概率论答案 - 李贤平版 - 第一章

《概率论》计算与证明题 32

第一章 事件与概率

1、若A，B，C是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)ABC?A；(2)A?B?C?A；(3)AB?C；

(4)A?BC.

2、试把A1?A2???An表示成n个两两互不相容事件的和．

3、若A，B，C，D是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A，B都发生而C，D都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。

123nn?14、证明下列等式：（1）Cn； ?2Cn?3Cn???nCn?n2123n?1n?2Cn?3Cn???(?1)nCn?0； （2）Cna?r?r（3）?Cak?rCbk?Caa?. bk?05、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。

6、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。

7、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。

8、在一个装有n只白球，n只黑球，n只红球的袋中，任取m只球，求其中白、黑、红球分别有

m1,m2,m3(m1?m2?m3?m)只的概率。

9、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。

10、由盛有号码1,2,?，N的球的箱子中有放回地摸了n次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。

11、任意从数列1,2,?，N中不放回地取出n个数并按大小排列成：x1?x2???xm???xn，试求xm?M的概率，这里1?M?N。

12、从6只不同的手套中任取4只，问其中恰有一双配对的概率是多少？

13、从n双不同的鞋子中任取2r(2r

《概率论》计算与证明题 33

14、袋中有n只球，记有号码1,2,?,n，求下列事件的概率：（1）任意取出两球，号码为1,2；（2）任意取出3球，没有号码1；（30任意取出5球，号码1,2,3,中至少出现一个。

15、袋中装有1,2,?,N号的球各一只，采用（1）有放回；（1）不放回方式摸球，试求在第k次摸球时首次摸到1号球的概率。

16、甲有n+1个硬币，乙有n个硬币，双方投掷之后进行比较，求早掷出的正面比乙掷出的正面多的概率。

17、一颗骰子投4次至少得到一个六点，与两颗骰子投24次至少得到一个双六这两件事，哪一个有更多的机会遇到？

18、从52张扑克牌中任意抽取13张来，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张草花的概率。 19、桥牌游戏中（四人各从52张纸牌中分得13张），求4张A集中在一个人手中的概率。

20、在扑克牌游戏中（从52张牌中任取5张），求下列事件的概率：（1）以A打头的同花顺次五张牌；（2）其它同花是非曲直次五比重牌；（3）有四张牌同点数；（4）三张同点数且另两张也同点数；（5）五张同花；（6）异花顺次五张牌；（7）三张同点数；（8）五比重中有两对；（9）五张中有一对；（10）其它情况。

21、某码头只能容纳一只船，现预知某日将独立来到两只船，且在24小时内各时刻来到有可能性都相等，如果它们需要停靠的时间分别为3小时及4小时，试求有一船要在江中等待的概率。 22、两人约定于7点到8点在某地会面，试求一人要等另一人半小时以上的概率。 23、设A1,A2,?,An是随机事件，试用归纳法证明下列公式：

nP(A1?A2???An)??P(A)??P(Aii?1n?j?i?1iAj)???(?1)n?1P(A1A2?An)。

24、考试时共有N张考签，n个学生参加考试(n?N)，被抽过的考签立刻放回，求在考试结束后，至少有一张考签没有被抽过的概率。

25、甲，乙丙三人按下面规则进行比赛，第一局由甲，乙参加而丙轮空，由第一局的优胜者与丙进行第二局比赛，而失败者则轮空，比赛用这种方式一直进行到其中一个人连胜两局为止，连胜两局者成为整场比赛的优胜者。若甲，乙，丙胜每局的概率各为1/2，问甲，乙，丙成为整场比赛优胜者的概率各是多少？

26、给定p?P?A?,q?P?B?,r?P?A?B?，求P?AB?及P?AB?。

27、已知：P?AB??P?A?P?B?,C?AB,C?AB，证明：P(AC)?P(A)P(C)。 28、（1）已知A1与A2同时发生则A发生，试证：P(A)≥P(A1)?P(A2)－1

（2）若A1A2A3?A，试证：P(A)≥P(A1)?P(A2)?P(A3)-2 29、利用概率论的想法证明下列恒等式：

《概率论》计算与证明题 34

1?A?aA?1?(A?a)(A?a?1)(A?1)(A?2)???(A?a)?2?1(A?1)?(a?1)a?Aa

其中A，a都是正整数，且A?a。

30、证明?的一切子集组成的集类是一个??域。 31、证明：??域之交仍为??域。

32、向边长为 a 的正方形由任意投一点，求此点正好落在对正方形对角形上的概率?

