2015届高三数学人教B版(通用,理)总复习 第一章 集合

§1.1 集 合

1． 元素与集合

(1)集合中元素的两个特性：确定性、互异性．

(2)元素与集合的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和?. (3)集合的表示方法有列举法、描述法和维恩(Venn)图法． (4)常见集合的符号表示

A B 或B A

??A ，?B (B ≠?)

并集的性质：

A ∪?＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪

B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ?B ?A . 交集的性质：

A ∩?＝?；A ∩A ＝A ；A ∩

B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ?A ?B . 补集的性质：

A ∪(?U A )＝U ；A ∩(?U A )＝?；?U (?U A )＝A .

1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)A ＝{x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}． ( × ) (2){1,2,3}＝{3,2,1}． ( √ ) (3)?＝{0}．

( × ) (4)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .

( × ) (5)已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{2,3}，则M ∩N ＝N .

( √ ) (6)若全集U ＝{－1,0,1,2}，P ＝{x ∈Z |x 2<4}，则?U P ＝{2}． ( √ ) 2． 已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |－1≤x <1}，则A ∩B 等于

( )

A ．{0}

B ．{－1,0}

C ．{0,1}

D ．{－1,0,1}

答案 B

解析 ∵－1,0∈B,1?B ，∴A ∩B ＝{－1,0}．

3． (2013·山东)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )

A ．1

B ．3

C ．5

D ．9

答案 C

解析 x －y ∈{}－2，－1，0，1，2.

4． (2013·课标全国Ⅱ)已知集合M ＝{x |(x －1)2<4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N 等于

( )

A ．{0,1,2}

B ．{－1,0,1,2}

C ．{－1,0,2,3}

D ．{0,1,2,3}

答案 A

解析 化简集合M 得M ＝{x |－1

5．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整

数，则实数a 的取值范围是________．

答案 ????34，43

解析 A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，

因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a >0，f (0)＝－1<0，

根据对称性可知要使A ∩B 中恰含有一个整数，

则这个整数为2，

所以有f (2)≤0且f (3)>0，

即????? 4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以??? a ≥34，a <43.

即34≤a <43

.

题型一 集合的基本概念

例1 (1)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的

个数为 ( )

A ．3

B ．6

C ．8

D ．10

(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝????

??0，b a ，b ，则b －a ＝________. 思维启迪 解决集合问题首先要理解集合的含义，明确元素的特征，抓住集合的“两性”．

答案 (1)D (2)2

解析 (1)由x －y ∈A ，及A ＝{1,2,3,4,5}得x >y ，

当y ＝1时，x 可取2,3,4,5，有4个；

当y ＝2时，x 可取3,4,5，有3个；

当y ＝3时，x 可取4,5，有2个；

当y ＝4时，x 可取5，有1个．

故共有1＋2＋3＋4＝10(个)，选D.

(2)因为{1，a ＋b ，a }＝????

??0，b a ，b ，a ≠0， 所以a ＋b ＝0，得b a

＝－1，

所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.

思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

(1)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且

y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为

( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

(2)若集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a ＝________. 答案 (1)C (2)0或9

8

解析 (1)集合A 表示的是圆心在原点的单位圆，集合B 表示的是直线y ＝x ，据此画出图象，可得图象有两个交点，即A ∩B 的元素个数为2. (2)∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素． 当a ＝0时，x ＝2

3

符合要求．

当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4a ×2＝0，∴a ＝9

8.

故a ＝0或9

8

.

题型二 集合间的基本关系

例2 (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0

B 的集合

C 的个数为

( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1

思维启迪 对于含有有限个元素的集合的子集，可按含元素的个数依次写出；B ?A 不要忽略B ＝?的情形． 答案 (1)D (2)(－∞，4]

解析 (1)用列举法表示集合A ，B ，根据集合关系求出集合C 的个数． 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．

由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)当B ＝?时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠?时，若B ?A ，如图．

则????? m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1<2m －1

，解得2

综上，m 的取值范围为m ≤4.

思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn 图来直观解决这类问题．

(1)设M 为非空的数集，M ?{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这

样的集合M 共有

( ) A ．6个 B ．5个 C ．4个 D ．3个

(2)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ?B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.

答案 (1)A (2)4

解析 (1)集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(个)，集合{2}的所有子集共有2个，故满足要求的集合M 共有8－2＝6(个)．

(2)由log 2x ≤2，得0

即A ＝{x |0

而B ＝(－∞，a )，

由于A ?B ，如图所示，则a >4，即c ＝4.

