构成的.

图1－1－25

【解析】 旋转体要注意旋转轴，可以想象一下旋转后的几何体，由旋转体的结构特征知它中间是圆柱，两头是圆锥．

【答案】 圆锥、圆柱

6．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面可能的图形是________．

① ② ③ ④

图1－1－26

【解析】 当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④.

【答案】 ①②③

7．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径为________．

【解析】 如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π，8π，∴两个截面圆的半径分别为r1＝5，r2＝22.∵球心到两个截面的距离d1＝R－r1，d2＝R－r2，∴d1－d2＝

2

2

2

2

R2－5－R2－8＝1，∴R2＝9，∴R＝3.

【答案】 3

8．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是__________． 【解析】 因为圆柱的轴截面的一边是底面直径，另一邻边为圆柱的高，所以应满足4S＝2r(r为底面圆半径)，∴r＝S，故底面面积为πS.

【答案】 πS 二、解答题

9．轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为16 cm，求其底面周长和高．

【解】 如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD，由题意知，四边形ABCD为正方形，设圆柱的底面半径为r，则AB＝AD＝2r.

2

其面积S＝AB×AD＝2r×2r＝4r＝16 cm， 解得r＝2 cm.

所以其底面周长C＝2πr＝2π×2＝4π(cm)，高h＝2r＝4 cm.

10.从一个底面半径和高都是R的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶

2

2

点的圆锥，得到如图1－1－27所示的几何体，如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积．

图1－1－27

【解】 轴截面如图所示，被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径O1C＝R，设圆锥的截面圆的半径O1D为x.因为OA＝AB＝R，所以△OAB是等腰直角三角形．又CD∥OA，则CD＝BC，所以x＝l，故截面面积S＝πR－πl＝π(R－l)．

2

2

2

2

[能力提升]

1．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是________．

【解析】如图以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．

【答案】 一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥

2．边长为5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到点G的最短距离是________cm.

155

【解析】 如图所示，E′F＝×2π×＝π(cm)，

222∴最短距离E′G＝

?5?2522

5＋?π?＝π＋4(cm)．

?2?2

【答案】

52π＋4 2

3．在半径为13的球面上有A，B，C三点，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，则球心到经过这三个点的截面的距离为________．

【解析】 由线段的长度知△ABC是以AB为斜边的直角三角形，所以其外接圆的半径r＝＝5，所以d＝R－r＝12. 2

【答案】 12

4．如图1－1－28所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求：

AB22

图1－1－28

(1)绳子的最短长度的平方f(x)； (2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； (3)f(x)的最大值．

【解】 将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA′的长度L就是圆O的周长，

∴L＝2πr＝2π.

L2π

∴∠ASM＝×360°＝×360°＝90°.

2πl2π×4

(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝x＋16(0≤x≤4)．

2

f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)．

(2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，在△SAM中，

11

∵S△SAM＝SA·SM＝AM·SR，

22∴SR＝

SA·SM4x＝2(0≤x≤4)， AMx＋16

4x即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为(3)∵f(x)＝x＋16(0≤x≤4)是增函数， ∴f(x)的最大值为f(4)＝32.

2

x2＋16

(0≤x≤4)．

1.1.4 直观图画法

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、填空题

1．利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是________．(填序号)

(1)正三角形的直观图仍然是正三角形； (2)平行四边形的直观图一定是平行四边形； (3)正方形的直观图是正方形； (4)圆的直观图是圆．

【解析】 由斜二测画法可知，平面图形中的垂直关系变成相交关系，故(1)(3)错误；又圆的直观图为椭圆，故(4)错误．

【答案】 (2)

2．如图1－1－36为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是________．

图1－1－36

① ② ③ ④

【解析】 根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形且在直观图中平行于

y′轴的边与底边垂直．

【答案】 ③

3．如图1－1－37所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是________．

图1－1－37

【解析】 由题图可知，在△ABC中，AB⊥BC，AC为斜边，AD为直角边上的一条中线，显然斜边AC最长．

【答案】 AC

4．如图1－1－38所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，

A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为________．

图1－1－38

【解析】 由直观图与原图形中边OB长度不变，得S1

22××2·O′B′，∵OB＝O′B′，∴h＝42.

