高考数学一轮复习：第2章 函数、导数及其应用 第9讲

第二章 第九讲

A组 基础巩固

一、选择题

1．如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间函数关系的图象，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是 ( )

[答案] D

[解析] 由图可知，张大爷开始匀速离家直线行走，中间一段离家距离不变，说明在以家为圆心的圆周上运动，最后匀速回家，故选D．

2．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t(小时)的函数表达式是 ( )

A．x＝60t

??60t ?0≤t≤2.5?，

C．x＝?

?150－50t ?t＞3.5??

B．x＝60t＋50

D．x＝

60t ?0≤t≤2.5?，??

?150 ?2.5＜t≤3.5?， ??150－50?t－3.5? ?3.5＜t≤6.5?

[答案] D

3．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.

加油时间 2015年5月1日 2015年5月15日 加油量(升) 12 48 加油时的累计里程(千米) 35 000 35 600

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 ( ) A．6升 C．10升 [答案] B

[解析] 因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶35 600－35 000＝600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升，选B．

1

B．8升 D．12升

4．某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品，已知经销甲、乙商品所获利润分xa

别为P和Q(万元)，且它们与投入资金x(万元)的关系是p＝，Q＝x(a＞0)，若不管资金

42如何投放，经销这两种商品或其中一种商品所获利润总数不小于5万元，则a的最小值为 ( )

A．5 C．3 [答案] B

[解析] 设经销乙商品投入资金x万元，由题意得

20－xaxa

＋x≥5(0≤x≤20)，整理得－＋x≥0.显然，当x＝0时，不等式恒成立；当0＜x≤204242xaxx

时，由－＋x≥0，得a≥恒成立．因为当0＜x≤20时，0＜≤5，所以a≥5，即a的

4222最小值为5.故选B．

5．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)之间的函数关系为P＝P0e

－kt

B．5 D．3

(k，P0均为正的常数)．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%.那么，至少还

需过滤( )才可以排放.

1

A． h

2C．5 h [答案] C

[解析] 设原污染物数量为a，则P0＝a.由题意有10%a＝ae

－

－5k

5B． h

9D．10 h

，所以5k＝ln10.设t h后

污染物的含量不得超过1%，则有1%a≥aetk，所以tk≥2ln10，t≥10.因此至少还需过滤10－5＝5(h)才可以排放．

6．一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示．出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．

给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定正确的是 ( )

A．① C．①③

B．①② D．①②③

2

[答案] A

[解析] 由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少速度也是0，故③不正确．

二、填空题

7．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae

－bt

(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过

________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.

[答案] 16

[解析] 当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae∴e＝e

－24b

－8b

－8b

1＝a， 2

111－－－

＝，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝aebt＝a，ebt＝＝(e8b)3

288

，则t＝24，

所以再经过16 min.

8．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.

[答案] 9

[解析] 设出租车行驶x km时，付费y元， 9，0＜x≤3，??

则y＝?8＋2.15?x－3?＋1，3＜x≤8，

??8＋2.15×5＋2.85?x－8?＋1，x＞8，由y＝22.6，解得x＝9.

9．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知1

该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，

2将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年.

[答案] 7

1

[解析] 设第n(n∈N*)年的年产量为an，则a1＝×1×2×3＝3；当n≥2时，an＝f(n)－f(n

211

－1)＝n(n＋1)(2n＋1)－n(n－1)(2n－1)＝3n2.又a1＝3也符合an＝3n2，所以an＝

22

3

3n2(n∈N*)．令an≤150，即3n2≤150，解得－52≤n≤52，所以1≤n≤7，n∈N*，故最长的生产期限为7年．

10．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系1－

式y＝()ta(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

16

(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为____________.

(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．

10t，0≤t≤0.1，??

[答案] (1)y＝?1t－0.1 (2)0.6

???16?，t＞0.1

[解析] (1)设y＝kt，由图象知y＝kt过点(0.1,1)，则1＝k×0.1，k＝10，∴y＝10t(0≤t≤0.1)． 1－1－1－

由y＝()ta过点(0.1,1)，得1＝()0.1a，解得a＝0.1，∴y＝()t0.1(t＞0.1)．

1616161－1

(2)由()t0.1≤0.25＝，得t≥0.6.