题型三 集合的基本运算

例3 (1)(2013·湖北)已知全集为R ，集合A ＝????

??x |(12)x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩(?R B )等于 ( )

A ．{x |x ≤0}

B ．{x |2≤x ≤4}

C ．{x |0≤x <2或x >4}

D ．{x |0

(2)(2012·天津)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.

思维启迪 集合的运算问题可先对集合进行化简，然后结合数轴或Venn 图计算． 答案 (1)C (2)－1 1

解析 (1)A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，

∴A ∩(?R B )＝{x |x ≥0}∩{x |x >4或x <2}

＝{x |0≤x <2或x >4}．

(2)先求出集合A ，再根据集合的交集的特点求解．

A ＝{x |－5

B ＝{x |－1

B ＝{x |(x －m )(x －2)<0}，所以m ＝－1，n ＝1.

思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．

(1)设集合A ＝?????

x ∈R |??????????x ＋1≥0，x －3≤0，B ＝{x ∈Z |x －2>0}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |2

B ．{3}

C ．{2,3}

D ．{x |－1≤x <2}

(2)设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(?U A )∩B ＝?，则m 的值是________．

答案 (1)B (2)1或2

解析 (1)A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x ∈Z |x >2}，

∴A ∩B ＝{x ∈Z |2

(2)A ＝{－2，－1}，由(?U A )∩B ＝?，得B ?A ，

∵方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴B ≠?.

∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}．

①若B ＝{－1}，则m ＝1；

②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B ≠{－2}；

③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m ＝2.

经检验知m ＝1和m ＝2符合条件．

∴m ＝1或2.

题型四 集合中的新定义问题

例4 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n

＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：

①2 014∈[4]；②－3∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”．

其中，正确结论的个数是

( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

思维启迪 解答本题要充分理解[k ]的意义，然后对选项逐一验证．

答案 C

解析 因为2 014＝402×5＋4，

又因为[4]＝{5n ＋4|n ∈Z }，

所以2 014∈[4]，故①正确；

因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故②不正确；

因为所有的整数Z 除以5可得的余数为0,1,2,3,4，所以③正确；

若a ，b 属于同一“类”，则有a ＝5n 1＋k ，b ＝5n 2＋k ，

所以a －b ＝5(n 1－n 2)∈[0]，

反过来，如果a －b ∈[0]，

也可以得到a ，b 属于同一“类”，故④正确．

故有3个结论正确．

思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．

设U 为全集，对集合X ，Y ，定义运算“”，满足X Y ＝(?U X )∪Y ，则对

于任意集合X ，Y ，Z ，X (Y Z )等于

( )

A ．(X ∪Y )∪(?U Z )

B ．(X ∩Y )∪(?U Z )

C ．[(?U X )∪(?U Y )]∩Z

D ．(?U X )∪(?U Y )∪Z

答案 D

解析 因为X Y ＝(?U X )∪Y ，所以Y Z ＝(?U Y )∪Z ，

所以X (Y Z )＝(?U X )∪(Y Z )＝(?U X )∪(?U Y )∪Z ，故选D.

遗忘空集致误

典例：(5分)若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ?P ，则由a 的可取值组成

的集合为__________．

易错分析 从集合的关系看，S ?P ，则S ＝?或S ≠?，易遗忘S ＝?的情况．

解析 P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝?，满足S ?P ；

当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解集为x ＝－1a ，

为满足S ?P 可使－1a ＝－3或－1a

＝2， 即a ＝13或a ＝－12.故所求集合为????

??0，13，－12. 答案 ????

??0，13，－12 温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)在解答本题时，存在两个典型错误：一是忽

略对空集的讨论，如a ＝0时，S ＝?；二是忽略对字母的讨论，如－1a

可以为－3或2.因此，在解答此类问题时，一定要注意分类讨论，避免漏解

.

方法与技巧

1．集合中元素的两个特性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语

言之间的相互转化．

2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求

其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．

3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn 图．这是数形结合思想的又

一体现．

失误与防范

1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进

行化简．

2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．

3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．

4．Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示

法要特别注意端点是实心还是空心．

5．要注意A ?B 、A ∩B ＝A 、A ∪B ＝B 、?U A ??U B 、A ∩(?U B )＝?这五个关系式的等价性

.