2

【答案】 42

5．如图1－1－39所示，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为________cm.

原图形

＝22S直观图

1

，得·OB·h＝

2

图1－1－39

【解析】 由于平行性不变，O′A′∥B′C′，故在原图形中，OA綊BC，∴四边形OABC为平行四边形，且对角线OB⊥OA，对角线OB＝22，则AB＝1＋

∴原图形的周长为l＝3×2＋1×2＝8. 【答案】 8

6．如图1－1－40所示，为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．

2

2

2

＝3.

图1－1－40

【解析】 画出直观图，BC对应B′C′，且B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，故顶点

B′到x′轴的距离为

【答案】

2

2

2. 2

7.如图1－1－41是△AOB用斜二测画法画出的直观图△A′O′B′，则△AOB的面积是________．

图1－1－41

【解析】 由题图易知△AOB中，底边OB＝4， 又∵底边OB的高线长为8， 1

∴面积S＝×4×8＝16.

2【答案】 16

8．如图1－1－42所示，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．

图1－1－42

【解析】 由四边形OPQR的直观图可知该四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.

【答案】 10 二、解答题

9．用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm,3 cm,2 cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图．

【解】 画法：第一步，画轴，如图(1)，画x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°.

(1) (2)

第二步，画底面，以点O′为中点，在x′轴上取线段MN，使MN＝4 cm；

3

在y′轴上取线段PQ，使PQ＝ cm，分别过点M和N作y′轴的平行线，过点P和Q2作x′轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面．

第三步，画侧棱，过A，B，C，D各点分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.

第四步，成图，顺次连结A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就可以得到长方体的直观图(如图(2))．

10．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图1－1－43，∠ABC＝45°，DC⊥AD，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求这块菜地的面积.

图1－1－43

【解】 在直观图①中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，

①

则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°， ∴BE＝

2

，而四边形AECD为矩形，AD＝1， 2

②

∴EC＝AD＝1.∴BC＝BE＋EC＝

2

＋1. 2

2

＋1， 2

由此可得原图形如图②，在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，

11?22?

∴这块菜地的面积S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′＝×?1＋1＋?×2＝2＋. 22?22?

[能力提升]

1．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，正确的是图1－1－44中的________(填序号)．

① ② ③ ④

图1－1－44

【解析】 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.故④正确．

【答案】 ④

2．如图1－1－45，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝

O′A′＝2O′B′，则以下说法正确的是__________(填序号).

图1－1－45

(1)△ABC是钝角三角形；

(2)△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形； (3)△ABC是等腰直角三角形； (4)△ABC是等边三角形．

【解析】 将其恢复成原图，设A′C′＝2，则可得OB＝2O′B′＝1，AC＝A′C′＝2，故△ABC是等腰直角三角形．

【答案】 (3)

3.如图1－1－46，在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标系中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________ cm.

2

图1－1－46

【解析】 由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm)．

【答案】 矩形 8 4．已知△ABC的面积为62

a，它的水平放置的直观图为△A′B′C′是一个正三角形，2

2

根据给定的条件作出△A′B′C′的原图形，并计算△A′B′C′的面积．

【解】 (1)取B′C′所在的直线为x′轴，过B′C′中点O′与O′x′成45°的直线为y′轴，建立坐标系x′O′y′；

(2)过A′点作A′M′∥y′轴交x′轴于M′点，在△A′B′C′中，设它的边长为x，∵O′A′＝

336

x，∠A′M′O′＝45°，∴O′A′＝O′M′＝x，故A′M′＝x； 222

(3)在直角坐标系xOy中，在x轴上O点左右两侧， 取到点O距离为的点B，C，

2在x轴O点左侧取到原点O距离为

3

x的点M，过M在x轴上方作y轴的平行线并截取2

6216a，得x×6x＝222

xMA＝6x，连结AB，AC，则△ABC为△A′B′C′的原图形，由S△ABC＝a2，∴x＝a，故△A′B′C′的面积为

32

a. 4

1.2.1 平面的基本性质

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、填空题

1．经过空间任意三点可以作________个平面．

【解析】 若三点不共线，只可以作一个平面；若三点共线，则可以作出无数个平面． 【答案】 一个或无数

2．下面是四个命题的叙述(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)： ①∵A?α，B?α，∴AB?α； ②∵A∈α，B∈α，∴AB∈α； ③∵A?α，a?α，∴A?a.