33、在10只电子表中有2只是次品，现从中不放回的连续抽取两次，每次抽取一只，求正好抽到一个

是正品，一个是次品的概率? 34、在5双不同的鞋中任取4双，求至少能配成一双的概率? 35、在整数0至9中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少?

36、两人相约于7点到8点间在某地相会，约定先到者等候另一人20分钟,过时离去，试求这两人能会

面的概率是多少? 37、有10个电阻，其电阻值分别为1?,2?,?,10? ，从中取出三个，要求取出的三个电阻，一个小于

5?,一个大于5?,另一个等于5?，问取一次就能达到要求的概率。

38、两船欲靠同一码头，设两船独立地到达，而且各自到达时间在一昼夜间是可能的，如果此两船在码

头停留的时间分别是1及2小时，试求一船要等待空出码头的概率。 39、任意取两个正的真分数，求它们的乘积不大于1/4的概率。 40、在区间(0,1)中随机取两数，求两数之和小于1.2的概率。 41、设3个事件A，B，C，满足AB??，求P(A?B?C)。

42、某城市中发行2种报纸A，B。经调查，在这2种报纸的订户中，订阅A报的有45%，订阅B报的

有35%，同时订阅2种报纸A，B的有10%。求：（1）只订A报的概率；（2）只订1种报纸的概率。 43、从1,2,3,4,5五个数码中，任取3个不同数码排成三位数，求：（1）所得三位数为偶数的概率；（2）

所得三位数为奇数的概率。

44、电话号码由6个数字组成，每个数字可以是0,1,2,?,9中的任一个数（但第1个数字不能为0），求

电话号码由完全不相同的数字组成的概率。

45、袋中有5个白球和3个黑球。从中任取2个球，求：（1）取得的2个球同色的概率；（2）取得的2个球至少有1个是白球的概率。 46、证明： P(AB)?P(AC)-P(BC) ?P(A)

47、证明：包含一切形如(??,x)的区间的最小??域是一维波雷尔??域。

《概率论》计算与证明题 35

第一章 解答

1、解：（1）ABC?A?BC?A(ABC?A显然)?B?A且C?A，若A发生，则B与C必同时发生。

（2）A?B?C?A?B?C?A?B?A且C?A，B发生或C发生，均导致A发生。 （3）AB?C?A与B同时发生必导致C发生。

（4）A?BC?A?B?C，A发生，则B与C至少有一不发生。

2、解：A1?A2???An?A1?(A2?A1)???(An?A1???An?1)

(或)＝A1?A2A1???AnA1A2?An?1．

3、解：（1）{至少发生一个}=A?B?C?D.

（2）{恰发生两个}=ABCD?ACBD?ADBC?BCAD?CDAB?BDAC. （3）{A，B都发生而C，D都不发生}=ABCD. （4）{都不发生}=ABCD?A?B?C?D.

（5）{至多发生一个}=ABCD?ABCD?BACD?CABD?DABC

?AB?AC?AD?BC?BD?CD.

n122nn4、解：（1）因为(1?x)?1?Cnx?Cnx???nCnx，两边对x求导得

n(1?x)n?1?Cn?2Cnx???nCnx12nn?1，在其中令x=1即得所欲证。

（2）在上式中令x=-1即得所欲证。

a?rb?rkb?k（3）要原式有意义，必须0?r?a。由于Ca?b?Ca?b,Cb?Cb，此题即等于要证

a?Ck?0k?raCbb?k?Ca?b,0?r?a.利用幂级数乘法可证明此式。因为

ba?bb?r(x?1)(x?1)?(x?1)a，比较等式两边xb?r的系数即得证。

5、解：P?A6A5A5/A11?1113533?0.15

6、解：（1）第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以

《概率论》计算与证明题 36

p?2?4!/5!?2/5

（2）可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边，

剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以 p?2?3!/5!?1/10

（3）p?P{第一卷出现在旁边}+P{第五卷出现旁边}-P{第一卷及第五卷出现在旁

2525110710边}=???.