A 组 专项基础训练

(时间：30分钟)

一、选择题

1． (2013·重庆)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则?U (A ∪B )等于( )

A ．{1,3,4}

B ．{3,4}

C ．{3}

D ．{4}

答案 D 解析 因为A ∪B ＝{1,2,3}，全集U ＝{1,2,3,4}，所以?U (A ∪B )＝{4}，故选D.

2． 下列集合中表示同一集合的是

( ) A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}

B ．M ＝{2,3}，N ＝{3,2}

C ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}

D ．M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)}

答案 B

解析 选项A 中的集合M 表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N 表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M 与N 不是同一个集合．选项C 中的集合M 表示由直线x ＋y ＝1上的所有点组成的集合，集合N 表示由直线x ＋y ＝1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N ＝{y |x ＋y ＝1}＝R ，故集合M 与N 不是同一个集合．选项D 中的集合M 有两个元素，而集合N 只含有一个元素，故集合M 与N 不是同一个集合．对选项B ，由集合元素的性质，可知M ，N 表示同一个集合．

3． 已知全集S ＝{1,2，a 2－2a ＋3}，A ＝{1，a }，?S A ＝{3}，则实数a 等于 ( )

A ．0或2

B ．0

C ．1或2

D ．2 答案 D

解析 由题意，知?????

a ＝2，a 2－2a ＋3＝3，则a ＝2. 4． 设集合M ＝{m ∈Z |m ≤－3或m ≥2}，N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，则(?Z M )∩N 等于( )

A ．{0,1}

B ．{－1,0,1}

C ．{0,1,2}

D ．{－1,0,1,2} 答案 B

解析 由已知，得?Z M ＝{－2，－1,0,1}，

N ＝{－1,0,1,2,3}，所以(?Z M )∩N ＝{－1,0,1}．

5． 已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有

( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个

答案 B

解析 ∵M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，∴M ∩N ＝{1,3}．

∴M ∩N 的子集共有22＝4个．

6． 已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－1

( )

A ．A B

B ．B A

C ．A ＝B

D ．A ∩B ＝?

答案 B

解析 因为A ＝{x |x 2－x －2<0}，

所以A ＝{x |－1

又B ＝{x |－1

( )

A ．(0,1)

B ．(0,2]

C ．(1,2)

D ．(1,2]

答案 D

解析 A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}．

8. 设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－

1

A ．3

B ．4

C ．7

D ．8

答案 C 解析 因为A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，

由题意，知题图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1,2,3}，

所以其真子集有?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．

二、填空题

9． 已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ?A ，则a ＝__________.

答案 －1或2

解析 由a 2－a ＋1＝3，得a ＝－1或a ＝2，经检验符合．由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去．故a ＝－1或2.

10．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝

__________.

答案 {(0,1)，(－1,2)}

解析 A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．

11．(2013·天津改编)已知集合A ＝{x ||x |≤2}，B ＝{x |x ≤1}，则A ∩B ＝________.

答案 {x |－2≤x ≤1}

解析 易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}．

12．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a

答案 (－∞，－1]

解析 因为C ∩A ＝C ，所以C ?A

.

①当C ＝?时，满足C ?A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32

； ②当C ≠?时，要使C ?A ，则????? －a

a ＋3<5，解得－32

(时间：15分钟)

1． 设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ?A 且S ∩B ≠?的集合S 的个数是

( )

A ．57

B ．56

C ．49

D ．8

答案 B

解析 集合S 的个数为26－23＝64－8＝56.

2． 已知集合M ＝{x |

x x －1≥0，x ∈R }，N ＝{y |y ＝3x 2＋1，x ∈R }，则M ∩N 等于 ( ) A ．?

B ．{x |x ≥1}

C ．{x |x >1}

D ．{x |x ≥1或x <0} 答案 C

解析 由x x －1≥0，得?????

x ≠1，x (x －1)≥0， ∴x >1或x ≤0，∴M ＝{x |x >1或x ≤0}，N ＝{y |y ≥1}，

M ∩N ＝{x |x >1}．

3． 已知U ＝{x ∈Z |y ＝ln ????9x －1}，M ＝{x ∈Z ||x －4|≤1}，N ＝{x ∈N |6x

∈Z }，则集合{4,5}等于

( ) A ．M ∩N

B ．M ∩(?U N )

C ．N ∩(?U M )

D ．(?U M )∪(?U N )