其中，命题叙述方式和推理都正确的命题是________．

【解析】 ①错，应写为A∈α，B∈α；②错，应写为AB?α；③正确． 【答案】 ③

3．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中________.

①必有三点共线；②必有三点不共线；③至少有三点共线；④不可能有三点共线． 【解析】 如图(1)(2)所示，①③④均不正确，只有②正确，如图(1)中A，B，D不共线．

(1) (2)

【答案】 ②

4．设平面α与平面β相交于l，直线a?α，直线b?β，a∩b＝M，则M________l. 【解析】 因为a∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.

【答案】 ∈

5．如图1－2－10所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1

于点M，则下列结论错误的是________．

图1－2－10

①A，M，O三点共线；

②A，M，O，A1四点共面； ③A，O，C，M四点共面； ④B，B1，O，M四点共面．

【解析】 因为A，M，O三点既在平面AB1D1内，又在平面AA1C内，故A，M，O三点共线，从而易知①②③均正确．

【答案】 ④

6．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．

【解析】 ∵AC∥BD，

∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，

则α∩β＝直线CD. ∵l∩α＝O，∴O∈α.

又∵O∈AB?β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线． 【答案】 共线

7．如图1－2－11所示的正方体中，P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________．(把正确图形的序号都填上)

图1－2－11

【解析】 图形①中，连结MN，PQ，则由正方体的性质得MN∥PQ.根据推论3可知两条平行直线可以确定一个平面，故图形①正确．分析可知图形②④中这四点均不共面．③中四点恰是正六边形的四点，故③正确．

【答案】 ①③

8．如图1－2－12所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1C与平面BDPQ的交线是__________.

图1－2－12

【解析】 因为N∈平面A1C，且N∈平面BDPQ；同理M∈平面A1C，且M∈平面BDPQ，所以平面A1C与平面BDPQ的交线是MN.

【答案】 MN 二、解答题

9.如图1－2－13，点A?平面BCD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH与

FG交于点K，求证：点K在直线BD上．

图1－2－13

【证明】 ∵EH∩FG＝K， ∴K∈EH，K∈FG. ∵E∈AB，H∈AD，

∴EH?平面ABD，∴K∈平面ABD. 同理，K∈平面BCD.

又∵平面ABD∩平面BCD＝BD， ∴K在直线BD上．

10．如图1－2－14，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：D1，E，F，B共面．

图1－2－14

【证明】 因为D1，E，F三点不共线，所以D1，E，F三点确定一个平面α.由题意得，

D1E与DA共面于平面A1D且不平行，如图．

分别延长D1E与DA相交于G，所以G∈直线D1E，所以G∈平面α.同理设直线D1F与DC的延长线交于H，则H∈平面α.

又点G，B，H均在平面AC内，且点E是AA1的中点，AA1∥DD1，所以AG＝AD＝AB，所以△AGB为等腰三角形，所以∠ABG＝45°.同理∠CBH＝45°.又∠ABC＝90°，所以G，B，H共线于GH，又GH?平面α，所以B∈平面α，所以D1，E，F，B共面．

[能力提升]

1．如图1－2－15，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是_______．

图1－2－15

【解析】 因D，E两点都在α内，也都在平面ABC内， 故DE是△ABC与平面α的交线． 又∵P在α内，也在平面ABC内， 故P点在△ABC与平面α的交线DE上． 【答案】 P∈DE

2．平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，点P∈β且P?l，又MN∩l＝R，过M，N，

R三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝________.

【解析】 如图，MN?γ，R∈MN，∴R∈γ. 又R∈l，∴R∈β.又P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.

【答案】 直线PR

3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么过P，Q，R的截面图形是__________．

【解析】 如图所示，取C1D1的中点E，连结RE，RE綊PQ，∴P，Q，E，R共面．

再取BB1，DD1的中点F，G.