164

故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．

三、解答题

11．某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时．本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x－0.4)(元)成反比例．又当x＝0.65时，y＝0.8.

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]

1[答案] (1)y＝ (2)0.6元

5x－2[解析] (1)∵y与(x－0.4)成反比例， k

∴设y＝(k≠0)．

x－0.4

4

把x＝0.65，y＝0.8代入上式， k

得0.8＝，k＝0.2.

0.65－0.40.21

∴y＝＝，

x－0.45x－2

1

即y与x之间的函数关系式为y＝. 5x－21

(2)根据题意，得(1＋)·(x－0.3)

5x－2＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)．

整理，得x2－1.1x＋0.3＝0，解得x1＝0.5，x2＝0.6. 经检验x1＝0.5，x2＝0.6都是所列方程的根． ∵x的取值范围是0.55～0.75，

故x＝0.5不符合题意，应舍去．∴x＝0.6.

∴当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.

12．某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系.

(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系；

(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．

??2t，0≤t≤30，[答案] (1)f(t)＝?

?－6t＋240，30＜t≤40?

3

g(t)＝－t2＋6t(0≤t≤40)

20(2)当上市后的第30天满足题意

[解析] (1)图①是两条线段，由一次函数及待定系数法，

5

??2t，0≤t≤30，

得f(t)＝?

?－6t＋240，30＜t≤40.?

图②是一个二次函数的部分图象， 3

故g(t)＝－t2＋6t(0≤t≤40)．

20

(2)每件样品的销售利润h(t)与上市时间t的关系为

?3t，0≤t≤20，?h(t)＝?

?60，20＜t≤40.?

故国外和国内的日销售利润之和F(t)与上市时间t的关系为

??3

F(t)＝?60?－20t＋8t?，20＜t≤30，

3?t＋240?，30＜t≤40.?60?－20

22

3

3t?－t2＋8t?，0≤t≤20，

20

39

当0≤t≤20时，F(t)＝3t(－t2＋8t)＝－t3＋24t2.

20202727

∴F′(t)＝－t2＋48t＝t(48－t)≥0.

2020∴F(t)在[0,20]上是增函数．

∴F(t)在此区间上的最大值为F(20)＝6 000＜6 300. 当20＜t≤30时，F(t)＝60(－

32

t＋8t)． 20

由F(t)＝6 300，得3t2－160t＋2 100＝0. 70

解得t＝(舍去)或t＝30.

3当30＜t≤40时，F(t)＝60(－

32

t＋240)． 20

由F(t)在(30,40]上是减函数，得F(t)＜F(30)＝6 300.

故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6 300万元，为上市后的第30天． [点拨] (1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．

(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏．

B组 能力提升

1．给出四个函数，分别满足①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)；②g(x＋y)＝g(x)·g(y)；③φ(x·y)＝φ(x)＋φ(y)；④ω(x·y)＝ω(x)·ω(y)．又给出四个函数的图象如下

6

则正确的匹配方案是 ( ) A．①—M ②—N ③—P ④—Q B．①—N ②—P ③—M ④—Q C．①—P ②—M ③—N ④—Q D．①—Q ②—M ③—N ④—P [答案] D

[解析] 图象M是指数型函数，具有性质②；图象N是对数型函数，具有性质③；图象P是幂函数，具有性质④；图象Q是正比例函数，具有性质①.故选D．

2．在2014年APEC会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12 000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是 ( )

A．32 C．40 [答案] B

[解析] 设旅行团的人数是x，旅行社获得的机票利润为y.根据题意，得y＝

??800x－12 000，0＜x≤30，? 2

?－20x＋1 400x－12 000，30＜x≤45.?