答案 B

解析 集合U 为函数y ＝ln ????9x －1的定义域内的整数集，

由9x －1>0，即9－x x

>0，解得0

故U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}．

集合M 为满足不等式|x －4|≤1的整数集，

解|x －4|≤1，得3≤x ≤5，

又x ∈Z ，

所以x 可取3,4,5，故M ＝{3,4,5}．

集合N 是使6x

为整数的自然数集合， 显然当x ＝1时，6x

＝6； 当x ＝2时，6x

＝3； 当x ＝3时，6x

＝2； 当x ＝6时，6x

＝1. 所以N ＝{1,2,3,6}．

显然M ?U ，N ?U .

而4∈M,4∈U,4?N,5∈M,5∈U,5?N ，

所以4∈M,4∈?U N,5∈M,5∈?U N ，

即{4,5}＝M ∩(?U N )．

4． 已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x

，x >2}，则?U P ＝________. 答案 ???

?12，＋∞ 解析 ∵U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}＝{y |y >0}，

P ＝{y |y ＝1x ，x >2}＝{y |0

}， ∴?U P ＝{y |y ≥12}＝????12

，＋∞. 5． 已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ?B ，则实数c 的取值范围是

________．

答案 [1，＋∞)

解析 A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，

B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )，

因为A ?B ，画出数轴，如右图所示，得c ≥1.

6． 已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，B ＝{(x ，y )|y ＝b x ＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个

真子集，则实数a 的取值范围是________．

答案 (1，＋∞)

解析 由于集合B 中的元素是指数函数y ＝b x 的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合A ∩B 只有一个真子集，那么y ＝b x ＋1(b >0，b ≠1)与y ＝a 的图象只能有一个交点，所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)．

§1.2命题与量词、基本逻辑联结词

1．命题的概念

能够判断真假的语句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．

2．全称量词与全称命题

(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，

并用符号“?”表示．

(2)全称命题：含有全称量词的命题．

(3)全称命题的符号表示：

形如“对M中的所有x，p(x)”的命题，用符号简记为“?x∈M，p(x)”．

3．存在量词与存在性命题

(1)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个

体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示．

(2)存在性命题：含有存在量词的命题．

(3)存在性命题的符号表示：

形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为?x∈M，q(x)．

(4)全称命题与存在性命题的否定

4. 基本逻辑联结词

(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词．

(2)命题真值表：

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．(×)

(2)已知命题p：?n0∈N,2n0>1 000，则綈p：?n∈N,2n0≤1 000. (×)

(3)命题p和綈p不可能都是真命题．(√)

(4)命题“?x∈R，x2≥0”的否定是“?x∈R，x2<0”．(×)

(5)若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(√)

2．命题p：?x∈R，sin x<1；命题q：?x∈R，cos x≤－1，则下列结论是真命题的是

() A．p∧q B．(綈p)∧q

C．p∨(綈q) D．(綈p)∧(綈q)

答案 B

解析p是假命题，q是真命题，

∴綈p∧q是真命题．

3．(2013·重庆)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为() A．对任意x∈R，都有x2<0

B．不存在x∈R，使得x2<0

C．存在x0∈R，使得x20≥0

D．存在x0∈R，使得x20<0

答案 D

解析因为“?x∈M，p(x)”的否定是“?x∈M，綈p(x)”，故“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，使得x20<0”．

4．(2013·湖北)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”

可表示为()

A．(綈p)∨(綈q) B. p∨(綈q)

C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q

答案 A

解析“至少有一位学员没有落在指定范围”＝“甲没有落在指定范围”或“乙没有落

在指定范围”＝(綈p )∨(綈q )．

5． 若命题“?x ∈R ，x 2－mx －m <0”是假命题，则实数m 的取值范围是________．

答案 [－4,0]

解析 “?x ∈R ，x 2－mx －m <0”是假命题，则“?x ∈R ，x 2－mx －m ≥0”是真命题，即Δ＝m 2＋4m ≤0，

∴－4≤m ≤

0.

题型一 含有逻辑联结词命题的真假判断

例1 命题p ：将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π3

个单位得到函数y ＝sin ????2x －π3的图象；命题q ：函数y ＝sin ????x ＋π6cos ???

?π3－x 的最小正周期为π，则命题“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”为真命题的个数是 ( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．0

思维启迪 先判断命题p 、q 的真假，然后利用真值表判断p ∨q 、p ∧q 、綈p 的真假． 答案 B

解析 函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π3

个单位后， 所得函数为y ＝sin ????2????x －π3＝sin ?

