14-4动力学普遍定理的综合应用

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§14-4 14-

动力学普遍定理的综合应用

动量定理、动量矩定理和动能定理统称为动力学普遍定理。 动量定理、动量矩定理和动能定理统称为动力学普遍定理。 动力学普遍定理是求解动力学问题的基本方法。 动力学普遍定理是求解动力学问题的基本方法。动力学普遍定理 的综合应用是根据问题的条件， 的综合应用是根据问题的条件，合理地选择其中的一个定理或选 用两个以上定理联合求解。 用两个以上定理联合求解。 1.动量定理：可求质点速度v和加速度a 刚体质心速度v 1.动量定理：可求质点速度v和加速度a、刚体质心速度vC和质心 动量定理 加速度a 动或静滑动摩擦力、绳的拉力、固定铰支座约束反力。 加速度aC、动或静滑动摩擦力、绳的拉力、固定铰支座约束反力。 不能求角速度ω 角加速度α 不能求角速度ω、角加速度α。 2.动量矩定理 可求刚体角速度ω和角加速度α 质点速度v 动量矩定理： 2.动量矩定理：可求刚体角速度ω和角加速度α,质点速度v和 加速度a, 绳的拉力，不能求固定铰支座约束反力。 加速度a, 绳的拉力，不能求固定铰支座约束反力。 3.动能定理 可求质点速度v和加速度a 刚体质心速度v 动能定理： 3.动能定理：可求质点速度v和加速度a、刚体质心速度vC和质心 加速度a 角速度ω 角加速度α 动滑动摩擦力， 加速度aC 、角速度ω、角加速度α、动滑动摩擦力，不能求静滑 动摩擦力、绳的拉力、固定铰支座约束反力 。 动摩擦力、绳的拉力、返回上级菜单

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匀质细直杆OA G=100N, =4m OA重 =4m, 匀质细直杆OA重G=100N,长l=4m, 例1: :

BO处为光滑铰链，A端用刚度系数 处为光滑铰链， k=20N/m的弹簧连于B k=20N/m的弹簧连于B点，如图所示。 的弹簧连于 如图所示。

k 3m A

此时弹簧无伸长。当杆在铅垂位置时， 此时弹簧无伸长。当杆在铅垂位置时， 施加矩M=20N.m 的力偶作用， 施加矩M=20N.m 的力偶作用，使杆从 静止开始作转动，求杆转到水平位置 静止开始作转动，

4m M O

A'

时O处的反力。 处的反力。

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求杆OA OA的 ( 解： 1)求杆OA的ω 杆OA在铅垂位置时动能 OA在铅垂位置时动能 杆OA在水平位置时动能 OA在水平位置时动能T2 = 1 1 1 J Oω 2 = ml 2 ω 2 2 2 3 1 100 2 = × × 4 × ω 2 = 27.2ω 2 ( J ) 6 9.8T1 = 0

B k 3m A 4m G O A' XO YO F A' M

杆OA在运动过程中所有力作的功 OA在运动过程中所有力作的功l k π 2 O W12 = G × + × 0 ( 7 5 ) + M × ∑ 2 2 2 XO 20 π = 100 × 2 × 4 + 20 × = 191.4 ( J ) YO 2 2

G

M

ω

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T1 = 0

T2 = 27.2ω12

2

(J )A

B k 3m 4m G M

∑W

=191.4 ( J )

根据质点系的动能定理

T2 T1 = ∑ W 12可得

O A' XO YO G O XO YO M ω F A'

27.2ω = 191.42

解得

ω = 2.65rad / s

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(2)求杆OA的α 求杆OA OA的 杆OA在水平位置时受到的弹性 OA在水平位置时受到的弹性 力的大小为

G O XO YO M ωα

F = 20 × 2 = 40 N应用刚体定轴转动微分方程

F A'

J Oα = ∑ mO

( )uuv Fe

1 2 l ml α = G × + M Fl 得 3 2l 4 G × + M Fl 100 × + 20 40 × 4 2 2 α= = = 1.1rad / s 2 1 2 1 100 2 ml × ×4 3 3 9.8

