高考数学专题复习：平行、垂直、线面垂直、线面角、二面角知识点

高考数学专题突破——空间几何

课题1：平行、垂直的证法定理

一、平行问题的证明方法 平行问题证明的基本思路：平面平行?线面平行?线线平行. 1、线线平行的证明方法： ①利用平面几何中的定理：三角形（或梯形）的中位线与底边平行； 平行四边形的对边平行； 利用比例、……； ②三线平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行； ③线面平行的性质定理：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线和交线平行； ④面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行； ⑤线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2、线面平行的证明方法： ①线面平行的定义：直线与平面没有公共点； ②线面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行； ③面面平行的性质定理：两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。 3、面面平行的证明方法： ①面面平行的定义：两平面没有公共点； ②面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 ③平行于同一平面的两个平面平行 ④垂直于同一直线的两个平面平行 二、垂直问题的证明方法 垂直问题证明的基本思路：面面垂直?线面垂直?线线垂直. 1.线线垂直的证明方法： ①利用平面几何中的定理：勾股定理、等腰三角形，三线合一、菱形对角线、直径所对的圆周角是直角、点在线上的射影。 ②线面垂直的定义：如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个平面内任意的直线都垂直； ③三垂线定理或三垂线逆定理：如果平面内的一条直线和斜线的射影垂直，则它和斜线垂直；反之亦成立。 ④如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也 垂直于这条直线。 2.线面垂直的证明方法： ①线面垂直的定义：直线与平面内任意直线都垂直； ②线面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面；

1

③线面垂直的性质定理：两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面； ④面面平行的性质定理：一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则必垂直于另一个平面； ⑤面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 3.面面垂直的证明方法： ①面面垂直的定义：两个平面的二面角是直二面角； ②面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个 平面互相垂直；

课题2：平行与垂直常用方法归纳

一、“平行关系”常见证明方法

（一）直线与直线平行的证明

1、利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2、利用三角形中位线性质

3、利用空间平行线的传递性（即公理4）：

平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4、利用直线与平面平行的性质定理：

a∥c?a∥bb∥c如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

a∥?a??β a

b

?a∥bα

????b5、利用平面与平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

?//???????a??a//b????b??

6、利用直线与平面垂直的性质定理：

垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a???a∥bb??2

a

b?

7、利用平面内直线与直线垂直的性质：

在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8、利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点

（二）直线与平面平行的证明

1、利用直线与平面平行的判定定理：

平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

a??b??a∥ba?a∥??b

2、利用平面与平面平行的性质推论：

两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。

a???∥??a∥?α

aβ

3、利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点

（三）平面与平面平行的证明

常见证明方法：

1、利用平面与平面平行的判定定理：

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

a??b??a∩b?Pa//?b//?3、利用定义：两个平面没有公共点

??//???baP

2、利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等

3

二、“垂直关系”常见证明方法

（一）直线与直线垂直的证明

1、利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。 2、看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直。 3、利用直线与平面垂直的性质：

如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。

a??

b??垂直。

?b?aα b

a

4、利用平面与平面垂直的性质推论：

如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相

???????la??b??a?lb?l5、利用常用结论：

β ?a?bb l α a

① 如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三条直线。

c a∥ba?c相垂直。 a???b?ca

b ② 如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互

b

a ?a?bα

b∥?（二）直线与平面垂直的证明

1、利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面等

2、看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面。 3、利用直线与平面垂直的判定定理：

4

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。

a??b??a?b?Al?al?b?????l?????lb?Aa

4、利用平面与平面垂直的性质定理：

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

???????la??a?l?????al?

5、利用常用结论：

① 一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。

baa∥b?a???b??

② 两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一个平面。

?∥?a????a??a?（三）平面与平面垂直的证明

1、利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等

2、看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就说这连个平面互相垂直。 3、利用平面与平面垂直的判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 ?aa??a??

?????

5

课题3：平行常用方法讲解

一、平行四边形法

【2016新课标Ⅲ理】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；

【解析】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG， ∵N为PC的中点， ∴NG∥BC，且NG=又AM=

，

，BC=4，且AD∥BC，

∴AM∥BC，且AM=BC，

则NG∥AM，且NG=AM，

∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG， ∵AG?平面PAB，NM?平面PAB， ∴MN∥平面PAB； 法二、

在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME， 在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=∵AD∥BC， ∴cos

，则sin∠EAM=

，

，

在△EAM中， ∵AM=

，AE=

，

=

，

由余弦定理得：EM=

∴cos∠AEM=，

而在△ABC中，cos∠BAC=，

6

∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC， ∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．

由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC， ∴NE∥PA，则NE∥平面PAB． ∵NE∩EM=E，

∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB； 【2016天津（理）】如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；

