2009年哈工大量子力学考研真题

2.2.2 2009年真题

【题目】1. 简单描述康普顿（Compton）散射实验及其意义 【解题】

康普顿散射指的是短波电磁辐射（x射线等）射入物质被散射后，除了出

现与入射波同样波长的散射外，还出现波长向长波方向移动的现象。 康普顿散射的意义就是它表明了光子存在动量

【题目】2. 表明电子有自旋的实验依据有哪些（至少例举出两个）？乌伦贝

克和古德斯密特关于电子自旋的假设是什么？

【解题】

表明电子有自旋的实验依据有光谱精细结构，反常塞曼效应

乌伦贝克和古德斯密特关于电子自旋的假设是效应认为电子在绕着原子核旋转

的同时，自己也在旋转，即电子具有自旋。

【题目】3.质量为u的线性谐振子处于第n个能量本征态，若保持系统的能量

不变而将振子看成经典振子，其幅度为多大？

【解题】

由(n?12)???12u?A

22得出A?(2n?1)?u?

【题目】4. 设氢原子在t=0时处于状态

?(r,?)?12R31(r)Y10(?,?)?13R31(r)Y1?1(?,?)?cR32(r)Y21(?,?)。

此状态是定态，为什么：式中常数c的值是多少？

【解题】

氢原子的本征函数?(r)?Rnl(r)Ylm(?,?) 能量En??(n=1,2,3….)

因为能量的取值只有一个，它是确定的情况，所以此状态是定态 由归一化条件可知：

ue42122?n

12?13?c2?1 得出c?66

【题目】5. 设U为幺正算符，且U?1?i?F，其中?是一个无穷小量，证明F

为厄米算符。

【解题】

因为U为幺正算符，则有UU?1

???1i?F?)?1?i?F?i?F ?(1?i?F?)(2O?(? )1 ?F?F? 即F是厄米算符

【题目】6. 在角动量L2和Lz的共同本征态Ylm下，求角动量的三个分量Lx，Ly和Lz的平均值。

【解题】

记Ylm^?lm Lz?lmLZlm?m?

(l?l1)?^^^ L?lm??^m(m?1)^^l,?m 1 Lx?12^(L??L?),Ly?^12i(L??L?)

^^ Lx?lmLxlm?^1212ilmL??L?lm^^?0

Ly?lmLylm

?lmL??L?lm?0

【题目】7. 证明：若一维势V(x)在有限x处无奇点，则此一维系统的所有束

缚定态能级都是非简并的。

【解题】

用反证法来证明此定理：

假设?1(x)与?2(x)是属于同个能量本征值E的两个线性独立解，由束缚态定义当x??时，?1(x)，?2(x)均趋于零

??1(x)?2(x)??2(x)?1(x)?c?0

''??1(x)?1(x)'??2(x)?2(x)' 积分后可以得到?2(x)?c0?1(x)

从上式显然可以看出?1(x)和?2(x)相关，与假设矛盾

【题目】8. 两个力学量算符A和B可对易，|?1?和|?2?是算符A的两个本征

态，他们属于不同的本征值，证明：??1|B|?2??0

【解题】

依题意可设A?1?a1?1 A?2?a^^2?2 其中a1?a2

?^^?A，B对易，则有?A,B??0

??^^^^^?1AB?2?a1?1B?2

^^^?1BA?2?a2?1B?2

两式相减，有

^^1^?1AB?2?a1?B?-(a1?a2)?1B?2 2?1BA?2?a2?1B?2=

^^^^^?^^?? ?1?A,B??2?(a1??^a2)?1B??2 0 由a1?a2 有?1B?2?0

?【题目】二．证明：不存在与泡利算符?的三个分量都反对易的非零2?2矩阵。

??

【解题】

设二维矩阵A和?反对易，即满足：

^^??? A?1???1A （1）

^^2 A?（2）

^???2A

^ A?3???3A （3）

^^3^^用?2?式(1)，得 iA?^???1A? 2^^2^利用式（2），（3）得 ?i?3A??1?A?i?3 A^用i?3左乘上式有 A=-A ,即A=0 得证

【题目】三．设三个非零算符A,B,C满足：[A,B]?C?0,[A,C]?0,[B,C]?0，

若n为正整数，?为实数，计算对易关系：(1)[A,B];(2)[A,e 【解题】

n?B]

（1）

?^^?^[A,B]?A,BB????^^n?1^^n?1^^nn?1^^n?1^?^^n?2^?^^n?2???^^n?1????B?A,B??CB?B?CB?B?A,B??????????^?CB?CB^^n?1^2?^^n?3^?^^n?3???^^n?2????B?A,B?2CB?BCB?BA,B?????????????^n?1^n?1^^?^^?A,B?nCB????n?1^2^????(n?1)CB

(2)

^n?^^^(?B)?B?[A,e]?A,??n!n??^n?1^?B??????^?nn???A,B???n!??^^n?n?n^^n?1n!nCB

??C?n(?B)(n?1)!^??Ce?B

【题目】四．一维谐振子的哈密顿算符为H?px22m?12m?x，振子处于第n

22个激发态，(?x)2和(?px)2分别为其坐标和动量的差方平均值，计算

(?x)?(?px)

22

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/co3d.html