∵PF∥AB1∥QR且GE∥C1D∥QR，∴GE∥PF，综上E，G，F，P，Q，R共面， ∴截面图形为正六边形． 【答案】 正六边形

4．在棱长是a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.

(1)画出交线l；

(2)设l∩A1B1＝P，求PB1的长； (3)求点D1到l的距离．

【解】 (1)如图，延长DM交D1A1的延长线于点Q，则点Q是平面DMN与平面A1B1C1D1

的一个公共点．连结QN，则直线QN就是两平面的交线l.

(2)∵M是AA1的中点，MA1∥DD1， ∴A1是QD1的中点． 1

又∵A1P∥D1N，∴A1P＝D1N.

2

1a∵N是D1C1的中点，∴A1P＝D1C1＝，

443

∴PB1＝A1B1－A1P＝a.

4

(3)过点D1作D1H⊥PN于点H，则D1H的长就是点D1到l的距离． ∵QD1＝2A1D1＝2a，D1N＝，

2∴QN＝QD1＋D1N＝

2

2

a17

a， 2

2a·

2217D1Q·D1N∴D1H＝＝＝a，

QN1717

a2217

即点D1到l的距离是a.

17

a1.2.2 空间两条直线的位置关系

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、填空题

1．下列说法正确的有__________．(填序号)

①两条异面直线指的是不同在一个平面内的两条直线； ②两条异面直线指的是分别在某两个平面内的两条直线； ③两条异面直线指的是既不平行又不相交的两条直线； ④两条异面直线指的是平面内的一条直线和平面外的一条直线．

【解析】 ①只说明两直线不同在一个平面内，没有说明平面的任意性；②把两条直线放到特定的两个平面内，也不具有任意性；③从反面肯定了两直线的异面；④中的两条直线可能在同一平面内．故填③.

【答案】 ③

2．如图1－2－23，A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若

MN＝6，则BD＝________.

图1－2－23

【解析】 连结AM并延长交BC于E，连结AN并延长交CD于F，则E，F分别为BC，

AMMN2

CD的中点，连结EF.由题意知，＝＝，

AEEF3

3

∴EF＝×6＝9，∴BD＝2EF＝18.

2【答案】 18

3．如图1－2－24，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，

MN是异面直线的图形有________．

① ② ③ ④

图1－2－24

【解析】 ①中GH∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，∴GH，MN必相交． 【答案】 ②④

4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形的形状是__________.

【解析】 易证四边形EFGH为平行四边形，又∵E，F分别为AB，BC的中点， ∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°.

∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形． 【答案】 矩形

5．如果l和n是异面直线，那么和l，n都垂直的直线有________条．

【解析】 l和n是异面直线，则和l，n都垂直相交的直线有一条m，与m平行的直线和l，n都垂直．

【答案】 无数

6．如图1－2－25，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是________．

图1－2－25

【解析】 因四棱柱ABCD－A1B1C1D1中AA1∥DD1.又AB∥CD，所以∠A1AB与∠D1DC相等．又由于侧面A1ABB1，D1DCC1为平行四边形，所以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相等．

【答案】 ∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B

7．如图1－2－26，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是________．

图1－2－26

①CC1与B1E是异面直线； ②C1C与AE共面； ③AE，B1C1是异面直线； ④AE与B1C1所成的角为60°.

【解析】 CC1与B1E共面，CC1与AE异面，故①②错；AE与BC垂直，BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，故④错．

【答案】 ③

8．如图1－2－27，过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1

所成的角都相等，这样的直线l可以作________条．

图1－2－27

【解析】 连结AC1(图略)，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD，AA1所成的角也都相等．故这样的直线l可以作4条．

【答案】 4 二、解答题

9．如图1－2－28，E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．

图1－2－28

【证明】 如图，设Q是DD1的中点，连结EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，

∴EQ綊B1C1(平行公理)，∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E綊C1Q.

又∵Q，F是矩形DD1C1C的两边的中点，∴QD綊C1F，∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1Q綊DF.又∵B1E綊C1Q，∴B1E綊DF，∴四边形B1EDF是平行四边形．

10．如图1－2－29所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角.