B．35 D．45

当0＜x≤30时，y的最大值为800×30－12 000＝12 000；当30＜x≤45时，y＝－20x2＋1 400x－12 000＝－20(x－35)2＋12 500，所以当x＝35时，有最大值12 500.综上，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是35.故选B．

3．(改编题)如图(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客x之间的关系图象，由于目前该条公路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议如图(2)(3)所示．

以下说法：

①图(2)的建议是：提高成本，并提高票价； ②图(2)的建议是：降低成本，并保持票价不变；

7

③图(3)的建议是：提高票价，并保持成本不变； ④图(3)的建议是：提高票价，并降低成本． 其中正确的序号是 ( ) A．①③ C．②③ [答案] C

[解析] 根据题意和题图(2)知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0，但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变，故②正确；由题图(3)知，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，故③正确．

4．在淘宝网上，某店铺专卖孝感某种特产．由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，1＜x≤5)满足：当1＜x≤3时，b

y＝a(x－3)2＋，a，b为常数；当3＜x≤5时，y＝－70x＋490.已知当销售价格为2元/千

x－1克时，每日可售出该特产600千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克.

(1)求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；

(2)若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f(x)最大．(x精确到0.1元/千克)

[答案] (1)a＝b＝300；

300??300?x－3?2＋x－1，1＜x≤3，

y＝? (2)1.7元/千克 ??－70x＋490，3＜x≤5.[解析] (1)由题意知当x＝2时，y＝600，∴a＋b＝600. 又∵x＝3时，y＝150，解得a＝b＝300. ∴y关于x的函数解析式为

300??300?x－3?2＋x－1，1＜x≤3，y＝? ??－70x＋490，3＜x≤5.(2)由题意f(x)＝y(x－1)

2??300?x－3??x－1?＋300，1＜x≤3，＝? ??－70x＋490??x－1?，3＜x≤5.?

B．①④ D．②④

当1＜x≤3，f(x)＝300(x－3)2(x－1)＋300 ＝300(x3－7x2＋15x－8)，

f ′(x)＝300(3x2－14x＋15)＝300(3x－5)(x－3)．

8

55 900∴x＝时有最大值.

39

当3＜x≤5时，f(x)＝(－70x＋490)(x－1)， ∴x＝4时有最大值630.

5 90055 900∵630＜，∴当x＝时，f(x)有最大值，

939即当销售价格为1.7元/千克时，店铺所获利润最大．

5．一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用m(1≤m≤4且m∈R)个单位的药剂，药剂在血液中的含量y(克)随着时间x(小时)变化的函

?

数关系式近似为y＝mf(x)，其中f(x)＝?x

4－?2，6≤x≤8.

10

，0≤x＜6，4＋x

(1)若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？

(2)若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值．

206

[答案] (1) (2)

35

?[解析] (1)因为m＝3，所以y＝?3x

12－?2，6≤x≤8.

30

，0≤x＜6，4＋x

30

当0≤x＜6时，由≥2，解得x≤11，此时0≤x＜6；

4＋x

3x202020

当6≤x≤8时，由12－≥2解得x≤，此时6≤x≤，综上所述，0≤x≤，故一次服用3

233320

个单位的药剂，则有效制疗时间可达小时．

3

11010m

(2)方法一：当6≤x≤8时，y＝2×(4－x)＋m[]＝8－x＋ 24＋?x－6?x－210m

因为8－x＋≥2对6≤x≤8恒成立，

x－2x2－8x＋12即m≥对6≤x≤8恒成立，

10x2－8x＋12

等价于m≥()max,6≤x≤8.

10

x2－8x＋12?x－4?2－4

令g(x)＝，则函数g(x)＝在[6,8]上是单调增函数，

1010x2－8x＋126

当x＝8时，函数g(x)＝取得最大值，

105

9

66

所以m≥，所以所求m的最小值为.

55

11010m

方法二：当6≤x≤8时，y＝2×(4－x)＋m[]＝8－x＋，

24＋?x－6?x－2注意到y1＝8－x及y2＝

10m

(1≤m≤4且m∈R)均关于x在[6,8]上单调递减， x－2

10m

则y＝8－x＋关于x在[6,8]上单调递减，

x－210m5m5m6

故y≥8－8＋＝，由≥2，得m≥.

358－236

所以所求m的最小值为.

5

10

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