【解析】（1）证明：取AD的中点I，连接FI， ∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB， ∵G，I是中点，∴GI∥BD，GI=BD．

∵O是正方形ABCD的中心， ∴OB=BD． ∴EF∥GI，EF=GI， ∴四边形EFIG是平行四边形，∴EG∥FI， ∵EG?平面ADF，FI?平面ADF，∴EG∥平面ADF；

【2016四川（理）】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；

【解析】解：（I）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=AD， ∵BC=CD=AD，∴ED=BC，

∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD． ∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE， ∵BE?平面PBE，∴CM∥平面PBE， ∵M∈AB，AB?平面PAB，

∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE．

7

【2015福建理】如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．（1）求证：GF∥平面ADE；

解法一：（1）如图，取AE的中点H，连接HG，HD， ∵G是BE的中点，∴GH∥AB，且GH=AB， 又∵F是CD中点，四边形ABCD是矩形，

∴DF∥AB，且DF=AB，即GH∥DF，且GH=DF， ∴四边形HGFD是平行四边形，∴GF∥DH，

又∵DH?平面ADE，GF?平面ADE，∴GF∥平面ADE．

二、利用三角形中位线的性质

【2016江苏（理）】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；

【解析】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，

∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，∴AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，

∵A1C1?平面A1C1F，且DE?平面A1C1F， ∴DE∥A1C1F； 【2016天津（理）】如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；

8

【解析】（1）证明：取AD的中点I，连接FI， ∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB， ∵G，I是中点， ∴GI∥BD，GI=BD．

∵O是正方形ABCD的中心，∴OB=BD．∴EF∥GI，EF=GI， ∴四边形EFIG是平行四边形，∴EG∥FI， ∵EG?平面ADF，FI?平面ADF， ∴EG∥平面ADF； 【2015江苏理】——超易

如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；

【解析】根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC； 又因为DE?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C， 所以DE∥平面AA1C1C；

【2014课标全国Ⅱ 理】如图，四棱柱P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；

【解析】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO， ∵O为BD中点，E为PD中点， ∴EO∥PB，（2分）

EO?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）

9

【2013课标全国Ⅱ，理18】(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝

2AB.(1)证明：BC1∥平面A1CD； 2【解析】(1)连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点． 又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF. 因为DF?平面A1CD，BC1平面A1CD， 所以BC1∥平面A1CD

.

(4)利用对应线段成比例

【例1 】如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是SA、BD上的点，且

AMBN=， SMND求证：MN∥平面SDC

分析：过M作ME//AD，过N作NF//AD 利用相似比易证MNFE是平行四边形

三、利用面面平行

【2016山东（理）】在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；

【解析】证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH， ∵G、H为EC、FB的中点，

10

∴GQ又∵EF

，QH∥BO，∴GQ

， BO，

∴平面GQH∥平面ABC，

∵GH?面GQH，∴GH∥平面ABC．

【2014?北京理】如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.(1)求证：AB∥FG；

【解析】证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE. 又因为AB?平面PDE，所以AB∥平面PDE.

因为AB?平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG， 所以AB∥FG. 【2015?山东理】——也可用中位线

如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点． （Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；

【解析】（Ⅰ）证明：根据已知条件，BC=2EF，H为BC中点，EF∥BC；∴EF∥BH，且EF=BH； ∴四边形EFHB为平行四边形；∴BE∥HF，HF?平面FGH，BE?平面FGH；∴BE∥平面FGH； 同样，因为GH为△ABC中位线，∴GH∥AB；

又DE∥AB；∴DE∥GH；∴DE∥平面FGH，DE∩BE=E； ∴平面BDE∥平面FGH，BD?平面BDE；∴BD∥平面FGH； 19．（13分）（2015?安徽）如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F． （Ⅰ）证明：EF∥B1C；

（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B1的余弦值．

11

（Ⅰ）证明：∵B1C=A1D且A1B1=CD， ∴四边形A1B1CD为平行四边形， ∴B1C∥A1D，

又∵B1C?平面A1EFD， ∴B1C∥平面A1EFD，

又∵平面A1EFD∩平面B1CD1=EF， ∴EF∥B1C；

【2013山东，理18】如图所示，在三棱锥P－ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.(1)求证：AB∥GH；

【解析】(1)证明：因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点， 所以EF∥AB，DC∥AB.所以EF∥DC.

又EF平面PCD，DC?平面PCD， 所以EF∥平面PCD.

又EF?平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH， 所以EF∥GH.

又EF∥AB，所以AB∥GH.

课题4：垂直常用方法讲解

一、 应用勾股定理

如果一个三角形的边长满足a【例1】如图1所示，点

2?b2?c2，则这个三角形是直角三角形，可以得到线线垂直的关系.