图1－2－29

【解】 因为D，E分别是VB，VC的中点，所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与

AB所成的角，又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以△ABC是以∠ACB为直角

的等腰直角三角形，于是∠ABC＝45°，故异面直线DE与AB所成的角为45°.

[能力提升]

1．一个正方体纸盒展开后如图1－2－30，在原正方体纸盒中有下列结论：

图1－2－30

①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD. 以上结论中正确的是________(填序号)．

【解析】 把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．

【答案】 ①③

2．如图1－2－31，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱C1C与BC的中点，则直线

EF与直线D1C所成的角的大小是__________．

图1－2－31

【解析】 如图，连结BC1，A1B.

∵BC1∥EF，A1B∥CD1，则∠A1BC1即为EF与D1C所成的角． 又∵∠A1BC1为60°，

∴直线EF与D1C所成的角为60°. 【答案】 60°

3．如图1－2－32所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为________．

图1－2－32

【解析】 如图，取AC的中点F，连结EF，BF，在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD，

∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．

11

在Rt△ABC中，BC＝2，AB＝AC，∴AB＝AC＝1，在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，

22∴BE＝

51112

.在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝，∴EF＝. 22222

15在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝. 22

12EF2410

在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝，

BE105

2∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为【答案】

10 10

10. 10

4．如图1－2－33所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且

OAOBOC2＝＝＝. OA′OB′OC′3

图1－2－33

(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC； (2)求S△ABCS△A′B′C′

的值.

【解】 (1)证明：∵AA′∩BB′＝O，且BO2＝，

A′OB′O3

＝

AO∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.

(2)∵A′B′∥AB，A′C′∥AC且边AB和A′B′，AC和A′C′方向都相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′，

同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′， ∴△ABC∽△A′B′C′且∴

ABAO2

＝＝， A′B′OA′3

?2?24＝??＝. S△A′B′C′?3?9

S△ABC1.2.3 第1课时 直线与平面平行

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、填空题

1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB?α，CD?α，则CD与平面α内的直线的位置关系只能是________．

【解析】 由条件知CD∥α，故CD与α内的直线平行或异面． 【答案】 平行或异面

2．若直线l不平行于平面α，且l?α，则下列四个命题正确的是________． ①α内的所有直线与l异面； ②α内不存在与l平行的直线； ③α内存在唯一的直线与l平行； ④α内的直线与l相交．

【解析】 依题意，直线l∩α＝A(如图)，α内的直线若经过点A，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l是异面直线．

【答案】 ②

3．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB∥平面MNP的图形的序号是__________.

图1－2－44

【解析】 过AB的体对角面与面MNP平行，故①成立；④中易知AB∥NP，故④也成立． 【答案】 ①④

4．P是△ABC所在平面外一点，E，F，G分别是AB，BC，PC的中点，则图1－2－45中与过E，F，G的截面平行的线段有________条．

图1－2－45

【解析】 由题意知EF∥AC，FG∥PB，∴AC∥平面EFG，PB∥平面EFG，即有2条与平面EFG平行的线段．

【答案】 2

5．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M是A1B1的中点，N是AB上的点，且AN∶NB＝1∶2，过D1，M，N的平面交AD于点G，则NG＝__________.

2

【解析】 过D1，M，N的平面与AD的交点G位置如图，其中AG∶GD＝2∶1，AG＝a，

3

AN＝a，在Rt△AGN中，NG＝

13

?2a?2＋?1a?2＝5a. ?3??3?3????

【答案】

5a 3

6．如图1－2－46，四边形ABCD是矩形，P?平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F，则四边形BCFE的形状一定是______．

图1－2－46

【解析】 ∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD.∵AD?平面PAD，∴BC∥平面PAD.∵平面

BCFE∩平面PAD＝EF，∴BC∥EF.∵AD＝BC，AD≠EF，

∴BC≠EF，∴四边形BCFE为梯形． 【答案】 梯形

7．如图1－2－47，三棱锥A－BCD中E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，则当EFGH是菱形时，AE∶

EB＝________.

