2009-2010学年第二学期常微分方程试卷(B)

北 京 交 通 大 学

2009-20010学年第一学期《常微分方程》期末考试试卷（B）

学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________

题号 得分 阅卷人 一 二 三 总分

一、填空题（把正确答案填在题中空格上，每小题3分，共15分）

d2ydy?y4?x7?0的阶数是__________. 1、微分方程2?y3dxdx2、设?0是n阶常系数齐次线性方程特征方程的k重根，则该方程相应于?0的k个线性无关解是 .

3、微分方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0是全微分方程的充要条件是 . 4、若?(t)和?(t)都是x?A(t)x的基解矩阵，则?(t)和?(t)具有的关系是_____________________________.

'?10?5、若对角矩阵A???,则exp(At)=__________. 02??

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二、计算题（共75分）：

1、(1?x)ydx?(1?y)xdy?0（8分） dy2、?xy?x3y3（8分）

dx 3、ydx?(1?x?y2)dy?0（8分）

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4、求方程

dy?x?y2，通过点(0,0)的第三次近似解（10分） dx5、求解方程(

dy2)?y2?1?0的奇解（9分） dx第 3 页 共 6 页

d2xdx6、求方程2?2?3x?3t?1的通解 （9分）

dtdt

7、用拉普拉斯变换求方程

L[ezt]?1）（9分） s?zdx?x?e2t满足初值条件x(0)?0的解（提示：dt

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?e?t??11??8、已知方程组x??Ax?f(t)，其中A???01??，f(t)???0? ?????et（1）验证?(t)???0?tet??是x??Ax的基解矩阵. （6分） t?e???1??（2）试求x?Ax?f(t)满足初值条件?(0)?????的解?(t).（8分）

?1?

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三、证明题（10分）

1、设?(t)为方程组X/?AX(A为n?n常数矩阵)的标准基解矩阵（?(0)?E），证明 ?(t)??1(t0)??(t?t0)，其中t0为某一值。（5分）

2、如果X1(t),X2(t),?,Xn(t)为方程组X/?AX的n个线性无关的解，其中A为

n?n常数矩阵，则此方程的任一解X(t)均可表示为 X(t)?c1X1(t)?c2X2(t)???cnXn(t)，这里c1,c2,?,cn是相应确定的常数。 （5分）

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三、证明题（10分）

1、设?(t)为方程组X/?AX(A为n?n常数矩阵)的标准基解矩阵（?(0)?E），证明 ?(t)??1(t0)??(t?t0)，其中t0为某一值。（5分）

2、如果X1(t),X2(t),?,Xn(t)为方程组X/?AX的n个线性无关的解，其中A为

n?n常数矩阵，则此方程的任一解X(t)均可表示为 X(t)?c1X1(t)?c2X2(t)???cnXn(t)，这里c1,c2,?,cn是相应确定的常数。 （5分）

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