计算机代数系统第一章 Maple基础(修订稿)

数学计算的软件Maple的教程

第一章 Maple基础

1 初识计算机代数系统Maple

1.1 Maple简说

1980年9月, 加拿大Waterloo大学的符号计算机研究小组成立, 开始了符号计算在计算机上实现的研究项目, 数学软件Maple是这个项目的产品. 目前, 这仍是一个正在研究的项目.

Maple的第一个商业版本是1985年出版的. 随后几经更新, 到1992年, Windows系统下的Maple 2面世后, Maple被广泛地使用, 得到越来越多的用户. 特别是1994年, Maple 3出版后, 兴起了Maple热. 1996年初, Maple 4问世, 1998年初, Maple 5正式发行. 目前广泛流行的是Maple 7以及2002年5月面市的Maple 8.

Maple是一个具有强大符号运算能力、数值计算能力、图形处理能力的交互式计算机代数系统(Computer Algebra System). 它可以借助键盘和显示器代替原来的笔和纸进行各种科学计算、数学推理、猜想的证明以及智能化文字处理.

Maple这个超强数学工具不仅适合数学家、物理学家、工程师, 还适合化学家、生物学家和社会学家, 总之, 它适合于所有需要科学计算的人.

1.2 Maple结构

Maple软件主要由三个部分组成: 用户界面(Iris)、代数运算器(Kernel)、外部函数库(External library). 用户界面和代数运算器是用C语言写成的, 只占整个软件的一小部分, 当系统启动时, 即被装入, 主要负责输入命令和算式的初步处理、显示结果、函数图象的显示等. 代数运算器负责输入的编译、基本的代数运算(如有理数运算、初等代数运算等)以及内存的管理. Maple的大部分数学函数和过程是用Maple自身的语言写成的, 存于外部函数库中. 当一个函数被调用时, 在多数情况下, Maple会自动将该函数的过程调入内存, 一些不常用的函数才需要用户自己调入, 如线性代数包、统计包等, 这使得Maple在资源的利用上具有很大的优势, 只有最有用的东西才留驻内存, 这保证了Maple可以在较小内存的计算机上正常运行. 用户可以查看Maple的非内存函数的源程序, 也可以将自己编的函数、过程加到Maple的程序库中, 或建立自己的函数库.

1.3 Maple输入输出方式

为了满足不同用户的需要, Maple可以更换输入输出格式: 从菜单“Options | Input Display和Out Display下可以选择所需的输入输出格式.

Maple 7有2种输入方式: Maple语言(Maple Notation)和标准数学记法(Standard Math

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Notation). Maple语言是一种结构良好、方便实用的内建高级语言, 它的语法和Pascal或C有一定程度的相似, 但有很大差别. 它支持多种数据操作命令, 如函数、序列、集合、列表、数组、表, 还包含许多数据操作命令, 如类型检验、选择、组合等. 标准数学记法就是我们常用的数学语言.

启动Maple, 会出现新建文档中的“[>”提示符, 这是Maple中可执行块的标志, 在“>”后即可输入命令, 结束用“;”(显示输出结果)或者“:”(不显示输出结果). 但是, 值得注意的是, 并不是说Maple的每一行只能执行一句命令, 而是在一个完整的可执行块中健入回车之后, Maple会执行当前执行块中所有命令(可以是若干条命令或者是一段程序). 如果要输入的命令很长, 不能在一行输完, 可以换行输入, 此时换行命令用“shift+Enter”组合键, 而在最后一行加入结束标志“;”或“:”, 也可在非末行尾加符号“\”完成.

Maple 7有4种输出方式: Maple语言、格式化文本(Character Notation)、固定格式记法(Typeset Notation)、标准数学记法(Standard Math Notation). 通常采用标准数学记法.

Maple会认识一些输入的变量名称, 如希腊字母等. 为了使用方便, 现将希腊字母表罗列如下，输入时只需录入相应的英文，要输入大写希腊字母, 只需把英文首字母大写: α

alpha β beta γ gamma δ ε ζ zeta η eta θ theta ι iota κ

χ

chi λ µ mu delta epsilon kappa lambda ν nu ξ xi ο omicron π pi ρ rho σ sigma τ tau υ upsilon φ phi ψ psi ω omega

有时候为了美观或特殊需要，可以采用Maple中的函数或程序设计方式控制其输出方式，如下例：

> for i to 10 do

printf("i=%+2d and i^(1/2)=%+6.3f", i, eval(sqrt(i)));

od;

i=+1 and i^(1/2)=+1.000i=+2 and i^(1/2)=+1.414i=+3 and i^(1/2)=+1.732i=+4 and

i^(1/2)=+2.000i=+5 and i^(1/2)=+2.236i=+6 and i^(1/2)=+2.449i=+7 and i^(1/2)=+2.646i=+8 and i^(1/2)=+2.828i=+9 and i^(1/2)=+3.000i=+10 and i^(1/2)=+3.162

