几何中的蝴蝶定理

几何中的蝴蝶定理

几何之蝴蝶定理

一、 基本知识点

模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系：

即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。

b

S1︰S2 =a︰b ； 模型一的拓展： 等分点结论（“鸟头定理”）

如图，三角形AED占三角形ABC面积的

211

×= 346

模型二：任意四边形中的比例关系 （我们把它称作蝴蝶定理）

As2

B

D

s1S3

C

S4

①S1︰S2=S4︰S3 或者S1×S3=S2×S4 ②AO︰OC=（S1+S2）︰（S4+S3）

模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）

几何中的蝴蝶定理

as1s2

S3b

S4

①S1︰S3=a︰b

22

②S1︰S3︰S2︰S4= a︰b︰ab︰ab ;

2

③S的对应份数为（a+b）模型四：相似三角形性质

22

bB

ha

cCH

ah

c

BHA

A

①

abch

; ABCH

2

2

②S1︰S2=a︰A

二、 例题分析

例1、如图，AD DB，AE EF FC，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC的面积是多少平方厘米？

例2、有一个三角形ABC的面积为1，如图，且AD 三角形DEF的面积.

A

111

AB，BE BC，CF CA，求234

D

例3、如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，

B

E

F

C

E为

几何中的蝴蝶定理

AB上的一点，且BE=

1

AB,已知四边形EDCA的面积是35，求三角形ABC的面积. 3

例4、例1 如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米）

例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）

例6、如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

几何中的蝴蝶定理

例7、（小数报竞赛活动试题）

如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB

面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？

例8、如图：在梯形ABCD中，三角形AOD的面积为9平方厘米，三角形BOC的面积为25平方厘米，求梯形ABCD的面积。

A

925

B

C

D

例9、（2003北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛）

四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O（如图）所示。

几何中的蝴蝶定理

如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的

1

，且 3

AO 2，DO 3，那么CO的长度是DO的长度的_________倍。

例10、左下图所示的ABCD的边BC长10cm，直角三角形BCE的直角边EC长8cm，已知

2

两块阴影部分的面积和比△EFG的面积大10cm，求CF的长。

例11、长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，H为AD边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？

例12、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部

分的面积。

例13、如图，大正方形ABCD的边长为6，依以下条件求三角形BDF的面积。

几何中的蝴蝶定理

例14、（右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？

例15、如下图，已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且 ADG的面积比

? EFG的面积大6平方厘米。 ABC的面积是多少平方厘米

A

FG

B

D

E

C

三、 练习题

1、如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少？

几何中的蝴蝶定理

2、如图所示，BD，CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4 cm，△CED的面积是6cm。问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？

2

2

3、如右图BE=

11

BC，CD=AC，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的______. 34

A

D

B

C

E

5、如图所示，已知ABCD是长方形，AE : ED = CF : FD = 1 : 2，三角形DEF的面积是16平方厘米，求三角形ABE的面积是多少平方厘米？

几何中的蝴蝶定理

6、 如右图，ABCD是梯形，ABED是平行四边形，己知三角面积如下图所示(单位：平方

厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米。

7、正方形ABFD的面积为100平方厘米，直角三角形ABC的面积，比直角三角形（CDE的面积大30平方厘米，求DE的长是多少？

8、 已知 ABC中，AB AC 12cm， ABC的面积是

AB,AC的距离是x,y，那么x y

cm2，P是BC上任意一点，P到

B

9、如右图所示，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB；延长BC至E，使CE=2BC；延长CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积。

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