图1－2－47

【解析】 ∵AC∥平面EFGH， ∴EF∥AC，HG∥AC. ∴EF＝HG＝·m. 同理，EH＝FG＝·n， ∴·m＝·n， ∴AE∶EB＝m∶n. 【答案】 m∶n

8．如图1－2－48，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，若AB∥α，则CD与EF的位置关系是________．

BEBAAEABBEABAEAB

图1－2－48

【解析】 ∵

??

α∩β＝CD??

?AB?β?

AB∥α

AB∥CD，

同理可证AB∥EF，∴EF∥CD. 【答案】 平行 二、解答题

9．如图1－2－49，已知A1B1C1－ABC是正三棱柱，D是AC的中点．求证：AB1∥平面DBC1.

图1－2－49

【证明】 ∵A1B1C1－ABC是正三棱柱，

∴四边形B1BCC1是矩形． 连结B1C交BC1于点E， 则B1E＝EC.

连结DE，在△AB1C中， ∵AD＝DC，B1E＝EC，∴DE∥AB1. 又∵AB1?平面DBC1，DE?平面DBC1， ∴AB1∥平面DBC1.

10．如图1－2－50，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BB1上不同于B，B1的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.求证：AC∥FG.

图1－2－50

【证明】 ∵AC∥A1C1，而AC?平面A1EC1，A1C1?平面A1EC1. ∴AC∥平面A1EC1.

而平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，AC?平面AB1C， ∴AC∥FG.

[能力提升]

1．如图1－2－51所示，A是平面BCD外一点，E，F，H分别是BD，DC，AB的中点，设过这三点的平面为α，则在下图中的6条直线AB，AC，AD，BC，CD，DB中，与平面α平行的直线有________________条．

图1－2－51

【解析】 如图，过F作FG∥AD交AC于G，显然平面EFGH就是平面α.

在△BCD中，EF∥BC，EF?α，BC?α， ∴BC∥α.同理，AD∥α.

所以在所给的6条直线中，与平面α平行的有2条． 【答案】 2

2．如图1－2－52，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若

EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．

图1－2－52

【解析】 因为直线EF∥平面AB1C，EF?平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所1

以EF∥AC，又因为点E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得：EF＝AC，

2又因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝22，所以EF＝2.

【答案】

2

3．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是____________________．

【解析】 连结AM并延长交CD于E，连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E，

EMENF重合为一点，且该点为CD的中点，由＝得MN∥AB，因此，MN∥平面ABC且MN∥平面

MANBABD.

【答案】 平面ABC，平面ABD

4．已知直线l是过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与平面ABCD所在平面的交线.

求证：B1D1∥l.

图1－2－53

【证明】 ∵BB1綊DD1，

∴四边形BDD1B1是平行四边形，∴B1D1∥BD. ∵B1D1?平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴B1D1∥平面ABCD，

∵平面AB1D1∩平面ABCD＝l，B1D1?平面AB1D1，∴B1D1∥l.

1.2.3 第2课时 直线与平面垂直

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、填空题

1．下列语句中正确的是________．(填序号) ①l⊥α?l与α相交；

②m?α，n?α，l⊥m，l⊥n?l⊥α； ③l∥m，m∥n，l⊥α?n⊥α.

【解析】 ①正确，由线面垂直的定义可知；②不正确，没有明确直线m，n的情况；③正确，∵l∥m，m∥n，∴l∥n，又l⊥α，∴n⊥α.

【答案】 ①③

2．已知PA垂直平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________．

【解析】 如图，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.

∵PC⊥BD，且PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC， ∴AC⊥BD. 【答案】 菱形

3．已知△ABC在平面α内，∠A＝90°，DA⊥平面α，则AC与BD的位置关系是________． 【解析】 ∵DA⊥α，∴DA⊥AC. 又AC⊥AB，AB∩DA＝A， ∴AC⊥平面ABD，∴AC⊥BD. 【答案】 垂直

4．如图1－2－66，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角的大小是________．

图1－2－66

【解析】 取AC的中点D，连结DB，C1D，则可证得∠BC1D即为BC1与侧面ACC1A1所成

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