+2d的含义是带符号的十进位整数，域宽为2. 显然，这种输出方式不是我们想要的，为了得到更美观的输出效果，在语句中加入换行控制符“\n”即可：

> for i to 10 do

printf("i=%+2d and i^(1/2)=%+6.3f\n", i, eval(sqrt(i)));

od;

i=+1 and i^(1/2)=+1.000

i=+2 and i^(1/2)=+1.414

i=+3 and i^(1/2)=+1.732

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i=+4 and i^(1/2)=+2.000

i=+5 and i^(1/2)=+2.236

i=+6 and i^(1/2)=+2.449

i=+7 and i^(1/2)=+2.646

i=+8 and i^(1/2)=+2.828

i=+9 and i^(1/2)=+3.000

i=+10 and i^(1/2)=+3.162

再看下例：将输入的两个数字用特殊形式打印：

> niceP:=proc(x,y)

printf("value of x=%6.4f, value of y=%6.4f",x,y);

end proc;

niceP := proc(x,y)printf("value of x=%6.4f, value of y=%6.4f",x,y)end proc > niceP(2.4,2002.204);

value of x=2.4000, value of y=2002.2040

1.4 Maple联机帮助

学会寻求联机帮助是掌握一个软件的钥匙. Maple有一个非常好的联机帮助系统, 它包含了90%以上命令的使用说明. 要了解Maple的功能可用菜单帮助“”, 它给出Maple内容的浏览表, 这是一种树结构的目录表, 跟有…的词条说明其后还有子目录, 点击这样的词条后子目录就会出现(也可以用Tab键和up, down选定). 可以从底栏中看到函数命令全称, 例如, 我们选graphics…, 出现该条的子目录, 从中选2D…, 再选plot就可得到作函数图象的命令plot的完整帮助信息. 一般帮助信息都有实例, 我们可以将实例中的命令部分拷贝到作业面进行计算、演示, 由此可了解该命令的作用.

在使用过程中, 如果对一个命令把握不准, 可用键盘命令对某个命令进行查询. 例如, 在命令区输入命令“?plot”(或help(plot);), 然后回车将给出plot命令的帮助信息, 或者将鼠标放在选定的要查询的命令的任何位置再点击菜单中的“Help”即可.

2 Maple的基本运算

2.1 数值计算问题

算术是数学中最古老、最基础和最初等的一个分支, 它研究数的性质及其运算, 主要包括自然数、分数、小数的性质以及他们的加、减、乘、除四则运算. 在应用Maple做算术运算时, 只需将Maple当作一个“计算器”使用, 所不同的是命令结束时需加“;”或“:”.

在Maple中, 主要的算术运算符有“+”(加)、“–”(减)、“*”(乘)、“/”(除)以及“^”(乘方或幂，或记为**), 算术运算符与数字或字母一起组成任意表达式, 但其中“+”、“*”是最基本的运算, 其余运算均可归诸于求和或乘积形式. 算述表达式运算的次序为: 从左到右, 圆括号最先, 幂运算优先, 其次是乘除，最后是加减. 值得注意的是, “^”的表达式只能有两个操作数, 换言之, a^b^c是错误的, 而“+”或“*”的任意表达式可以有两个或者两个以上的操作数.

Maple有能力精确计算任意位的整数、有理数或者实数、复数的四则运算, 以及模算术、硬

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件浮点数和任意精度的浮点数甚至于矩阵的计算等等. 总之, Maple可以进行任意数值计算.

但是, 任何软件或程序毕竟只是人们进行科学研究的一种必要的辅助, 即便它有很多优点, 但也有它的局限性, 为了客观地认识数学软件、认识Maple, 下面通过两个简单例子予以说明.

第一个简单的数值计算实例想说明Maple数值计算的答案的正确性:

> 3!!!;

2601218943565795100204903227081043611191521875016945785727541837850835631156947382240678577958130457082619920575892247259536641565162052015873791984587740832529105244690388811884123764341191951045505346658616243271940197113909845536727278537099345629855586719369774070003700430783758997420676784016967207846280629229032107161669867260548988445514257193985499448939594496064045132362140265986193073249369770477606067680670176491669403034819961881455625195592566918830825514942947596537274845624628824234526597789737740896466553992435928786212515967483220976029505696699927284670563747137533019248313587076125412683415860129447566011455420749589952563543068288634631084965650682771552996256790845235702552186222358130016700834523443236821935793184701956510729781804354173890560727428048583995919729021726612291298420516067579036232337699453964191475175567557695392233803056825308599977441675784352815913461340394604901269542028838347101363733824484506660093348484440711931292537694657354337375724772230181534032647177531984537341478674327048457983786618703257405938924215709695994630557521063203263493209220738320923356309923267504401701760572026010829288042335606643089888710297380797578013056049576342838683057190662205291174822510536697756603029574043387983471518552602805333866357139101046336419769097397432285994219837046979109956303389604675889865795711176566670039156748153115943980043625399399731203066490601325311304719028898491856203766669164468791125249193754425845895000311561682974304641142538074897281723375955380661719801404677935614793635266265683339509760000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

上述运算结果在IBM PC机(1G, 128M)上计算只需要0.01秒, 得到如此复杂的结果(1747位), 一个自然的问题是: 答案正确吗？

为了回答这个问题, 我们借助于数值分析方法, 由Stiring公式

n!≈ nn exp( n)

可得: 720!≈2.60091×101746, 前三位数字与Maple输出结果相同, 且两者结果均为1747位. 另外, 在720!的计算中, 5的因子的个数为:

720720720720+++=178 5 5 5 5

这些5与足够多的2相乘将得到178个0, 而Maple的输出结果中最后178位数为零. 由此, 可以相信Maple结果的正确性.