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ω = 2.65rad / s

α = 1.1rad / s 2

y G O

(3)求反力X0、Y0 求反力X

a cnα

F A' x

杆OA在水平位置时，其质心 OA在水平位置时， 在水平位置时 加速度

XO YO M

a ctω τ

l 4 acτ = α = ×1.1 = 2.2m / s 2 2 2 l 2 4 acn = ω = × 2.652 = 14.0m / s 2 2 2由质心运动定理，得 由质心运动定理，

解得： 解得：

100 X O = macn = × 14 9.8 = 142.9 N ( ← )

macx = macn = X Omacy = macτ = YO G + F

YO = G F macτ 100 = 100 40 × 2.2 9.8 = 37.6 N ( ↑ )

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如图所示系统中，滚子A和定滑轮B都是半径为r 如图所示系统中，滚子A和定滑轮B都是半径为r的匀 例2: : 质圆盘，重量均为P 重物C重为P 当滚子沿倾角为θ 质圆盘，重量均为P1 ;重物C重为P2 。当滚子沿倾角为θ 的斜面向下作纯滚动时，试求： 的斜面向下作纯滚动时，试求： 滚子A质心的加速度； (1)滚子A质心的加速度； B r 两段绳子的拉力； (2)两段绳子的拉力； (3)滑轮轴承处的反力； 滑轮轴承处的反力； A C 滚子A和斜面的摩擦力F (4)滚子A和斜面的摩擦力F, 至少为多少？ 静摩擦系数 f s至少为多少？ θ

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(1)求滚子A (1)求滚子A质心的加速度 求滚子 以整个系统为研究对象 解： 受力分析 vA 运动分析 ω A = ω B = 开始静止时动能

r T1 = 0

vC = v AωA

P1 B r S XB P1 YB A C VA F θ N S

ωB

VC P2

滚子质心A沿斜面下降距离 滚子质心A S时的系统动能为

1P 2 1 1 1 P2 2 2 2 1 T2 = vA + J Aω A + J Bω B + vC 2 g 2 2 2 g

1P 2 1 r 其中 J A = J B = 2 g

1 2 = 2 P + P2 ) v A ( 1 2g

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T2 =

1 2 ( 2 P1 + P2 ) vA 2gP1 B r S XB P1 YB

作用于系统上的力所作的功为

ωB

∑W得

12

= P S sin θ P2 S 1T2 T1 = ∑ W 12

ωAA Ssinθ VA θ F N S P2 C VC

根据动能定理

1 2 ( 2 P1 + P2 ) vA = ( P1 sin θ P2 ) S 2g

将上式对时间t 将上式对时间t求导 1 dv dS 2 P + P2 ) × 2v A A = ( P sin θ P2 ) ( 1 1 2g dt dtdS = vA 注意： 注意： dt dv A = aA dt

∴ aA =

P sin θ P2 1 g 2 P + P2 1

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P sin θ P2 aA = 1 g 2 P + P2 1

y(2)求物C上绳的拉力T1 求物C上绳的拉力T 取物C 取物C为研究对象 受力分析 运动分析

T1 C

aC = a AC

由动力学基本方程，得 由动力学基本方程，

P2 ac = T1 P2 g

P2

a A P2 P ( 2 + sin θ ) P2 1 ∴T1 = ac + P2 = P2 1 + = g g 2 P + P2 1

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(3)求滚子A上绳的拉力T2和轴承B处的反力XB、YB 求滚子A上绳的拉力T 和轴承B

处的反力X 取定滑轮B 取定滑轮B为研究对象 受力分析 运动分析

aA αB = re B

θ

由 J Bα B = M

T2得

P1 B r YB

αBx T1

XB

1 P 2 aA 1 r = T2 r T1r 2 g r

解得

P P2 ( 3 + 2sin θ ) + P sin θ 1P 1 1 1 T2 = T1 + aA = 2 g 2 ( 2 P + P2 ) 1

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根据质心运动定理 并注意质心的加速度 得

MaBx = ∑ Fx e

MaBy = ∑ Fy e

aB = 0θ

0 = X B T2 cos θ 0 = YB T1 T2 sin θ P 1

T2 XB

P1 B r YB

αBx T1

解得

X B = T2 cosθ = P P2 ( 3 + 2sin θ ) + P sin θ 1 1 2 ( 2 P + P2 ) 1 cos θ

YB = T1 + T2 sin θ + P 1

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4)求滚子A和斜面的摩擦力F和摩擦系数的最小值 fsmin 求滚子A和斜面的摩擦力F 取滚子A 取滚子A为研究对象 受力分析 运动分析