P是梯形ABCD所在平面外一点，PD?平面ABCD，AB∥CD，已知

BD?2AD?8，AB?45.设M是PC上的一点,求证:BD?平面PAD.

PMDCA

图1

B

12

证明:∵PD?平面

ABCD,BD?平面ABCD∴BD?PD.

又∵BD?8,∴∠

AD?4,AB?45, ∴AD2?BD2?AB2,

ADB?90?,∴BD?AD

又∵PD?平面PAD,AD?PAD,PD?AD?D. ∴BD?平面PAD.

【2016新课标Ⅱ(理）】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB?5，AC?6，点E，

F分别在AD，CD上，AE?CF?（I）证明：D?H?平面ABCD；

5，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D?EF的位置OD??10. 4

【解析】⑴证明：∵AE?CF?AECF5?， ∴， ∴EF∥AC． ADCD4∵四边形ABCD为菱形， ∴AC?BD， ∴EF?BD， ∴EF?DH， ∴EF?D?H． ∵AC?6， ∴AO?3；

又AB?5，AO?OB，∴OB?4， ∴OH?222AE?OD?1， ∴DH?D?H?3， AO∴OD??OH?D'H， ∴D'H?OH． 又∵OHIEF?H， ∴D'H?面ABCD．

【2013天津理17】(本小题满分13分)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．(1)证明B1C1⊥CE；

【解析】 (1)证明：因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1，B1C1?平面A1B1C1D1， 所以CC1⊥B1C1.

经计算可得B1E＝5，B1C1＝2，EC1＝3，

22从而B1E2＝B1C1?EC1，

所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E，

又CC1，C1E?平面CC1E，CC1∩C1E＝C1， 所以B1C1⊥平面CC1E，

又CE?平面CC1E，故B1C1⊥CE.

【2012课标理】如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=（1）证明：DC1⊥BC；

13

1AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD。 2C1B1A1D

【解析】（1） 设AC=1,则BC=1，A A1=2,CC1=2 DC=2,DC1=2 ∴DC2+DC12=CC12

∴DC1?DC。

又DC1⊥BD，DCBD?D，

所以DC1?平面BCD。

而BC?平面BCD，所以DC1?BC。

【2011大纲理】如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；

【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1 ∴AD=

=

∵侧面SAB为等边三角形，AB=2 ∴SA=2

∵SD=1 ∴AD=SA+SD∴SD⊥SA 同理：SD⊥SB

∵SA∩SB=S，SA，SB?面SAB ∴SD⊥平面SAB

2

2

2

二、 应用等腰(等边)三角形三线合一

所谓三线合一是等腰三角形底边的中线同时是高和角分线,可以得到线线垂直,从而线面垂直

O所在平面，AB是O的直径，C是O的圆周上异于A、B的任意一点，且PA?AC，点E是线段PC的中点.求证：AE?平面PBC.

证明：∵PA?O所在平面，BC是O的弦，∴BC?PA.

又∵AB是O的直径，?ACB是直径所对的圆周角，∴BC?AC.

【例】如图2所示，已知PA垂直于 ∵PA ∴BCP E AC?A,PA?平面PAC，AC?平面PAC.

?平面PAC，AE?平面PAC，∴AE?BC. ∵PA?AC，点E是线段PC的中点.∴AE?PC. 图2 C ∵PCBC?C,PC?平面PBC，BC?平面PBC. ∴AE?平面PBC.

此题利用AE三线合一是解题的关键,在遇到线段的中点时,要注意向三角形的三线合一转化.同时应用了圆的直径所

对的圆周角是直角这个重要的结论.

A O B

【2016浙江（理）】——难

如图，在三棱台ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3， （Ⅰ）求证：EF⊥平面ACFD；

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【解析】（I）证明：延长AD，BE，CF相交于点K，如图所示，∵平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°， ∴AC⊥平面BCK，∴BF⊥AC．

又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2，∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK， ∴BF⊥平面ACFD．

【2015北京理】如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．

【解析】（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点， ∴AO⊥EF，

∵平面AEF⊥平面EFCB，AO?平面AEF， ∴AO⊥平面EFCB ∴AO⊥BE． 【2015?重庆理】如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=BC上的点，且CD=DE=

，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD

．D，E分别为线段AB，

【解析】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABC，DE?平面ABC，∴PC⊥DE， ∵CE=2，CD=DE=，∴△CDE为等腰直角三角形， ∴CD⊥DE，∵PC∩CD=C，

DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，∴DE⊥平面PCD

【2013课标全国Ⅰ理18】(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；

【解析】证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B. 因为CA＝CB，所以OC⊥AB. 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，

故△AA1B为等边三角形， 所以OA1⊥AB.

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