另一个例子则想说明Maple计算的局限性:

( 8)1/3=? ( 8)2/6=?

Maple在处理问题时, 为了避免失根, 从不求算术式的近似值, 分数则化简为既约分数. 因此, 在Maple中很容易得到:

( 8)1/3= ( 8)2/6

显然这是错误的. 这一点可以从代数的角度予以分析.

不妨设( 8)1/3=x, 则x3+8=0, 即(x+2)(x2 2x+4)=0, 显然( 8)有3个结果, 1/3

-2是其实数结果.

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另一方面, 设( 8)2/6=x, 则x6+( 8)2=0, 即:

(x3+8)(x3 8)=(x+2)(x 2)(x2 2x+4)(x2+2x+4)=0

显然( 8)2/6有6个结果, -2、2是其实数结果.

这个简单的例子说明了Maple在数值计算方面绝对不是万能的, 其计算结果也不是完全正确的, 但是, 通过更多的实验可以发现: Maple只可能丢失部分结果, 而不会增加或很少给出完

+ 1.732050807I). 这一点提醒全错误的结果(如上例中Maple的浮点数结果皆为1.000000000

我们, 在利用Maple或其他任何数学软件或应用程序进行科学计算时, 必须运用相关数学基础知识校验结果的正确性.

尽管Maple存在缺陷(实际上, 任何一个数学软件或程序都存在缺陷), 但无数的事实说明Maple仍然不失为一个具有强大科学计算功能的计算机代数系统. 事实上, Maple同其他数学软件或程序一样只是科学计算的一个辅助工具, 数学基础才是数学科学中最重要的.

2.1.1 有理数运算

作为一个符号代数系统, Maple可以绝对避免算术运算的舍入误差. 与计算器不同, Maple从来不自作主张把算术式近似成浮点数, 而只是把两个有公因数的整数的商作化简处理. 如果要求出两个整数运算的近似值时, 只需在任意一个整数后加“.”(或“.0”), 或者利用“evalf”命令把表达式转换成浮点形式, 默认浮点数位是10 (即: Digits:=10, 据此可任意改变浮点数位, 如Digits:=20).

> 12!+(7*8^2)-12345/125;

11975048731 25

> 123456789/987654321;

> evalf(%); 13717421109739369

.1249999989

> 10!; 100*100+1000+10+1; (100+100)*100-9;

3628800

11011

19991

> big_number:=3^(3^3);

big_number := 7625597484987

> length(%);

13

上述实验中使用了一个变量“big_number”并用“:=”对其赋值, 与Pascal语言一样为一个变量赋值用的是“:=”. 而另一个函数“length”作用在整数上时是整数的十进制位数即数字的长度. “%”是一个非常有用的简写形式, 表示最后一次执行结果, 在本例中是上一行输出结果. 再看下面数值计算例子:

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1)整数的余(irem)/商(iquo)

命令格式:

irem(m,n); ＃求m除以n的余数

irem(m,n,'q'); ＃求m除以n的余数, 并将商赋给q

iquo(m,n); ＃求m除以n的商数

iquo(m,n,'r'); ＃求m除以n的商数, 并将余数赋给r

其中, m, n是整数或整数函数, 也可以是代数值, 此时, irem保留为未求值.

> irem(2002,101,'q'); # 求2002除以101的余数, 将商赋给q

83

> q; #显示q

19

> iquo(2002,101,'r'); # 求2002除以101的商, 将余数赋给r

19

> r; ＃显示r

83

> irem(x,3);

irem(x,3)

2)素数判别(isprime)

素数判别一直是初等数论的一个难点, 也是整数分解问题的基础. Maple提供的isprime命令可以判定一个整数n是否为素数. 命令格式: isprime(n);

如果判定n可分解, 则返回false, 如果返回true, 则n“很可能”是素数.

> isprime(2^(2^4)+1);

true

> isprime(2^(2^5)+1);

false

上述两个例子是一个有趣的数论难题。形如Fn=22+1的数称为Fermat数, 其中的素数称为Fermat素数, 显然, F0=3、F1=5、F2=17、F3=257、F4=65537都是素数. Fermat曾经猜想所有的Fn都是素数, 但是Euler在1732年证明了F5=641 6700417不是素数. 目前, 这仍是一个未解决的问题, 人们不知道还有没有Fermat素数, 更不知道这样的素数是否有无穷多.