???2x －2π3， ∴命题p 是假命题．

又y ＝sin ????x ＋π6cos ???

?π3－x ＝sin ????x ＋π6cos ???

?π2－????x ＋π6 ＝sin 2????x ＋π6＝12－12cos ?

???2x ＋π3， ∴其最小正周期为T ＝2π2

＝π， ∴命题q 是真命题．

由此，可判断命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“綈p ”为真．

思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式命题真假的判断步骤：

(1)确定命题的构成形式；

(2)判断其中命题p 、q 的真假；

(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”形式命题的真假．

若命题p ：函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x

－1x

的单调递增区间是[1，＋∞)，则 ( ) A ．p ∧q 是真命题

B ．p ∨q 是假命题

C ．綈p 是真命题

D ．綈q 是真命题

答案 D

解析 因为函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，

所以p 是真命题；

因为函数y ＝x －1x

的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)， 所以q 是假命题．

所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题，綈q 为真命题，故选D. 题型二 含有一个量词的命题的否定

例2 写出下列命题的否定，并判断其真假：

(1)p ：?x ∈R ，x 2－x ＋14

≥0； (2)q ：所有的正方形都是矩形；

(3)r ：?x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0；

(4)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋1＝0.

思维启迪 否定量词，否定结论，写出命题的否定；判断命题的真假．

解 (1)綈p ：?x 0∈R ，x 20－x 0＋14

<0，假命题． (2)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．

(3)綈r ：?x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题．

(4)綈s ：?x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题．

思维升华 (1)含一个量词的命题的否定方法

①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定． ②对原命题的结论进行否定．

(2)判定全称命题“?x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．

(1)已知命题p ：?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( )

A ．?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0

B ．?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0

C ．?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0

D ．?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0

(2)命题“存在实数x ，使x >1”的否定．．

是 ( ) A ．对任意实数x ，都有x >1

B ．不存在实数x ，使x ≤1

C ．对任意实数x ，都有x ≤1

D ．存在实数x ，使x ≤1

答案 (1)C (2)C

解析 (1)綈p ：?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0.

(2)利用存在性命题的否定是全称命题求解．

“存在实数x ，使x >1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”．故选C.

题型三 逻辑联结词与命题真假的应用

例3 (1)已知p ：?x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：?x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实

数m 的取值范围为

( ) A ．m ≥2

B ．m ≤－2

C ．m ≤－2或m ≥2

D ．－2≤m ≤2 (2)已知命题p ：“?x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“?x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．

思维启迪 利用含逻辑联结词命题的真假求参数范围问题，可先求出各命题为真时参数的范围，再利用逻辑联结词的含义求参数范围．

答案 (1)A (2)[e,4]

解析 (1)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得?????

m ≥0m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. (2)若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由?x ∈[0,1]，a ≥e x, 得a ≥e ；由?x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，因此e ≤a ≤4.

思维升华 以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可．

(1)已知命题p ：“?x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“?x ∈R ，使x 2＋2ax

＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是

( )

A ．{a |a ≤－2或a ＝1}

B ．{a |a ≥1}

C ．{a |a ≤－2或1≤a ≤2}

D ．{a |－2≤a ≤1} (2)命题“?x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围为________．

答案 (1)A (2)[－22，22]

解析 (1)由题意知，p ：a ≤1，q ：a ≤－2或a ≥1，

∵“p 且q ”为真命题，∴p 、q 均为真命题，∴a ≤－2或a ＝1.

(2)因题中的命题为假命题，则它的否定“?x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，因此只需Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即－22≤a ≤2 2.

借助逻辑联结词求解参数范围

典例：(12分)已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx

＋1在????12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围．

思维启迪 (1)p 、q 都为真时，分别求出相应的a 的取值范围；(2)用补集的思想，求出綈p 、綈q 分别对应的a 的取值范围；(3)根据“p 且q ”为假、“p 或q ”为真，确定p 、q 的真假．

规范解答

解 ∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0

即p ：00且c ≠1，∴綈p ：c >1.[3分]

又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在????12，＋∞上为增函数，∴c ≤12

. 即q ：00且c ≠1，∴綈q ：c >12

且c ≠1.[5分] 又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，

∴p 真q 假或p 假q 真．[6分]

①当p 真，q 假时，

{c |012且c ≠1＝????

