《新编基础物理学》第八章热力学基础题解和分析

习题八

8-1 如果理想气体在某过程中依照V=

ap的规律变化,试求：(1)气体从V1膨胀到V2对外

所作的功;(2)在此过程中气体温度是升高还是降低?

分析 利用气体做功公式即可得到结果，根据做正功还是负功可推得温度的变化。 解：(a) W??v2v1pdV??v2v1a21?2?1?? (b) 降低 dV?a?2??V?V1V2?8-2 在等压过程中，0.28千克氮气从温度为293K膨胀到373K，问对外作功和吸热多少?内能改变多少?

分析 热力学第一定律应用。等压过程功和热量都可根据公式直接得到，其中热量公式中的热容量可根据氮气为刚性双原子分子知其自由度为7从而求得，而内能则由热力学第一定律得到。

解：等压过程: W?P(V2?V1)?mR(T2?T1) M280?8.31??373?293??6.65?103J 28m2807Q?Cp?T2?T1????8.31??373?293??2.33?104J

M282?据Q??E?W,?E?1.66?104J

8-3 1摩尔的单原子理想气体，温度从300K加热到350K。其过程分别为(1)容积保持不变；(2)压强保持不变。在这两种过程中求：(1)各吸取了多少热量；(2)气体内能增加了多少；(3)对外界作了多少功

分析 热力学第一定律应用。 一定量的理想气体，无论什么变化过程只要初末态温度确定，其内能的变化是相同的。吸收的热量则要根据不同的过程求解。 解： 已知气体为1 摩尔单原子理想气体(1) 容积不变。Q?m?1,MCV?3R 2m3CV?T2?T1???8.31??350?300??623.25J M2根据Q??E?W,W?0,Q??E。气体内能增量?E?623.25J。对外界做功W?0. (2) 压强不变。Q?m5Cp(T2?T1)??8.31?(350?300)?1038.75J, M2?E?623.25J，W?1038.75J?623.25J?415.5J

8-4 一气体系统如题图8-4所示,由状态a沿acb过程到达b状态,有336焦耳热量传入系统,而系统作功126焦耳,试求: (1) 若系统经由adb过程到b作功42焦耳,则有多少热量传入系统?(2) 若已知Ed?Ea?168J,则过程ad及db中,系统各吸收多少热量?(3)若系统

由b状态经曲线bea过程返回状态a,外界对系统作功84焦耳,则系统与外界交换多少热量?是吸热还是放热?

分析 热力学第一定律应用。根据对于初末态相同而过程不同的系统变化，内能变化是相同的特点，确定出内能的变化。结合各过程的特点（如等体过程不做功）和热力学第一定律即可求得。

解：已知acb过程中系统吸热Q?336J,系统对外作功W?126J,根据热力学第一定律求出b态和a态的内能差：?E?Q?W?210J (1) W?42J, 故Qadb??E?W?252J

(2) 经ad过程,系统作功与adb过程做功相同,即W=42J,故

Qad??Ead?Wad?168?42?210J,

经db过程,系统不作功,吸收的热量即内能的增量

?Edb?Eb?Ed??Eb?Ea???Ed?Ea??210?168?42J

所以Qdb??Edb?Wdb?42J

(3) Wbea??84J,?Ebea???E??210J,故Qbea??Ebea?Wbea??294J.系统放热.

8-5 如题图8-5所示。某种单原子理想气体压强随体积按线性变化，若已知在A,B两状态的压强和体积,求: (1)从状态A到状态B的过程中,气体做功多少?(2)内能增加多少?(3)传递的热量是多少?

分析 利用气体做功的几何意义求解，即气体的功可由曲线下的面积求得。而内能变化则与过程无关，只需知道始末状态即可。 解：(1) 气体作功的大小为斜线AB下的面积

O

题图8－4 a P c e d V

PA A VA VB

题图8－5

V

b P PB B O

W??VB?VA??PA?1?VB?VA??PB?PA??1?PA?PB??VB?VA? 22(2) 气体内能的增量为: ?E? 据 PV?mCV?TB?TA? ① MmRT M TA?PAVAMA ②

mRPBVBMB ③

mR3?PBVB?PAVA? 2 TB? ②③代入① ?E?(3)气体传递的热量

Q??E?W?1?PA?PB??VB?VA??3PBVB?PAVA 22??8-6一气缸内贮有10摩尔的单原子理想气体,在压缩过程中,外力作功200焦耳,气体温度升高一度,试计算: (1) 气体内能的增量;(2)气体所吸收的热量;(3)气体在此过程中的摩尔热容量是多少?