（4）这里事件是（3）中事件的对立事件，所以 P?1?7/10?3/10

（5）第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以P?1?4!/5!?1/5

7、解：末位数吸可能是2或4。当末位数是2（或4）时，前两位数字从剩下四个数字中选排，所以

P?2?A4/A5?2/5

23

8、解：P?Cn1Cn2Cnmmm3/3C3n

m

9、解：P{两球颜色相同}=P{两球均白}+P{两球均黑}+P{两球均红}

?325?1025?725?625?1525?925?207625?0.33.

10、解：若取出的号码是按严格上升次序排列，则n个号码必然全不相同，n?N。N个不同号码可产

生n!种不同的排列，其中只有一个是按严格上升次序的排列，也就是说，一种组合对应一种严格上升排列，所以共有CN种按严格上升次序的排列。总可能场合数为N，故题中欲求的概率为

P?CN/N.

nnnn

11、解：因为不放回，所以n个数不重复。从{1,2,?,M?1}中取出m-1个数，从{M?1,?N}中取出

n?m个数，数M一定取出，把这n个数按大小次序重新排列，则必有xm?M。故

P?CM?1C1CN?M/CN。当M?1?m?1或N?M?n?m时，概率P?0.

m?11n?mn

12、解：有利场合是，先从6双中取出一双，其两只全取出；再从剩下的5双中取出两双，从其每双中

取出一只。所以欲求的概率为P?C6C2C5C2C2/C12?1221141633?0.48

13、解：（1）有利场合是，先从n双中取出2r双，再从每双中取出一只。

P?Cn(C2)

2r12r/C2n,2r(2r?n)

《概率论》计算与证明题 42

P(A)?P(A1A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?1.

（2）A?A1A2A3，两次利用（1）的结果得

P(A)?P((A1A2)A3)?P(A3)?P(A1A2)?1

?P(A3)?1?P(A1)?P(A2)?1?P(A1)?P(A2)?P(A3)?2

.

29、证：设袋中有A个球，其中a个是白球，不还原随机取出，第k次才首次取得白球的概率为

Pk?AA?aAaAAkk?11?a(A?a)(A?a?1)?(A?a?k?2)A(A?1)(A?2)?(A?k?1) (k?1,2,?,A?a?1).

因为袋中有a个白球，A?a个黑球，若一开始总是取到黑球，直到把黑球取完为止，则至迟到第A?a?1次一定会取到白球；也就是说，第一次或第二次?或至迟到第A?a?1次取得白球事件是必然事件，其概率为1。所以

1?p1?p2???pA?a?1?AaaA?a(A?a)A(A?1)???a(A?a)?2?1A(A?1)?(a?1)a

等式两边同乘以得

A?aA?1(A?a)(A?a?1)(A?1)(A?2)(A?a)?2?1(A?1)?(a?1)aAa1??????.

30、证：记F={?的一切子集}

（i）?是?的子集，所以??F。

(ii) 若A?F，则A是?的子集，??A也是?的子集，所以A???A?F。

(iii)Ai(i?1,2,?)?F，当然有??Ai,i?1,2,?。任一????，从而????Aii。必有某一Ai，使??Ai，所以。

?iAii，即?iAi也是?的一个子集，故?iAiii?F∴F是??域。

?域，记F?31、证：设Ft(t?T)是??Ft?Tt.

(i) ??每一Ft，所以???t?TFt，即??F.

?(ii) A?F，则A?每一Ft，由Ft是?域得A?每一Ft，所以At?T??Ft，从而A?F.

(iii) Ai(i?1,2,?)?F，则诸At必属于每一Ft，由于Ft是??域，所以?iAi?每一Ft，即

?Aii??Ft?Ft?T.

《概率论》计算与证明题 43

∴f是?

?域。

32、解： 由于点落入正方形是等可能的，此属几何概型S??a2,事件A={点落于两条对角线上了的测

度SA?0, 故P(A)=

SAS??0

33、解: 由于此时样本点总数是90 ,有利场合数是32 ∴所求概率P?434、解：记 A?{选取的样品至少配成一双}，由于样品总数是C10

1645

?A的有利场合数是C5C2C8?p(A)?1?P(A) P(A)?1411821?13?210.6 1 9

35、解：从0至9 中任取4个数进行排列共有10×9×8×7种排法. 其中有（4×9×8×7－4×8×7＋9×8×7）种能成4位偶数. 故所求概率P?

