关于三角形的“四心”与平面向量的结合学案

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

一、四心的概念介绍

（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合

（1）OA OB OC 0 O是 ABC的重心.

证法1：设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)

(x1 x) (x2 x) (x3 x) 0

OA OB OC 0

(y1 y) (y2 y) (y3 y) 0

x1 x2 x3 x 3

y y y23 y 1

3

O是 ABC的重心.

证法2：如图

OA OB OC

2 2

A、O、D三点共线，且O分AD

为2：1

O是 ABC的重心

B

DC

（2）OA OB OB OC OC OA O为 ABC的垂心.

证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.

OA OB OB OC OB(OA OC) OB CA 0

同理OA BC，OC AB

O为 ABC的垂心

（3）设a,b,c是三角形的三条边长，O是 ABC的内心

BDC

a b c O为 ABC的内心. 分别为方向上的单位向量， cb平分 BAC,

cb

bc)，令

(

a b ccb

证明：

AO

bc（)

a b ccb

化简得(a b c) b c

（4

O为 ABC的外心。

典型例题：

例1：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

a b c

( )， 0, ，则点P的轨迹一定通过 ABC的（ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：如图所示 ABC，D、E分别为边BC、AC的点.

中

2

2 OP OA AP 2 //

B

D

C

点P的轨迹一定通过 ABC的重心，即选C.

例2：（03全国理4）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P

满足OP OA

， 0, ，则点P的轨迹一定通过 ABC的（ B ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

分析：分别为方向上的单位向量，

平分 BAC,

点P的轨迹一定通过 ABC的内心，即选B.

例3：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满

足

OP OA

， 0, ，则点P的轨迹一定通过 ABC的

（ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足

.

BC

=

=0

点P的轨迹一定通过 ABC的垂心，即选D.

练习：

1．已知 ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足 ，若实数

满足： ，则 的值为（ ）

A．2 B．

3

C．3 D．6 2

2．若 ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，OA OB OC 0，则OA OB ( ) A．

11 B．0 C．1 D． 22

3．点O在 ABC内部且满足 2 2 ，则 ABC面积与凹四边形ABOC面积之比是（ ）

A．0 B．

354

C． D． 243

4． ABC的外接圆的圆心为O，若 ，则H是 ABC的（ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，若

2

2

2

CA OC AB，则O是 ABC的（ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

6． ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH m(OA OB OC)，

222

则实数m =

→→→→ABACABAC1→→→

7．（06陕西）已知非零向量AB与AC满足(+ )·BC=0且 =2, 则△

→||AC→|→||AC→||AB|ABABC为( )

A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形

8．已知 ABC三个顶点A、B、C，若 ，则 ABC为（ ）

A．等腰三角形 B．等腰直角三角形

C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形 练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C

2

1.定义：我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三角形的内心,即三角形内切圆圆心;三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形的外心,即三角形外接圆圆心;三角形三条边上的中线的交点叫做三角形的重心;三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.我们将三角形的“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”合称为三角形的“四心”. 2.应用:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等;三角形的重心到三角形的顶点的距离是相应中线长的三分之二;三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边. 3.注意点:三角形的“四心”与平面向量知识的结合. 一、 典型例题分析 [例]已知点

G

是 ABC内任意一点,点 M是 ABC所在平面内一点.试根

据下列条件判断G点可能通过 ABC的__________心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”). (1)若存在常数 ,满足MG MA (

ABAB

ACAC

)( 0),则点G可能通过

ABC的__________.

(2)若点D是 ABC的底边BC上的中点,满足GD GB GD GC,则点G可能通过 ABC的__________.

ABAC 0 ,则点G可(3)若存在常数 ,满足MG MA ABsinBACsinC

能通过 ABC的__________.

ABAC

0 ,则点G可(4)若存在常数 ,满足MG MA

ABcosBACcosC

能通过 ABC的__________. 二、 综合运用

2.若O点是 ABC的外心, H点是 ABC的垂心, 且OH m(OA OB OC),求实数m的值. 练习：

举一反三：通过上述例题及解答,我们可以总结出关于三角形“四心”的向量表达式.若P点为 ABC内任意一点，若P点满足:

ABAC

), 0 AP (

ABAC

1． P为ABC的内心;

BP t(BA BC)，t 0 BABC

2.D、E两点分别是 ABC的边BC、CA上的中点,且

DPPB DPPC

P为ABC的外心;

EPPC EPPA

1

AP (AB AC), 3

P为ABC的重心; 3.

1 BP (BA BC)， 3

APBC 0

P为ABC的垂心. 4.

BPAC 0

1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足

=

111 (+OB+2),则点P一定为三角形ABC的 （ B ） 322

A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点（非重心） C.重心 D.AB边的中点

1. B取AB边的中点M，则 2，由=

3 3 2，∴ 2，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且

11

(32

+

1

+2)可得2

3

点P不过重心，故选B.

2．在同一个平面上有 ABC及一点Ｏ满足关系式：

OA

2

＋

BC

2

＝

OBCAOC

＋

＝

222

＋

AB

2

，则Ｏ为 ABC的 （ D ）

Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：PA PB PC（ C ）

Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

3．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：

0，则P为 ABC的

OP OA (AB AC)，则P的轨迹一定通过△ABC的 （ C ）

Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：

PA PC PA PB PB PC 0，则P点为三角形的 （ D ）

Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：a PA b PB c PC角形的 （ B ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 6．在三角形ABC中，动点P满足：（ B ）

Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

→→→→ABACABAC1→→→

7.已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且·, 则△ABC为( )

→→→→2|AB||AC||AB||AC|A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 解析：非零向量与满足(

2

0，则P点为三

2 ，则

2

P点轨迹一定通过△ABC的：

ABAC

|AB||AC|

)·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴ AB=AC，又

cosA

ABAC1

=2 ，∠A=，所以△ABC为等边三角形，选D．

3|AB||AC|

8. ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH m(OA OB OC)，则实数m = 1

9.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足 ，则点O是 ABC的（B ）

（A）三个内角的角平分线的交点 （C）三条中线的交点

（B）三条边的垂直平分线的交点 （D）三条高的交点

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