3) 确定第i个素数(ithprime)

若记第1个素数为2，判断第i个素数的命令格式: ithprime(i);

> ithprime(2002); n

17401

> ithprime(10000);

104729

4) 确定下一个较大(nextprime)/较小(prevprime)素数

当n为整数时，判断比n稍大或稍小的素数的命令格式为:

nextprime(n);

prevprime(n);

> nextprime(2002);

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> prevprime(2002);

1999

5) 一组数的最大值(max)/最小值(min)

命令格式: max(x1,x2,…,xn); #求x1,x2,…,xn中的最大值

min(x1,x2,…,xn); #求x1,x2,…,xn中的最小值

> max(1/5,ln(3),9/17,-infinity);

ln(3)

> min(x+1,x+2,y);

min(y,x + 1)

6)模运算(mod/modp/mods)

命令格式: e mod m; # 表达式e对m的整数的模运算

modp(e,m); ＃ e对正数m的模运算

mods(e,m); ＃ e对m负对称数(即 -m)的模运算

`mod`(e,m); # 表达式e对m的整数的模运算, 与e mod m等价

值得注意的是, 要计算i^n mod m(其中i是一整数), 使用这种“明显的”语法是不必要的, 因为在计算模m之前, 指数要先在整数(可能导致一个非常大的整数)上计算. 更适合的是使用惰性运算符“&^”即: i &^n mod m, 此时, 指数运算将由mod运算符智能地处理. 另一方面, mod运算符的左面优先比其他运算符低, 而右面优先高于+和-, 但低于*和/.

> 2002 mod 101;

83

> modp(2002,101);

83

> mods(49,100);

49

> mods(51,100);

-49

> 2^101 mod 2002; # 同 2 &^101 mod 2002;

1124

7)随机数生成器(rand)

命令格式:

rand( ); ＃随机返回一个12位数字的非负整数

rand(a..b); ＃调用rand(a..b)返回一个程序, 它在调用时生成一个在范围[a, b]内的随机数 > rand();

427419669081

> myproc:=rand(1..2002):

> myproc();

1916

> myproc();

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注意, rand(n)是rand(0..n-1)的简写形式.

2.1.2 复数运算

复数是Maple中的基本数据类型. 虚数单位i在Maple中用I表示. 在运算中, 数值类型转化成复数类型是自动的, 所有的算术运算符对复数类型均适用. 另外还可以用Re( )、Im( )、conjugate( )和argument( )等函数分别计算实数的实部、虚部、共轭复数和幅角主值等运算. 试作如下实验:

> complex_number:=(1+2*I)*(3+4*I);

complex_number := -5 + 10I

> Re(%);Im(%%);conjugate(%%%);argument(complex_number);

-5

10

-5 10I

arctan(2) + π

值得注意的是上行命令中均以“;”结束, 因此不能将命令中的2个%或3个%(最多只能用3个%)改为1个%, 因为%表示上一次输出结果, 若上行命令改为“,”结束, 则均可用1个%.

为了在符号表达式中进行复数运算, 可以用函数evalc( ), 函数evalc把表达式中所有的符号变量都当成实数, 也就是认为所有的复变量都写成a+bI的形式, 其中a、b都是实变量. 另外还有一些实用命令, 分述如下:

1) 绝对值函数

命令格式: abs(expr);

当expr为实数时，返回其绝对值，当expr为复数时，返回复数的模.

> abs(-2002); #常数的绝对值

2002

> abs(1+2*I); ＃复数的模

5

> abs(sqrt(3)*I*u^2*v); ＃复数表达式的绝对值 3u2v

> abs(2*x-5); ＃函数表达式的绝对值

2x 5

2)复数的幅角函数

命令格式: argument(x); ＃返回复数x的幅角的主值

> argument(6+11*I);

11 arctan

> argument(exp(4*Pi/3*I)); 2π

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3)共轭复数

命令格式: conjugate(x); ＃返回x的共轭复数

> conjugate(6+8*I);

6 8I

> conjugate(exp(4*Pi/3*I));

11 I3 2.1.3 数的进制转换

数的进制是数值运算中的一个重要问题. 而在Maple中数的进制转换非常容易, 使用convert命令即可.

命令格式: convert(expr, form, arg3, ...);

其中, expr为任意表达式, form为一名称, arg3, ... 可选项.

下面对其中常用数的转换予以概述. 而convert的其它功能将在后叙章节详述.

1)基数之间的转换

命令格式:

convert(n, base, beta); #将基数为10的数n转换为基数为beta的数

convert(n, base, alpha, beta);＃将基数为alpha的数字n转换为基数为beta的数

> convert(2003,base,7); #将10进制数2002转换为7进制数, 结果为: (5561)7

[1,6,5,5]

> convert([1,6,5,5],base,7,10); ＃将7进制数5561转换为10进制数

[3,0,0,2]

> convert(2002,base,60); ＃将十进制数2002转换为60进制数, 得33(分钟)22(秒)

[22,33]

2)转换为二进制形式

命令格式: convert(n, binary);

其功能是将十进制数n转换为2进制数. 值得注意的是, 数可以是正的, 也可以是负的, 或者是整数, 或者是浮点数, 是浮点数时情况较为复杂.