36、解：以X,Y分别表示两人到达的时刻,

则(X,Y)可能取值范围是G??(X,Y):0?X?60,0?Y?60? 则两人能会面的范围g??(X,Y):|X?Y|?20,X?0,Y?0? 故能会面的概率P=

?10?37、解：从10个电阻中取三个电阻的取法有??种取法

?3?4?9?8?7?4?8?7?9?8?710?9?8?7?4190

g的面积G的面积?60?4060222?59

?4??1??5??4??1??5??10?1满足要求的取法有 ??????种取法 ， 故所求概率 P???????/???

?1??1??1??3?6?1??1??1?

38、解：设 二船到达的时刻为x,y，则 x,y一切可能取值

G??(x,y):0?x?24;0?y?24? (得2分)

所求值：g?{(x,y)?G,y?x?1,x?y?2

所求概率 p=

g的面积G的面积?0.121

《概率论》计算与证明题 44

39、解：设x及y为所取的正的真分数，则???(x,y);0?x?1,0?y?1?;

1??A??(x,y);xy?,0?x?1,0?y?1?，故P(A)?4??14??11414xdx?141?14ln4?0.597

40、解：设此二数为x,y,则??{(x,y);0?x?1,0?y?1} A?{(x,y):x?12y?1.2,?0x? 1?,0y?1??0.8?0.81?0.68

故P(A)?在区间(0,1)中随机取两数，求两数之和小于1.2的概率。

41、解：P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)

?P(A)?P(B)?P(C)?P(?)?P(AC)?P(BC)?P(?) ?P(A)?P(B)?P(C)?P(AC)?P(BC)

42、解：（1）记事件A={订阅A报}， B={订阅B报}，则{只订阅A报}可表示为A?B?A?AB。因

AB?A，故P(A?B)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?0.45?0.1?0.35。

（2）{只订1种报}=(A?B)?(B?A)?AB?BA，要把A?B,B?A分别表示为A?AB，

B?AB。又这2个事件是互不相容的，由概率加法公式，有

p?P(A?AB)?P(B?AB)?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB) ?0.45?0.1?0.35?0.1?0.6

43、解：（1）三位数总的排法是A5种。排得偶数要求末位数是偶数，即2或4，余下的4个数任取2个

排列。因此，排得偶数的情况种数是2A种，故p1?3A4A5322432A4A352?2?4?35?4?3?0.4。

（2）同（1）作类似的分析，知p2??3?4?35?4?3?0.6。

注：此题也可以这样分析：{所得三位数是偶数}={三位数末位数是偶数}，又{所得三位数是奇数}={三位数末位数是奇数}。从而p1?

44、解：因第1个数字不能为0，故6位电话号码的数字情况总数N?9?10个，其中完全由不同数字

525?0.4,p2?35?0.6

《概率论》计算与证明题 45

组成的情况数为M?9?9?8?7?6?5?136080（个）。所以p?

136080900000?0.1512。

45、解：（1）从8个球中任取2个的取法总数为C82?28种。取得的2个球为同色，分为两种情况：2

个球皆为白色或2个球皆为黑色。这两种情况各有C52,C32种，故取得2个球同色的情况数为

C5?C3?13种，所以p1?221328?0.4643。

此题也可以这样解：A1?{取得的2个球皆为白色}，A2?{取得的2个球皆为黑色}，A?{取得的2个同色}。A1,A2互不相容，且A?A1?A2，而P(A1)?故

p1?P(A)?1028?328?1328?0.4643

C5C228?1028,P(A2)?C3C228?328，

（2）令A?{取得的2个球至少有1个白球}，则A?{取得的2个球皆为黑球}，故

p2?P(A)?1?P(A)?1?C3C822?1?328?2528?0.8929

46、证：P(AB)?P(AC)-P(BC)?p(AB?AC)?P(ABC)?P(BC)

?P(A)?P(BC)?P(BC)?P(A)

47、证：一维波雷尔?区间类产生的??域B?m?[a,b)?是由左闭右开区间灶产生的??域，B?M?(??,x)?是由形如(??,x)~?域。

因为 [a,b)?(??,b)?(??,a)

等式左边是B中两个集的差，由此知B包含一切形如[a,b)的集，而B是由一切形如[a,b)的集类产生的?~?域，所以B?B~~。

?又由于

(??,x)??n?1[x?n,x?n?1)，

~?B等式右边是B中集的可列并，由此知B包含一切形如(??,x)的集，与上段同理得B∴B

~?B.

.

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