aA αA = r

x' θ P1

αAA y'A

T2 F N

建立相对质心的转动微分方程

J Aα A = F r

1 P 2 aA 1 r = F r r 2g 1P 1 P sin θ P2 1 1 F= aA = P 1 2 g 2 2 P + P2 1

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1 P sin θ P2 1 F= P 1 2 2 P + P2 1

x' θ P1

由

∑ Fx ' = 0N = P cos θ 1

得

αAA y'A

T2 F N

Ff max = f s N = f s P cos θ 1Q Ff max ≥ F

1 P sin θ P2 1 ∴ f s P cos θ ≥ P 1 1 2 2 P + P2 1 P sin θ P2 P sin θ P2 1 1 ∴ f s min = fs ≥ 2 ( 2 P + P2 ) cos θ 2 ( 2 P + P2 ) cos θ 1 1续

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习题( 习题(P341例14.11) 例 )如图所示系统中，滚子A和定滑轮B都是半径为r 如图所示系统中，滚子A和定滑轮B都是半径为r的 匀质圆盘，重量均为P 重物C重为P 匀质圆盘，重量均为P1 ;重物C重为P2 。当滚子沿 倾角为θ的斜面向下作纯滚动时，试求： 倾角为θ的斜面向下作纯滚动时，试求： 滚子A质心的加速度； (1)滚子A质心的加速度； 两端绳子的拉力； (2)两端绳子的拉力； 滑轮轴承处的反力； (3)滑轮轴承处的反力； A (4)滚子A和斜面的摩擦力F, 滚子A和斜面的摩擦力F 至少为多少？ (5)静摩擦系数 f s至少为多少？ θ

B

r

C

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例3 : 图示三棱柱A沿三棱柱B 图示三棱柱A沿三棱柱B 的光滑斜面滑动， 的光滑斜面滑动，A和B各重 三棱柱B P和Q, 三棱柱B的斜面与水 平面成α 平面成α角。如开始时物系 静止， 求运动时三棱柱B 静止， 求运动时三棱柱B的 加速度。忽略摩擦。 加速度。忽略摩擦。

A B

α

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解： 以两三棱柱为质点系 受力分析 运动分析 v Ax = vr cos α vB 由受力分析可知

v Ay = vr sin α

A Vr VB Q o y B N h

∑ Fx = 0

αx

∴ ∑ px = 0

Q P vB + ( vr cos α vB ) = 0 g g开始时物系静止， 开始时物系静止，

vr

( P + Q ) vB =P cos α

(1)

T1 = 02 vB ( P + Q ) ( Q + P sin 2 α )

三棱柱A沿三棱柱B的光滑斜面下滑高度为h 三棱柱A沿三棱柱B的光滑斜面下滑高度为h时1Q 2 1 P 2 2 T2 = vB + ( vr sin α ) + ( vr cos α vB ) = 2g 2g 2 gP cos 2 α

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vr

( P + Q ) vB =P cos α

(1)

T2 =

2 vB ( P + Q ) ( Q + P sin 2

α )

2 gP cos 2 α

作用在系统上所有力所作的功

∑Wv2 B

12

= Ph

A Vr VB Q h B y N o

由动能定理 T2 T1 = ∑ W 12 得

αx

( P + Q ) ( Q + P sin α )2

2 gP cos 2 α

= Ph

( 2)

将上式对时间t求导， 将上式对时间t求导，并 ( P + Q ) vB sin α dvB dh dy A = aB = = v Ay = vr sin α = dt dt dt P cos α Pg sin 2α aB = 得 2 ( P sin 2 α + Q )

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问题1 问题1:

A在图示机构中，已知： 在图示机构中，已知：匀质圆盘 重P,半径为r,可绕水平轴转动，若 半径为r 可绕水平轴转动， 圆盘从图示C 圆盘从图示C位置经微小扰动后无初速 的倒下。试求: 的倒下。试求: (1)当转过β角时圆盘的角速度α (1)当转过β角时圆盘的角速度α; 当转过

A1 C C1 β O

(2)O处的约束反力。 (2)O处的约束反力。 处的约束反力

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