分析 利用内能变化公式和热力学第一定律，求解压缩过程中的热量。再根据摩尔热容量定义即可得到此过程中的摩尔热容量。 解：据?E?m3CV?T2?T1??10??8.31?1?124.65J M2又据热力学第一定律:Q??E?W?124.65?200??75.35J 1摩尔物质温度升高(或降低)1度所吸收的热量叫摩尔热容量,所以

C??75.35??7.535J?mol?1?K?1 108-7一定量的理想气体，从A态出发，经题图8－7所示的过程，经 C再经D到达B态，试求在这过程中，该气体吸收的热量．

分析 比较图中状态的特点可知A、B两点的内能相同，通过做功的几何意义求出气体做功，再利用热力学第一定律应用求解。

5解：由图可得： A态： PAVA?8?105 ；B态： PBVB?8?10

∵ PAVA?PBVB，

根据理想气体状态方程可知 TA?TB， ?E?0 根据热力学第一定律得：

Q??E?W?W?PA(VC?VA)?PB(VB?VD)?1.5?10J

6

P (105 Pa) 4 2 1

A C D B 3 P (atm) a 3 b 2 1 0 c V (L) 1 2 3 题图8－8

O 2 5 8 V (m) 题图8－7

8-8 一定量的理想气体，由状态a经b到达c．如图8－8所示，abc为一直线。求此过程中（1）气体对外作的功；（2）气体内能的增量；(3) 气体吸收的热量．

分析 气体做功可由做功的几何意义求出；比较图中状态的特点可求解内能变化，再利用热力学第一定律求解热量。

解：(1) 气体对外作的功等于线段ac下所围的面积 W?1?(1?3)?1.013?105?2?10?3?405.2J 2?E?0． (2) 由图看出 PaVa?PcVc ?Ta?Tc 内能增量

(3)由热力学第一定律得 Q??E?W?405.2J。

8-9 2mol氢气(视为理想气体)开始时处于标准状态，后经等温过程从外界吸取了400 J的热量，达到末态．求末态的压强．(普适气体常量R=8.31J·mol·K)

分析 利用等温过程内能变化为零，吸收的热量等于所作的功的特点。再结合状态变化的特点P2V2?P1V1求解。

解：在等温过程中， ?T?0 , ?E?0

-2

-1

Q??E?W?W?得 ln即

mRTln(V2V1) MV2Q??0.0882 V1(m/M)RTV2V1?1.09 。末态压强 P?P21?0.92atm V1V28-10为了使刚性双原子分子理想气体在等压膨胀过程中对外作功2 J，必须传给气体多少热量？

分析 结合内能和等压过程功的公式首先求得内能，再由热力学第一定律可得热量。

mR?T M11内能增量?E?(m/M)iR?T?iW

22解：等压过程 W?P?V?双原子分子 i?5 ∴ Q??E?W?1iW?W?7J 28-11一定量的刚性理想气体在标准状态下体积为 1.0?102m3，如题图8－11所示。求下列各过程中气体吸收的热量：(1)等温膨胀到体积为 2.0?102m3； (2) 先等体冷却，再等压膨胀到(1)中所到达的终态．

分析 等温过程吸收的热量可以直接利用公式求解。A→C→B过程的吸收热量则要先求出功和内能变化，再应用第一定律求解。

解：(1) 如图，在A→B的等温过程中,?ET?0，

V2V2∴ QT?WT?V1?PdV??23V1p1V1dV?p1V1ln(V2/V1) V p p1 p2 A 等温 C V1 B V V2

235将P，V?1.0?10m ?1.013?10pa11和V2?2.0?10m

代入上式，得 QT?7.02?10J (2) A→C等体和C→B等压过程中 ∵A、B两态温度相同，??EACB?0

∴ QACB??EACB?WACB?WACB?WCB?P2(V2?V1) 又 P2?(V1V2)P1?0.5atm

∴ QACB?0.5?1.013?105?(2?1)?102?5.07?102J

2题图8－11 8-12质量为100g的氧气，温度由10°C升到60°C，若温度升高是在下面三种不同情况下发生的：（1）体积不变；（2）压强不变；（3）绝热过程。在这些过程中，它的内能各改变多少？