> convert(2002,binary);

11111010010

> convert(-1999,binary);

-11111001111

> convert(1999.7,binary);

.11111001111011

3)转换为十进制形式

其它数值转换为十进制的命令格式为:

convert(n, decimal, binary); #将一个2进制数n转换为10进制数

convert(n, decimal, octal); #将一个8进制数n转换为10进制数

convert(string, decimal, hex); #将一个16进制字符串string转换为10进制数

> convert(11111010010, decimal, binary);

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2002

> convert(-1234, decimal, octal);

-668

> convert("2A.C", decimal, hex);

42.75000000

4) 转换为16进制数

将自然数n转换为16进制数的命令格式为: convert(n, hex);

> convert(2002,hex); convert(1999,hex);

7D2

7CF

5)转换为浮点数

命令格式: convert(expr, float);

注意, convert/float命令将任意表达式转换为精度为全局变量Digits的浮点数, 且仅是对evalf的调用.

> convert(1999/2002,float);

.9985014985

> convert(Pi,float);

3.141592654

2.2 初等数学

初等数学是数学的基础之一, 也是数学中最有魅力的一部分内容. 通过下面的内容我们可以领略Maple对初等数学的驾驭能力, 也可以通过这些实验对Maple产生一些感性认识.

2.2.1 常用函数

作为一个数学工具, 基本的数学函数是必不可少的, Maple中的数学函数很多, 现例举一二如下:

指数函数: exp

一般对数: log[a]

自然函数: ln

常用对数: log10

平方根: sqrt

绝对值: abs

三角函数: sin、cos、tan、sec、csc、cot

反三角函数: arcsin、arccos、arctan、arcsec、arccsc、arccot

双曲函数: sinh、cosh、tanh、sech、csch、coth

反双曲函数: arcsinh、arccosh、arctanh、arcsech、arccsch、arccoth

贝赛尔函数: BesselI、BesselJ、BesselK、BesselY

Gamma函数: GAMMA

误差函数: erf

函数是数学研究与应用的基础之一, 现通过一些实验说明Maple中的函数的用法及功能.

1) 确定乘积和不确定乘积

命令格式: product(f,k);

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product(f,k=m..n);

product(f,k=alpha);

product(f,k=expr);

其中, f—任意表达式, k—乘积指数名称, m,n—整数或任意表达式, alpha—代数数RootOf, expr—包含k的任意表达式.

> product(k^2,k=1..10); #计算k2关于1..10的连乘

13168189440000

> product(k^2,k); ＃计算k2的不确定乘积

Γ(k)2

> product(a[k],k=0..5); ＃计算ai(i=0..5)的连乘

a0a1a2a3a4a5

> product(a[k],k=0..n); ＃计算ai(i=0..n)的连乘

n

k = 0∏ak

Γ(n + m + 1) Γ(n)> Product(n+k,k=0..m)=product(n+k,k=0..m); #计算(n+k)的连乘, 并写出其惰性表达式 k = 0∏(n + k) = m

> product(k,k=RootOf(x^3-2)); #计算x3 2的三个根的乘积

2

product命令计算符号乘积, 常常用来计算一个公式的确实或不确实的乘积. 如果这个公式不能求值计算, Maple返回Γ函数. 典型的例子是:

> product(x+k,k=0..n-1);

Γ(x + n) Γ(x)

如果求一个有限序列值的乘积而不是计算一个公式, 则用mul命令. 如:

> mul(x+k,k=0..3);

x(x + 1)(x + 2)(x + 3)

2)指数函数

计算指数函数exp关于x的表达式的命令格式为: exp(x);

> exp(1);

e

> evalf(%);

2.718281828

> exp(1.29+2*I);

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-1.511772633 + 3.303283467I

> evalc(exp(x+I*y));

excos(y) + Iexsin(y)

3)确定求和与不确定求和sum

命令格式: sum(f,k);

sum(f,k=m..n);

sum(f,k=alpha);

sum(f,k=expr);

其中, f—任意表达式, k—乘积指数名称, m,n—整数或任意表达式, alpha—代数数RootOf, expr—不含k的表达式.

> Sum(k^2,k=1..n)=sum(k^2,k=1..n);

1111k2 = (n + 1)3 (n + 1)2 + n + k = 1∑n

> Sum(k^3,k=1..n)=sum(k^3,k=1..n);

111343k = + (n + 1)(n + 1)(n + 1)2 ∑k = 1

> Sum(k^4,k=1..n)=sum(k^4,k=1..n);

nn11111k4 = (n + 1)5 (n + 1)4 + (n + 1)3 n 5233030k = 1∑

> Sum(1/k!,k=0..infinity)=sum(1/k!,k=0..infinity);

k = 0∑∞1 = e > sum(a[k]*x[k],k=0..n);

k = 0∑nakxk

> Sum(k/(k+1),k)=sum(k/(k+1),k);

∑kk = k Ψ(k + 1) > sum(k/(k+1),k=RootOf(x^2-3));

3

sum函数可计算一个公式的确定和与不确定和, 如果Maple无法计算封闭形式, 则返回未求值的结果. 值得注意的是, 在sum命令中将f和k用单引号括起来, 可避免过早求值. 这一点在某些情况下是必需的.

