北师大版数学必修四课时作业 第2章 5

第二章 §5

A 级 基础巩固

一、选择题

1．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，若a ·b <0，则△ABC 是( A )

A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．锐角三角形

D ．任意三角形

[解析] 由a ·b <0易知〈a ，b 〉为钝角．

2．若|a |＝4，|b |＝2，a 和b 的夹角为30°，则a 在b 方向上的射影为( C )

A ．2

B ． 3

C ．23

D ．4 [解析] a 在b 方向上的投影为|a |cos a ，b ＝4×cos 30°＝23，故选C ．

3．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( B )

A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0

B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0

C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b

D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c

[解析] A 中，若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，故A 错；C 中，若a 2＝b 2，则|a |＝|b |，C 错；D 中，若a ·b ＝a ·c ，则可能有a ⊥b ，a ⊥c ，但b ≠c ，故只有选项B 正确，故选B ．

4．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则|a |＝( C )

A ．2

B ．4

C ．6

D ．12 [解析] ∵(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，

∴a 2－a·b －6b 2＝－72.

∴|a |2－|a ||b |cos 60°－6|b |2＝－72.

∴|a |2－2|a |－24＝0.又∵|a |≥0，∴|a |＝6.

5．若e 1，e 2是夹角为π3

的单位向量，且a ＝2e 1＋e 2，b ＝－3e 1＋2e 2，则a ·b 等于( C ) A ．1

B ．－4

C ．－72

D ．72

[解析] a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 21＋e 1·e 2＋2e 22＝－6|e 1|2＋|e 1||e 2|cos π3

＋2|e 2|2 ＝－6×12＋1×1×12＋2×12＝－72

. 6．若向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，则有( A )

A ．c ⊥a

B ．c ⊥b

C ．c ∥b

D ．c ∥a

[解析] ∵c ·a ＝(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝|a |2＋|a ||b |·cos 120°＝12＋1×2×cos 120°＝0，∴c ⊥a .

二、填空题

7．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝__1__.

[解析] 考查了向量的数量积，垂直等问题．

由a ＋b 与k a －b 垂直知(a ＋b )·(k a －b )＝0，

即k a 2－a ·b ＋k a ·b －b 2＝0，

又由|a |＝|b |＝1知(k －1)(a ·b ＋1)＝0，

若a ·b ＝－1，则a 与b 夹角180°，与a ，b 不共线矛盾，

∴k －1＝0，k ＝1.

8．已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ

的值是3

[解析] 由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|3e 1－e 2|＝

(3e 1－e 2)2 ＝

3e 21－23e 1·e 2＋e 22 ＝3－0＋1＝2.

同理|e 1＋λe 2|＝

1＋λ2. 所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|

＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ

2 ＝3－λ

21＋λ2

＝12， 解得λ＝33.

三、解答题

9．已知|a |＝2，|b |＝4.

(1)当a ⊥b 时，求|a ＋b |；

(2)当a ∥b 时，求a ·b ；

(3)若(a ＋2b )与(3a －b )垂直，求向量a 与b 的夹角．

[解析] (1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，

∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4＋16＝20， ∴|a ＋b |＝2 5.

(2)∵a ∥b ，当a 与b 同向时，a ·b ＝|a |·|b |＝8； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a |·|b |＝－8.

(3)由(a ＋2b )与(3a －b )垂直，得(a ＋2b )·(3a －b )＝0，即3a 2＋5a ·b －2b 2＝0， ∴5a ·b ＝2b 2－3a 2，

∴a ·b ＝4.

设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝42×4＝12

， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.

10．已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12

. 求：(1)a 与b 的夹角；

(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值．

[解析] (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝12

， 又|a |＝1，∴|b |2＝12

， ∴|b |＝22

. 设a 与b 的夹角为θ，

则cos θ＝a ·b |a ||b |＝121×22

＝22， ∴θ＝45°.

∴a 与b 的夹角为45°.

(2)|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2

＝1－2×12＋12＝22， |a ＋b |＝

(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝1＋2×1×12＋12＝102

， 设a －b 与a ＋b 的夹角为α，

则cos α＝(a ＋b )(a －b )|a ＋b ||a －b |＝12

102×22

＝55. B 级 素养提升

一、选择题

1．已知a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( D )

A ．－2

B ．2－2

C ．－1

D ．1－ 2 [解析] 本题考查数量积的运算．设a ＋b 与c 的夹角为θ，则(a －c )·(b －c )＝a ·b －a ·c －c ·b ＋c 2

＝0－(a ＋b )·c ＋1＝1－(a ＋b )·c

＝1－|a ＋b |·|c |cos θ

＝1－2·1·cos θ

∴最小值为1－2，即a ＋b 与c 同向共线时取得最小值．

2．(2018·江西高安中学期末)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →＝( A )

A ．16

B ．－8

C ．8

D ．－16

[解析] AB →·AC →＝(AC →＋CB →)·AC →＝AC →2＋CB →·AC →＝|AB →|2＝16.

3．已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( C )

A ．π3

B ．π2

C ．2π3

D ．5π6

[解析] 由题意，得a ·(2a ＋b )＝2a 2＋a ·b ＝0，即a ·b ＝－2a 2，所以cos a ，b ＝

a ·b

|a |·|b |＝－2a 24a 2＝－12，所以a ，b ＝2π3

，故选C ． 4．P 是△ABC 所在平面上一点，若P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则P 是△ABC 的( D )

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

[解析] 由P A →·PB →＝PB →·PC →得PB →·(P A →－PC →)＝0，

即PB →·CA →＝0，∴PB ⊥CA .

同理P A ⊥BC ，PC ⊥AB ，

∴P 为△ABC 的垂心．

二、填空题

5．(2019·全国卷Ⅲ)已知a ，b 为单位向量，且a ·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉__23

__. [解析] 由题意，得cos 〈a ，c 〉＝

a ·(2a －5

b )|a |·|2a －5b | ＝2a 2－5a ·b |a |·|2a －5b |2＝2

1×

4＋5＝23.

6．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是[解析] 本题考查了向量的运算．

∵α⊥(α－2β)，∴α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0，

∴2α·β＝α2＝|α|2，

∴|2α＋β|＝4α2＋4α·β＋β2＝6α2＋β2

＝6|α|2＋|β|2＝6＋4＝10.

三、解答题

7．若O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，判断△ABC

的形状．

[解析] OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →

＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →.

∵|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，

∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，

∴|AB →＋AC →|2＝|AB →－AC →|2，

∴AB →·AC →＝0，∴AB ⊥AC ，故△ABC 为直角三角形．

8．设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．

[解析] 由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角θ为钝角，得

cos θ＝(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|

<0， ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，

化简得2t 2＋15t ＋7＝0.解得－7

. 当夹角为π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，但此时夹角不是钝角．

设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，则

????? 2t ＝λ，7＝λt ，

λ<0，∴????? λ＝－14t ＝－142.

∴所求实数t 的取值范围是(－7，－142)∪(－142，－12

)． C 级 能力拔高

若a ，b 是非零向量，且a ⊥b ，|a|≠|b|，则函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )是( A )

A ．一次函数且是奇函数

B ．一次函数但不是奇函数

C ．二次函数且是偶函数

D ．二次函数但不是偶函数

[解析] f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )＝(a·b )x 2＋(|b|2－|a|2)x －a·b ，由a ⊥b ，得a·b ＝0，所以f (x )＝(|b |2－|a |2)x .由于|a |≠|b |，所以|b |2－|a |2≠0，

即f (x )＝(|b |2－|a |2)x 是一次函数，显然也是奇函数．

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