分析 理想气体的内能仅是温度的函数，内能改变相同。

解：由于理想气体的内能仅是温度的函数，在体积不变,压强不变，绝热三种过程中，温度改变相同，内能的改变也相同（氧为双原子分子）

?E?m1005CV?T2?T1????8.31?(333?283)?3246J M3228-13 质量为0.014千克的氮气在标准状态下经下列过程压缩为原体积的一半：（1）等温过程；（2）等压过程；（3）绝热过程，试计算在这些过程中气体内能的改变，传递的热量和外界对气体所作的功.(设氮气可看作理想气体)

分析 理想气体的内能仅是温度的函数，因此首先要利用过程方程求得各个过程的温度变化，从而可得到其内能。再利用内能、做功等相应公式和热力学第一定律可求得各量。 解：（1） 等温过程

?E?01V1V214m2RTln??8.31?273ln??7.86?102J Q?MV128V1W?Q??7.86?102J（2）等压过程：

1T2?T12m1471Q?CP(T2?T1)??8.31??(?273?273)??1.99?103J M2822m1451?E?CV(T2?T1)???8.31?(273??273)??1.42?103JM2822W??5.7?102J(3) 绝热过程：

V1??1T1?V2??1T2，其中，??252CP71?,V2?V1 CV52V?V1T1?(1)5T2, T2?T154?273?54?360.23K

2?E?m145CV?T2?T1????8.31?(360.23?273)?906.10J M282即： Q?0,?E?906.10J,W??906.10J

8-14有1 mol刚性多原子分子的理想气体，原来的压强为1.0 atm，温度为27℃，若经过一绝热过程，使其压强增加到16 atm．试求： (1) 气体内能的增量；

(2) 在该过程中气体所作的功；

(3) 终态时，气体的分子数密度．

分析 （1）理想气体的内能仅是温度的函数，因此首先要利用过程方程求得温度变化，从而由内能公式可得到其内能。本题温度变化可由绝热过程方程得到。（2）对绝热过程应用第一定律求解气体所作的功（3）在温度已知的情况下，可利用物态方程求解分子数密度。 解：(1) ∵ 刚性多原子分子 i?6,∴ T2?T1(p2/p1)?E??1??=i?2?4/3 i?600K

1?(m/M)iR(T2?T1)?7.48?103J

23(2) ∵绝热 W???E??7.48?10J .外界对气体作功。

(3) ∵ P2?nkT2， ∴ n?P2/(kT2)?1.96?1026个/m3

8-15 氮气（视为理想气体）进行如题图8－15所示的循环，状态a?b?c?a,a,b,c的压强，体积的数值已在图上注明，状态a的温度为1000K，求： （1）状态b和c的温度；

(2)各分过程气体所吸收的热量，所作的功和内能的增量； (3)循环效率。

分析 （1）各点温度可由过程方程直接得到（2）对于等值过程，分别使用热量公式、内能公式、做功公式求解。对于ab过程可先由曲线下面积求得功和内能公式求得内能，再由第一定律得到热量。（3）根据效率定义求解循环效率。

4 3 2 1 O p(×103Pa) a c 2 4 题图8-21 题图8－15

b 6 V(m3) PT1000?1000解：(1) Tc?ca??250K;

Pa4000Tb?VbTc6?250m??750K(2)利用PV?RT,Vc2MpVmR?aa?8MTam5CV(Ta?Tc)??8?(1000?250)?1.5?104J(等容过程)M2

m7Qbc?Cp(Tc?Tb)??8?(250?750)??1.4?104J(等压过程)M2Qca?Qab?VbmCV(Tb?Ta)??pdVVaM51??8?(750?1000)?1000(6?2)?(4?1)?103?(6?2)?5?103J22