> Sum('k','k'=0..n)=sum('k','k'=0..n);

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111k = (n + 1)2 n 222k = 0∑n

如果计算一个有限序列的值, 而不是计算一个公式, 可用add命令. 如:

> add(k,k=1..100);

5050

尽管sum命令常常用于计算显式求和, 但在程序设计中计算一个显式和应该使用add命令. 另外, sum知道各种求和方法, 并会对各类发散的求和给出正确的结果, 如果要将求和限制为收敛求和, 就必须检查显式的收敛性.

3)三角函数/双曲函数

命令格式: sin(x); cos(x); tan(x); cot(x); sec(x); csc(x);

sinh(x); cosh(x); tanh(x); coth(x); sech(x); csch(x);

其中, x为任意表达式.

值得注意的是三角函数/双曲函数的参数以弧度为单位. Maple提供了利用常见三角函数/双曲函数恒等式进行化简和展开的程序, 也有将其转化为其它函数的命令convert.

> Sin(Pi)=sin(Pi);

Sin(π) = 0

> coth(1.9+2.1*I);

.9775673582 + .03813995737I

> expand(sin(x+y)); #展开表达式

sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)

> combine(%); ＃合并表达式

sin(x + y)

> convert(sin(7*Pi/60),'radical'); 13 + 1 5 5 12(5 + 1)3 + 12(5 + 1) 88 1616

> evalf(%);

.3583679496

但有趣的是, combine只对sin, cos有效, 对tan, cot竟无能为力.

4)反三角函数/反双曲函数

命令格式: arcsin(x); arccos(x); arctan(x); arccot(x); arcsec(x); arccsc(x);

arcsinh(x); arccosh(x); arctanh(x); arccoth(x); arcsech(x); arccsch(x);

arctan(y,x);

其中, x, y为表达式. 反三角函数/反双曲函数的参数必须按弧度计算.

算子记法可用于对于反三角函数和反双曲函数. 例如, sin@@(-1)求值为arcsin.

> arcsinh(1);

ln(1 + 2)

> cos(arcsin(x));

1 x2

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> arcsin(1.9+2.1*I);

.7048051446 + 1.738617351I

5)对数函数

命令格式: ln(x); #自然对数

log[a](x); #一般对数

log10(x); #常用对数

一般地, 在ln(x)中要求x>0. 但对于复数型表达式x, 有:

ln(x)=ln(abs(x))+I*argument(x) (其中, π<argument(x)≤π)

> ln(2002.0);

7.601901960

> ln(3+4*I);

ln(3 + 4I)

> evalc(%); # 求出上式的实部、虚部

4 ln(5) + Iarctan 3

> log10(1000000);

ln(1000000) > simplify(%); ＃化简上式

6

2.2.2 函数的定义

Maple是一个计算机代数系统, 带未知或者已知字母变量的表达式是它的基本数据形式. 一个简单的问题是, 既然表达式中可以包含未知变量, 那么它是不是函数呢？试看下面一个例子: > f(x):=a*x^2+b*x+c;

f(x) := ax2 + bx + c

可以看出, Maple接受了这样的赋值语句, 但f(x)是不是一个函数呢？要回答这个问题，一个简单的方法是求函数值:

> f(x),f(0),f(1/a);

1 ax2 + bx + c,f(0),f

由上述结果可以看出, 用赋值方法定义的f(x)是一个表达式而不是一个函数, 因为f(x)不能把所定义的“自变量”或者“参数”转换成别的变量或表达式. 但从赋值“过程”可以看出, f(x)虽然也算是一个“函数”, 但却是一个没有具体定义的函数:

> print(f);

proc()optionremember;'procname(args)'end proc

事实上, 我们所做的赋值运算, 只不过是在函数f的记忆表(remember table)中加入了f(x)在x上的值, 当我们把自变量换作0或1/a时, f(x)的记忆表中没有对应的表项, 所以输出结果就是抽象的表达式.

在Maple中, 要真正完成一个函数的定义, 需要用算子(也称箭头操作符):

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> f:=x->a*x^2+b*x+c;

f := x → ax2 + bx + c

> f(x),f(0),f(1/a);

ax2 + bx + c,c,1b + c aa

多变量的函数也可以用同样的方法予以定义, 只不过要把所有的自变量定成一个序列, 并用一个括号“()”将它们括起来(这个括号是必须的, 因为括号运算优先于分隔符“,”). > f:=(x,y)->x^2+y^2;

f := (x,y) → x2 + y2

> f(1,2);

5

> f:=(x,y)->a*x*y*exp(x^2+y^2);

f := (x,y) → axye22(x + y)

综上所述, 箭头操作符定义函数的方式一般为:

一元函数: 参数->函数表达式

多多函数: (参数序列)->函数表达式

无参数函数也许不好理解, 但可以用来定义常函数:

> E:=()->exp(1);

E := () → e

> E();

e

> E(x);

e

另一个定义函数的命令是unapply,其作用是从一个表达式建立一个算子或函数.

