2015年高二数学选修2-1同步模块综合测试题3套（人教版带答案和解释）

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2015年高二数学选修2-1同步模块综合测试题3套（人教版带答案

和解释）

模块综合检测(A) (时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．命题“若A?B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( ) A．0 B．2 C．3 D．4 2．已知命题p：若x2＋y2＝0 (x，y∈R)，则x，y全为0；命题q：若a>b，则1a<1b.给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③?p；④?q.其中真命题的个数是( ) A．1B．2C．3D．4 3．以x24－y212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( ) A.x216＋y212＝1B.x212＋y216＝1 C.x216＋y24＝1D.x24＋y216＝1 4．已知a>0，则x0满足关于x的方程ax＝b的充要条件是( ) A．?x∈R，12ax2－bx≥12ax20－bx0 B．?x∈R，12ax2－bx≤12ax20－bx0 C．?x∈R，12ax2－bx≥12ax20－bx0 D．?x∈R，12ax2－bx≤12ax20－bx0 5．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是( ) A．椭圆B．圆 C．双曲线的一支D．线段 6．若向量a＝(1,0，z)与向量b＝(2,1,2)的夹角的余弦值为23，则z等于( ) A．0B．1C．－1D．2 7. 如图所示，正方体ABCD―A′B′C′D′中M是AB的中点，则sin〈 ，CM→〉的值为( ) A.12B.21015 C.23D.1115 8．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|等于( ) A．10B．8C．6D．4 9．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( ) A.6B.5C.62D.52 10．若A，B两点的坐标分别是A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，2sinθ，1)，则|AB→|的取值范围是( ) A．[0,5]B．[1,5] C．(1,5) D．[1,25] 11．设O为坐标原点，F1、F2是x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2＝60°，|OP|＝7a，则该双曲线的渐近线方程为( ) A．x±3y＝0B.3x±y＝0 C．x±2y＝0D.2x±y＝0 12．在长方体ABCD―A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若∠CMN＝90°，

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则异面直线AD1与DM所成的角为( ) A．30°B．45°C．60°D．90° 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，那么实数m的取值范围是________． 14．已知双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为______________． 15．若AB是过椭圆x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与坐标轴不平行，kAM、kBM分别表示直线AM、BM的斜率，则kAM?kBM＝________. 16．在棱长为1的正方体ABCD―A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)已知p：2x2－9x＋a<0，q：x2－4x＋3<0x2－6x＋8<0， 且?q是?p的必要条件，求实数a的取值范围． 18．(12分)设P为椭圆x2100＋y264＝1上一点，F1、F2是其焦点，若∠F1PF2＝π3，求△F1PF2的面积．

19.(12分)已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点． (1)求a的取值范围； (2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．

20．(12分) 如图所示，在四棱锥P―ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. 证明：(1)PA∥平面EDB； (2)PB⊥平面EFD.

21.(12分)已知两点M(－2,0)、N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN→||MP→|＋MN→?NP→＝0，求动点P(x，y)的轨迹方程． 22．(12分) 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点． (1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值． (2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论． 模块综合检测(A) 1．B [原命题为假，故其逆否命题为假；其逆命题为真，故其否命题为真；故共有2个真命题．] 2．B [命题p为真，命题q为假，故p∨q真，?q真．] 3．D [双曲线x24－y212＝－1，即y212－x24＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所

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以对椭圆y2a2＋x2b2＝1而言，a2＝16，c2＝12.∴b2＝4，因此方程为y216＋x24＝1.] 4．C [由于a>0，令函数y＝12ax2－bx＝12a(x－ba)2－b22a，此时函数对应的图象开口向上，当x＝ba时，取得最小值－b22a，而x0满足关于x的方程ax＝b，那么x0＝ba，ymin＝12ax20－bx0＝－b22a，那么对于任意的x∈R， 都有y＝12ax2－bx≥－b22a＝12ax20－bx0.] 5．A [∵P为MF1中点，O为F1F2的中点， ∴|OP|＝12|MF2|，又|MF1|＋|MF2|＝2a， ∴|PF1|＋|PO|＝12|MF1|＋12|MF2|＝a. ∴P的轨迹是以F1，O为焦点的椭圆．] 6．A [设两个向量的夹角为θ， 则cosθ＝1×2＋0×1＋2z1＋z2?22＋12＋22＝2＋2z1＋z2?3＝23， 解得z＝0.] 7．B [以D为原点，建系，设棱长为1， 则DB'→＝(1,1,1)，C(0,1,0)，M1，12，0， CM→＝1，－12，0， 故cos〈DB'→，CM〉＝1×1＋1×－12＋1×012＋12＋12?12＋122＋02 ＝1515，则sin〈DB'→，CM→〉＝21015.] 8．B [由抛物线的定义， 得|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.] 9．D [由题意知，过点(4，－2)的渐近线方程为y＝－bax，∴－2＝－ba×4，∴a＝2b， 设b＝k，则a＝2k，c＝5k， ∴e＝ca＝5k2k＝52.] 10．B [|AB→|＝(2cosθ－3cosα)2＋(2sinθ－3sinα)2 ＝9＋4－12cosαcosθ－12sinαsinθ ＝13－12cos(α－θ). 因为－1≤cos(α－θ)≤1， 所以1≤13－12cos(α－θ)≤25， 所以|AB→|∈[1,5]．] 11．D[如图所示，∵O为F1F2的中点，∴PF1→＋PF2→＝2PO→， ∴（PF1→＋PF2→)2＝(2PO→)2. 即|PF1→|2＋|PF2→|2＋2|PF1→|?|PF2→|?cos60°＝4|PO→|2. 又∵|PO|＝7a， ∴|PF1→|2＋|PF2→|2＋|PF1→||PF2→|＝28a2.① 又由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2a， ∴(|PF1|－|PF2|)2＝4a2. 即|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4a2.② 由①－②得|PF1|?|PF2|＝8a2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝20a2. 在△F1PF2中，由余弦定理得 cos60°＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|， ∴8a2＝20a2－4c2.即c2＝3a2. 又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝2a2. 即b2a2＝2，ba＝2. ∴双曲线的渐近线方程为2x±y＝0.] 12．D [ 建立如图所示坐标系．设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则 A1(b,0,0)，A(b,0，c)，C1(0，a,0)，C(0，a，c)，B1(b，a,0)，D(0,0，c)， Nb2，a，0，Mb，a，c2. ∵∠CMN