??c |121}∩????

??c |0

??c |12

第一步：求命题p 、q 对应的参数的范围．

第二步：求命题綈p 、綈q 对应的参数的范围．

第三步：根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题

“p 且q ”或“p 或q ”．

第四步：根据新命题的真假，确定参数的范围．

第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．

温馨提醒 解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算．

答题时，可依答题模板的格式进行，这样可使答题思路清晰，过程完整．老师在阅卷时，便于查找得分点．

方法与技巧

1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”，要结合语句的含

义理解．

2．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，对照否定结构去写，并注

意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”．

失误与防范

1．p ∨q 为真命题，只需p 、q 有一个为真即可；p ∧q 为真命题，必须p 、q 同时为真．

2．p 或q 的否定：非p 且非q ；p 且q 的否定：非p 或非q .

3．命题的否定与否命题

“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题p 的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论．

A 组 专项基础训练

(时间：30分钟)

一、选择题

1． 设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2

对称．则下列判断正确的是

( )

A ．p 为真

B ．綈q 为假

C ．p ∧q 为假

D ．p ∨q 为真

答案 C

解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有C 正确． 2． 下列命题中的假命题是

( )

A ．?x 0∈R ，lg x 0＝0

B ．?x 0∈R ，tan x 0＝1

C ．?x ∈R ，x 3>0

D ．?x ∈R,2x >0

答案 C

解析 对于A ，当x 0＝1时，lg x 0＝0，正确；对于B ，当x 0＝π

4时，tan x 0＝1，正确；对

于C ，当x <0时，x 3<0，错误；对于D ，?x ∈R,2x >0，正确． 3． (2012·湖北)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是

( )

A ．任意一个有理数，它的平方是有理数

B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数

C ．存在一个有理数，它的平方是有理数

D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 答案 B

解析 通过否定原命题得出结论．

原命题的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．

4． (2013·四川)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：?x ∈A,2x ∈B ，则

( )

A ．綈p ：?x ∈A,2x ∈

B B ．綈p ：?x ?A,2x ?B

C ．綈p ：?x ?A,2x ∈B

D ．綈p ：?x ∈A,2x ?B

答案 D

解析 命题p ：?x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为?x ∈A,2x ?B ，选D.

5． 已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命

题的是

( )

A ．綈p ∨q

B ．p ∧q

C ．綈p ∧綈q

D ．綈p ∨綈q

答案 D

解析 不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有綈p ∨綈q 为

真命题．

6． 已知命题p ：若a >1，则a x >log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中(其中公差d ≠0)，

m ＋n ＝p ＋q 是a n ＋a m ＝a p ＋a q 的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N ＋)．

则下面选项中真命题是

( ) A ．綈p ∧綈q

B ．綈p ∨綈q

C ．綈p ∨q

D ．p ∧q

答案 B

解析 对于命题p ，如图所示，作出函数y ＝a x (a >1)与y ＝log a x (a >1)

在(0，＋∞)上的图象，显然当a >1时，函数y ＝a x 的图象在函数y ＝

log a x 图象的上方，即当a >1时，a x >log a x 恒成立，故命题p 为真命

题．

对于命题q ，由等差数列的性质，可知当公差不为0时，m ＋n ＝p ＋

q 是a n ＋a m ＝a p ＋a q 的充要条件，故命题q 为假命题．

∴命题綈p 为假，綈q 为真，故綈p ∨綈q 为真．

7． 下列命题中，真命题是 ( ) A ．?x 0∈???

?0，π2，sin x 0＋cos x 0≥2 B ．?x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1

C ．?x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1

D ．?x ∈????π2，π，tan x >sin x

答案 B

解析 对于选项A ，

?x ∈????0，π2，sin x ＋cos x ＝2sin ???

?x ＋π4≤2， ∴此命题为假命题；

对于选项B ，当x ∈(3，＋∞)时，x 2－2x －1＝(x －1)2－2>0，

∴此命题为真命题；

对于选项C ，?x ∈R ，x 2＋x ＋1＝????x ＋122＋34

>0， ∴此命题为假命题；

对于选项D ，当x ∈????π2，π时，tan x <0

∴此命题为假命题．故选B.

8． 命题“函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )＝e x

＋k 2e x －1k (其中e 为自然对数的底数，k 为实数)

，

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/cnoq.html