定义一个表达式为expr的关于x的函数f的命令格式为: f:=unapply(expr, x);

定义一个表达式为expr的关于x,y,…的多元函数f的命令格式为: f:=unapply(expr, x, y, …); > f:=unapply(x^4+x^3+x^2+x+1,x);

f := x → x4 + x3 + x2 + x + 1

> f(4);

341

> f:=unapply(x*y/(x^2+y^2),x,y);

f := (x,y) →

> f(1,1); xy 22x + y

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1 借助函数piecewise可以生成简单分段函数：

> abs(x)=piecewise(x>0,x,x=0,0,x<0,-x); x x 0 x

清除函数的定义用命令unassign.

> unassign(f);

> f(1,1); 0 < xx = 0 x < 0

f(1,1)

除此之外, 还可以通过程序设计方式定义函数(参见第6章).

定义了一个函数后, 就可以使用op或nops指令查看有关函数中操作数的信息. nops(expr)返回操作数的个数, 函数op的主要功能是获取表达式的操作数，其命令格式为：

op(expr);

op(i, expr);

op(i .. j, expr);

nops(expr);

如果函数op中的参数i是正整数，则op取出expr里第i个操作数, 如果i是负整数, 则其结果为op(nops(expr)+i+1, expr); 而i=0的情形较为复杂, 当expr为函数时, op(0, expr)返回函数名, 当expr为级数时, 返回级数的展开点(x-x0), 其它数据类型, op(0, expr)返回expr的类型.

命令op(i .. j, expr); 执行的结果是expr的第i到第j个操作数, i..j中含负整数时的情形同上. 命令op(expr); 等价于op(1..nops(expr), expr);

特别地, 当op函数中i为列表[a1, a2, ..., an], 则op([a1, a2, ..., an], expr); 等价于op(an, op(..., op(a2, op(a1, e))...));

而当expr为一般表达式时，nops(expr)命令返回的是表达式的项数, 当expr是级数时返回级数每一项的系数和指数的总和.

> expr:=6+cos(x)+sin(x)*cos(x)^2;

expr := 6 + cos(x) + sin(x)cos(x)2

> op(expr);

6,cos(x),sin(x)cos(x)2

> nops(expr);

3

> p:=x^2*y+3*x^3*z+2;

p := x2y + 3x3z + 2

> op(1,p);

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x2y

> op(1..nops(p),p);

x2y,3x3z,2

> op(op(2,p));

3,x3,z

> u:=[1,4,9];

u := [1,4,9]

> op(0,u);

list

> s:=series(sin(x),x=1,3);

1s := sin(1) + cos(1)(x 1) sin(1)(x 1)2 + O((x 1)3) 2

> op(0,s);

x 1

> nops(s);

8

下面一个有趣的例子说明了Maple在处理算术运算时的“个性”：

> op(x*y*z);

x,y,z

> op(x*y*z+1);

xyz,1

2.2.3 Maple中的常量与变量名

为了解决数学问题, 一些常用的数学常数是必要的. Maple系统中已经存储了一些数学常数在表达式序列constants中:

> constants;

false,γ,∞,true,Catalan,FAIL,π

为了方便使用, 现将上述常数的具体含义列示如下:

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∞ infinity

需要注意的是, 自然对数的底数e未作为一个常数出现, 但这个常数是存在的, 可以通过exp(1)来获取.

在Maple中, 最简单的变量名是字符串, 变量名是由字母、数码或下划线组成的序列, 其中第一个字符必须是字母或是下划线. 名字的长度限制是499个字符. 在定义变量名时常用连接符“.”将两个字符串连接成一个名. 主要有三种形式: “名.自然数”、“名.字符串”、“名.表达式”.

值得注意的是, 在Maple中是区分字母大小写的. 在使用变量、常量和函数时应记住这一点. 数学常量π用Pi表示, 而pi则仅为符号π无任何意义. 如g, G, new_term, New_Team, x13a, x13A都是不同的变量名.

在Maple中有一些保留字不可以被用作变量名:

by do done elif else end fi for

from if in local od option options proc

quit read save stop then to while D

Maple中的内部函数如sin, cos, exp, sqrt, ……等也不可以作变量名.

另外一个值得注意的是在Maple中三种类型引号的不同作用:

` `: 界定一个包含特殊字符的符号, 是为了输入特殊字符串用的;

' ': 界定一个暂时不求值的表达式;

" ": 界定一个字符串, 它不能被赋值.

2.2.4 函数类型转换

函数类型转换是数学应用中一个重要问题, 譬如, 将三角函数转换成指数函数, 双曲函数转换成指数函数, 等等. 在Maple中, 实现函数类型转换的命令是convert. 命令格式: convert(expr, form); ＃把数学式expr转换成form的形式

convert(expr, form, x); ＃指定变量x, 此时form只适于exp、sin、cos

convert指令所提供的三角函数、指数与函数的转换共有exp等7种:

(1) exp: 将三角函数转换成指数

(2) expln: 把数学式转换成指数与对数

(3) expsincos: 分别把三角函数与双曲函数转换成sin、cos与指数的形式

(4) ln: 将反三角函数转换成对数

(5) sincos: 将三角函数转换成sin与cos的形式, 而把双曲函数转换成sinh与cosh的形式

(6) tan: 将三角函数转换成tan的形式

(7) trig: 将指数函数转换成三角函数与对数函数

> convert(sinh(x),exp); #将sinh(x)转换成exp类型

1x11e x 22e

> convert(cos(x)*sinh(y),exp);