Wca?0;Wbc?Pc(Vc?Vb)??4.0?103J1Wab??PdV?1000?(6?2)?(4?1)?103?(6?2)?1?104JVa2Vb

m5CV(Ta?Tc)??8?(1000?250)?1.5?104JM2m5?Ebc?CV(Tc?Tb)??8?(250?750)??1.0?104J

M2m5?Eab?CV(Tb?Ta)??8?(750?1000)??5?103JM2?Eca?Q21.4?104(3)??1??1??30% 43Q11.5?10?5.0?108－16 如题图8－16所示，AB、DC是绝热过程，CEA是等温过程，BED是任意过程，组成一个循环。若图中EDCE所包围的面积为70 J，EABE所包围的面积为30 J，CEA过程中系统放热100 J，求BED过程中系统吸热为多少？

分析 BED过程吸热无法直接求解结果，但可在整个循环过程中求解，（1）循环过程的功可由面积得到，但需注意两个小循环过程的方向（2）利用循环过程的内能不变特点，从而由热一定律得到循环过程的总热量。再分析总热量和各个分过程的热量关系，从而求出BED过程的吸热。

解：正循环EDCE包围的面积为70 J，表示系统对外作正 功70 J；EABE的面积为30 J，因图中表示为逆循环，故系 统对外作负功，所以整个循环过程系统对外作功为：

p A D E C B O 题图8－16 V W?70?30?40J

设CEA过程中吸热Q1，BED过程中吸热Q2，对整个循

环过程?E?0，由热一律，Q1?Q2?W?40J

Q2?W?Q1?40?(?100)?140J

BED过程中系统从外界吸收140焦耳热.

8－17以氢(视为刚性分子的理想气体)为工作物质进行卡诺循环，如果在绝热膨胀时末态的压强P2是初态压强P1的一半，求循环的效率．

分析 理想气体的卡诺循环效率由热源温度决定，因此根据已知条件，在绝热过程中利用过程方程求得两热源温度比即可。 解：根据卡诺循环的效率 ??1?T2 T1??1PP2??11由绝热方程： ???

T1T2TP得 2?(2)T1P1氢为双原子分子， ??1.40， 由

??1?

P21? P21得

T2T?0.82 ???1?2?18%

T1T18－18 以理想气体为工作物质的某热机，它的循环过程如题图8－18所示（bc为绝热线）。

?V2????1V证明其效率为：??1???1?

?p2????1?p1?分析 先分析各个过程的吸放热情况，由图可知，ca过程放热，ab过程吸热，bc过程无热量交换。再根据效率的定义，同时结合两过程的过程方程即可求证。

解：??1?QW?1?caQQabmCp(Tc?Ta)M?1? mCV(Tb?Ta)MTc?1T?1??a ①

Tb?1Ta由p1V1p2V1TaP?,?1 ② TaTbTbP2p1V1p1V2TcV2?,? ③ TaTcTaV1?V2????1V将②③代入①得 ??1???1? ,证毕。?p2????1?p1?题图8－18

8－19理想气体作如题图8－19所示的循环过程，试证：该气体循环效率为??1??分析 与上题类似，只需求的bc、da过程的热量代入效率公式即可。 证明：Qbc?Td?Ta

Tc?TbmCV(Tc?Tb),Qcd?0 MQda?mCP?Ta?Td?,Qab?0 MmCp?Td?Ta?T?TQ2M??1??1??1??da mQ1Tc?TbCV(Tc?Tb)M

8－20一热机在1000K和300K的两热源之间工作，如果：（1）高温热源提高到1100K （2）使低温热源降到200K，求理论上热机效率增加多少？为了提高热机效率，那一种方案更好？

分析 理想气体的卡诺循环效率由热源温度决定，因此，只需利用效率公式便可求解。 解：??1?题图8－19

T2300?1??70% T11000(1)?1?1????T2300?1??72.7%,所以10?3.85%T11100?0???T2200?1??80%,所以20?14.3% T11000?0(2)?2?1?计算结果表明，理论上说来，降低低温热源温度可以过得更高的热机效率。而实际上，所用低温热源往往是周围的空气或流水，要降低它们的温度是困难的，所以，以提高高温热源的温度来获得更高的热机效率是更为有效的途径。