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＝90°，∴CM→⊥MN→， ∴CM→?MN→＝b，0，－c2?－b2，0，－c2 ＝－12b2＋14c2＝0， ∴c＝2b. ∴AD1→?DM→＝(－b,0，－2b)?b，a，－22b ＝－b2＋b2＝0， ∴AD1⊥DM，即异面直线AD1与DM所成的角为90°.] 13．[3,8) 解析 因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0， 即m≥3.又因为p(2)是真命题， 所以4＋4－m>0，即m<8. 故实数m的取值范围是3≤m<8. 14.x24－y212＝1 解析 由双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝3x得ba＝3，∴b＝3a. ∵抛物线y2＝16x的焦点为F(4,0)，∴c＝4. 又∵c2＝a2＋b2，∴16＝a2＋(3a)2， ∴a2＝4，b2＝12. ∴所求双曲线的方程为x24－y212＝1. 15．－b2a2 解析 设A(x1，y1)，M(x0，y0)，则B(－x1，－y1)， 则kAM?kBM＝y0－y1x0－x1?y0＋y1x0＋x1＝y20－y21x20－x21 ＝－b2a2x20＋b2－－b2a2x21＋b2x20－x21＝－b2a2. 16.25 解析 建系如图， 则M1，12，1， N1，1，12，A(1,0,0)，C(0,1,0)， ∴AM→＝0，12，1，CN→＝1，0，12. ∴cos〈AM→，CN→〉＝ ＝1254＝25. 即直线AM与CN所成角的余弦值为25. 17．解 由x2－4x＋3<0x2－6x＋8<0，得10，即－6

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在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系． 连结AC，AC交BD于G. 连结EG.设DC＝a， 依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E0，a2，a2， ∵底面ABCD是正方形， ∴G是此正方形的中心， 故点G的坐标为a2，a2，0， 且PA→＝(a,0，－a)，EG→＝a2，0，－a2. ∴PA→＝2EG→，即PA∥EG. 而EG?平面EDB且PA?平面EDB， ∴PA∥平面EDB. (2)依题意得B(a，a,0)，PB→＝(a，a，－a)． 又DE→＝0，a2，a2，故PB→?DE→＝0＋a22－a22＝0， ∴PB⊥DE，由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E， 所以PB⊥平面EFD. 21．解 设P(x，y)，则MN→＝(4,0)，MP→＝(x＋2，y)， NP→＝(x－2，y)． ∴|MN→|＝4，|MP→|＝(x＋2)2＋y2， MN→?NP→＝4(x－2)， 代入|MN→|?|MP→|＋MN→?NP→＝0， 得4(x＋2)2＋y2＋4(x－2)＝0， 即(x＋2)2＋y2＝2－x，化简整理，得y2＝－8x. 故动点P(x，y)的轨迹方程为y2＝－8x. 22．解 [设正方体的棱长为1，如图所示，以AB→，AD→，AA1→分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz. (1)依题意，得B(1,0,0)，E(0,1，12),A(0，0,0),D(0,1,0),所以BE→＝(－1,1，12)，AD→＝(0,1,0)． 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为AD⊥平面ABB1A1，所以AD→是平面ABB1A1的一个法向量．设直线BE和平面ABB1A1所成的角为θ，则 ＝ ＝132×1＝23. 故直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为23. (2)在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE. 证明如下： 依题意，得A1(0,0,1)， BA1→＝(－1,0,1)， BE→＝(－1,1，12)． 设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量， 则由n?BA1→＝0，n?BE→＝0， 得－x＋z＝0，－x＋y＋12z＝0. 所以x＝z，y＝12z，取z＝2，得n＝(2,1,2)． 设F是棱C1D1上的点，则F(t,1,1)(0≤t≤1)． 又B1（1，0，1），所以B1F→＝(t－1,1,0)．而B1F?平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE?B1F→＝(t－1,1,0)．而B1F?平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE?B1F→?n＝0?(t－1,1,0)?(2,1,2)＝0?2(t－1)＋1＝0?t＝12?F为棱C1D1的中点．这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/cndx.html