1 1(Ix) 1y11 e + e (Ix)y e e

> convert(cos(x)*sinh(y),exp,y);

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1y11 cos(x) e y 22e

> convert(exp(x)*exp(x^(-2)),trig);

1 1 (cosh(x) + sinh(x)) cosh + sinh x2 x2

> convert(arcsinh(x)*cos(x),expln);

1 1(Ix) 22 + eln(x + x + 1) (Ix) e

> convert(cot(x)+sinh(x),expsincos);

cos(x)1x11 + e x sin(x)22e

> convert(arctanh(x),ln);

11ln(x + 1) ln(1 x) convert在有理式的转换中也起着重要的作用. 在有关多项式运算的过程中, 利用秦九韶算法可以减少多项式求值的计算量. 在Maple中, 可以用函数convert将多项式转换为这种形式, 而cost则可以获取求值所需的计算量. 注意: cost命令是一个库函数, 第一次调用时需要使用with(codegen)加载. 例举如下:

> with(codegen):

> p:=4*x^4+3*x^3+2*x^2-x;

p := 4x4 + 3x3 + 2x2 x

> cost(p);

3additions + 9multiplications

> convert(p,'horner'); ＃将展开的表达式转换成嵌套形式

( 1 + (2 + (3 + 4x)x)x)x

> cost(%);

4multiplications + 3additions

同样, 把分式化成连分式(continued fraction)形式也可以降低求值所需的计算量.

> (1+x+x^2+x^3)/p;

1 + x + x2 + x3

234 x + 2x + 3x + 4x

> cost(%);

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6additions + 12multiplications + divisions

> convert(%%,'confrac',x);

14111x 441x 3 + 14

2920x + 7491x 1

7

> cost(%);

4divisions + 7additions

在某些场合下(比如求微分、积分时), 把分式化成部分分式(partial fraction)也就是几个最简分式的和式的形式也可以简化运算, 但简化程度不及连分数形式.

> convert(%%, 'parfrac',x);

13 + 4x + 5x2

1 + 2x + 3x2 + 4x3

> cost(%);

2divisions + 6additions + 9multiplications

而把分数转换成连分数的方法为：

> with(numtheory):

> cfrac(339/284);

1 + 5 + 16 +

2.2.5 函数的映射—map指令

在符号运算的世界里, 映射指令map可以说是相当重要的一个指令, 它可以把函数或指令映射到这些结构里的元素, 而不破坏整个结构的完整性. 命令格式为:

map(f, expr); ＃将函数f映射到expr的每个操作数

map(f, expr, a); ＃将函数f映射到expr的每个操作数, 并取出a为f的第2个自变量

map(f, expr, a1, a2,…, an); ＃将函数f映射到expr的每个操作数, 并取a1~an为f的第2~n+1个自变量 map2(f, a1, expr, a2, …, an); ＃以a1为第1个自变量, expr的操作数为第2个自变量, a2为

第3个自变量…, an为第n+1个自变量来映射函数f

> map(f,x1+x2+x3+x4,a1,a2,a3,a4);

f(x1,a1,a2,a3,a4) + f(x2,a1,a2,a3,a4) + f(x3,a1,a2,a3,a4) + f(x4,a1,a2,a3,a4)

> f:=x->sqrt(x)+x^2;

f := x → x + x2

> map(f,[a,b,c]); [a + a2,b + b2,c + c2]

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> map(h, [a,b,c],x,y);

[h(a,x,y),h(b,x,y),h(c,x,y)]

> map(convert,[arcsinh(x/2),arccosh(x/2)],ln);

ln 1x + 1x2 + 4 ,ln 1x + 12x 42x + 4

> map(x->convert(x,exp),[sin(x),cos(x)]);

1 -1 (Ix) (Ix)112 ,e + I e (Ix) (Ix) ee

上式的映射关系可通过下式理解： > [convert(sin(x),exp),convert(cos(x),exp)];

1 -1 (Ix) (Ix)11 ,e + I e (Ix) (Ix) ee

> restart:

map2(f,a1,x1+x2+x3+x4,a2,a3,a4);

f(a1,x1,a2,a3,a4) + f(a1,x2,a2,a3,a4) + f(a1,x3,a2,a3,a4) + f(a1,x4,a2,a3,a4)

> map2(max,k,[a,b,c,d]);

[max(a,k),max(b,k),max(c,k),max(k,d)]

再看下面示例:

> L:=[seq(i,i=1..10)];

L := [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]

> nops(L);

10

> sqr:=(x)->x^2;

sqr := x → x2

> map(sqr,L);

[1,4,9,16,25,36,49,64,81,100]

> map((x)->x+1,L);

[2,3,4,5,6,7,8,9,10,11]

> map(f,L);

[f(1),f(2),f(3),f(4),f(5),f(6),f(7),f(8),f(9),f(10)]

> map(f,{a,b,c});

{f(a),f(b),f(c)}

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/coue.html