8-21题图8－21中所示为一摩尔单原子理想气体所经历的循环过程，其中ab为等温过程，bc为等压过程，ca为等体过程，已知Va?3.00升，Vb?6.00升，求此循环的效率。 分析 先分析循环中各个过程的吸放热情况，由图可知，bc过程放热，ab和ca过程吸热。

再根据效率的定义，同时结合各个过程的过程方程进一步求出热量，即可求得循环的效率。 解：Ta?Tb?T； Tc?VcTbVaTb1??T VbVb2VmRTlnb?RTln2 MVa p a b V Vb

a?b等温过程：Qab?m55b?c等压过程：Qbc?Cp(Tc?Tb)?R(Tc?Tb)??RT

M24m33c?a等容过程：Qca?Cv(Ta?Tc)?R(Ta?Tc)?RT

M245Q???1?2?1?4?13.4%

3Q1ln2?4c Va 题图8－21 8-22 气体作卡诺循环，高温热源温度为T1?400K，低温热源的温度T2?280K，设

?23?23（1）气体从高温热源吸收的热量Q1；（2）P1?1atm,V1?1?10m,V2?2?10m,求：

循环的净功W。

分析 分析循环的各个过程的吸放热情况（1）利用等温过程吸热公式Q?VmRTln2可MV1求得热量（2）对卡诺循环，温度已知情况下可直接求得效率，而吸收的热量在（1）中已得到，以此可由效率公式求得净功。

解：(1)P1V1m?R T1M

Q1?VmRT1ln2?P1V1ln2?7?102J MV1Q2T?1?2?0.3;Q1T1Q2?0.7Q1?4.9?102J

(2)??1?W?Q1?Q2?2.1?102J

8－23 理想气体准静态卡诺循环，当热源温度为100°C，冷却器温度为0°C时，作净功为800J，今若维持冷却器温度不变，提高热源温度，使净功增为1.6?10J，并设两个循环都工作于相同的两条绝热线之间，求

（1）热源的温度是多少？ （2）效率增大到多少？

分析 在两种情况下低温热源（冷却器）并无变化，即两个循环过程放热相同。利用卡诺循环效率及热力学第一定律确定提高后的热源温度。 解：(1)?1?3TT1W?1?2,Q1?W Q1T1T1?T2T1T2W?W?W?2.73W?2184J T1?T2T1?T2Q2?Q1?W??2?TT1?W??1?2,Q1??W? Q1?T1?T1??T2T1?T2W??W??W? T1??T2T1??T2??Q1??W??Q2Q2?Q2?

T1??473K

(2)??1?T2273?1??42.3% ?T1473?33?638－24 1.00?10m的100°C的纯水。在1atm下加热，变为1.671?10m的水蒸气。水

的汽化热是2.26?10J?kg。试求水变成汽后内能的增量和熵的增量。

分析 此过程中温度、压强不变，求出汽化热量，由熵的定义可知只需即可求得熵的增量。内能的增量由能量守恒求解。

解 系统在恒压下膨胀时对外界所作的功为

6?1W?P?V?1?1.01?105?(1671?1)?10?6?1.69?102J

Q?2.26?106?10?3?2.26?103J

所以，水变成汽后内能的增量 ?E?Q?W?2.09?103J

?Q2.26?103??6.06J?K?1 熵的增量: ?S?T3738－25 1.0?10 kg氦气作真空自由膨胀，膨胀后的体积是原来体积的2倍，求熵的增量。氦气可视为理想气体。

分析 在理想气体向真空自由膨胀过程中，系统对外不作功，且与外界无热量交换，因而由热一定律可知内能不变；内能是温度的单值函数，因此始末状态温度相同。因此可用理想气体等温膨胀的可逆过程来连接该初，终两态，利用熵公式即可求解。

解 在理想气体向真空自由膨胀这一不可逆过程中，初，终两态的温度相等。即T1?T2?T，只是体积由V1增大到V2?2V1。所以用理想气体等温膨胀的可逆过程来连接该初，终两态，因为dE?0

?3则dQ?dE?PdV?PdV

所以：S2?S1??(2)(1)(2)PdVV2dVdQm???R? (1)TTMV1V?V10mRln2??8.31?0.639?2.1J?K－1 MV128

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