江苏省常州市2013届高二下学期期末试题（文数）

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常州市武进区教育学会学业水平监测

高二数学试题

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）

1．已知集合M?{y|y?x2?1,x?R}，N?{x|y?▲ .

2?x2}，则M?N?

2．复数

1?i的模为 ▲ . 1?i3．命题“?是锐角”是命题“cos??1?sin2?”的 ▲ 条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”） 4．若loga?a?6??2，则[cos(?22?)]a? ______▲ ． 35．已知函数y?f(x)的图像关于x?1对称，且在（1，+∞）上单调递增，设a?f(?)，

12b?f(2)，c?f(3)，则a，b，c，的大小关系为 ▲ . 6．垂直于直线2x?6y?1?0且与曲线y?x3?3x2?1相切的直线方程是 ▲ .

7．如图所示，点P是函数y=2sin（?x+?）（x?R，?>0）的图像的最高点，M、N是该图像与x轴的交点，若PM?PN?0，则? 的值为 ▲ .

A

8．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A,B（如图），要测算A,B两点的距离，测量人员

?在岸边定出基线BC，测得BC?50，?ABC?105，

y P M O N x ?BCA?45?，就可以计算出A,B两点的距离为

C

B

第1页

。

▲ . 9．若tan??110????，??(,)，则sin(2??)的值为 ▲ . tan?342410．执行图中程序框图表示的算法，若输入m＝5533，n＝2012，则输出d＝ ▲ .

（注：框图中的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”）

是 开始 输入m，n (m＞m) d＝m－ n d＝n? 输出d 结束 否 否

n＝d m＝n d＞n? 是 m＝d 11．如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P?x,y?的轨迹方程是y?f(x)，则y?f(x)在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 ▲ .

A P C B f2(1)?f(2)f2(2)?f(4)12．已知函数f(x)满足：f(m?n)?f(m)f(n)，f(1)＝3， 则＋

f(1)f(3)f2(3)?f(6)f2(4)?f(8)＋＋ 的值等于 ▲ .

f(5)f(7)3x4x13．问题“求不等式3x+4x≤5x的解”有如下的思路：不等式3x+4x≤5x可变为(5)?(5)?1，

第2页

。

3x4x考察函数f(x)?(5)?(5)可知，函数f(x)在R上单调递减，且f(2)=1，∴原不等

式的解是x≥2.仿照此解法可得到不等式：x3?(2x?3)?(2x?3)3?x的解集是 ▲ ．

14．设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数m满足?x?M(M?D)，均有

x?m?D，且f(x?m)?f(x)，则称f(x)为M上的m高调函数．如果定义域为R

的函数f(x)是奇函数，当x?0时，f(x)?x?a2?a2，且f(x)为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

????????????????在?ABC中，AB?AC，|AB|?|AC|，M是BC中点．

????????????????⑴ 求向量AB?2AC与向量2AB?AC的夹角的余弦值；

????????????????OB?OC?OA的最小值． ⑵ 若|BC|?2，O是线段AM上任意一点，求OA?

16．（本小题满分14分）

在?ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中c?2， 且

cosAb??3． cosBa⑴ 求证：?ABC是直角三角形；

第3页

。

⑵ 如图，设圆O过A,B,C三点，点P位于劣弧?AC上，求?PAC面积最大值.

C P

17．（本题满分14分）

在□OABC中，已知过点C的直线与线段OA,OB分别相交于点M,N，若

B A ??????????????????OM?sin??OA, ON?cos??OB 其中，??(0,)．

2⑴ 求sin2?的值；

第4页

。

⑵ 记△OMN的面积为S1，平行四边形OABC的面积为S，试求

18．（本题满分16分）

S1之值. Sb，函数f（x）的图像与x轴的交点也在函数g（x）x的图像上，且在此点处f(x)与g(x)有公切线．

设函数f(x)?lnx，g(x)?ax?⑴ 求a，b的值；

⑵ 设x?0，试比较f(x)与g(x)的大小．

第5页

。

19．（本题满分16分）

如图为河岸一段的示意图，一游泳者站在河岸的A点处，欲前往河对岸的C点处．若河宽BC为100m，A、B相距100m，他希望尽快到达C，准备从A步行到E（E为河岸AB上的点），再从E游到C．已知此人步行速度为v，游泳速度为0.5v ，

⑴ 设?BEC??，试将此人按上述路线从A到C所需时间T表示为?的函数；并求自变量?的取值范围；

⑵ 当?为何值时，此人从A经E游到C所需时间T最小，其最小值是多少？

A E θ B C 第6页

。

20．（本小题满分16分）

32b是不同时为零的常数）已知函数f(x)?ax?bx?(b?a)x（a，，其导函数为f?(x).

11时，若不等式f?(x)??对任意x?R恒成立，求b的取值范围； 33⑵ 求证：函数y?f?(x)在(?1,0)内至少存在一个零点；

⑴ 当a?⑶ 若函数f(x)为奇函数，且在x?1处的切线垂直于直线x?2y?3?0．关于x的方程f(x)??

1t在[?1,t](t??1)上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围. 4

第7页

常州市武进区教育学会学业水平监测 高二数学(文)参考答案及评分标准

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分

1．[?1,2] 2. 1 3. 充分不必要 4. ?18 5. b?a?c 6. 3x?y?2?0 7. ?4 8.22 50 m 9. ? 10. 503

10 11.

??1 12. 24 13.（－∞，－3） 14.[?1,1]

二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分解：⑴ 设向量???AB?14分）???

??????????????2AC???与向量?2AB?AC的夹角为?

cos??(???AB??2???AC?)?(2???AB?????????AC?????)， 令|???AB?|AB?2AC|?|2AB?AC||?|???AC?|?a，

。

第8页

。

2a2?2a24cos??? -------------------------------------------------------------------------- 7

5a?5a5分

?????????????⑵ ?|AB|?|AC|?2,?|AM|?1

?????????????????????? 设|OA|?x则|OM|?1?x，而OB?OC?2OM

所

以

??????????????????????????????11OA?(OB?OC)?2OA?OM?2|OA|?|OM|cos???2x2?2x?2(x?)2?22

????????????11当且仅当x?时 OA?(OB?OC)的最小值是? ---------------------------------- 14

22

分

16．（本题满分14分）

⑴ 证明：由正弦定理得

分

整理为sinAcosA?sinBcosB，即sin2A?sin2B ------------------------------ 3

分

又因为0?2A,2B?2?

∴2A?2B或2A?2B??，即A?B或A?B?∵

cosAsinB?， ----------------------------------------------------- 2cosBsinA?2

?b3， ∴A?B舍去，故A?B? ?2a1??由A?B?可知C?，∴?ABC是直角三角形 ----------------------------------- 6

22分

⑵ 解法一：由（1）及c?2，得a?1，b?3， --------------------------------------- 7

分

设?PAB??(?626在Rt?PAB中，PA?AB?cos??2cos? 所以

1?1?S?PAC?PA?AC?sin(??)??2?cos??3?sin(??)

2626?3?cos??sin(??) --------------------------------------------------------------- 10

6

分

????)，则?PAC????，

??3cos?(sin??

3133?cos??)?cos?sin??cos2? 2222第9页

。

331?cos2? ?sin2???22 43?3 ------------------------------------------------------------- 12?sin(2??)?264

分

因为

?6????2所以

?6?2???6?5?， 6当2???6??2，即???3时，S?PAC最大值等于3. ------------------------------- 144分

解法二：设p到AC的距离为h，h取到最大值时，S?PAC取得最大值； 过o作AC的垂线交?AC于P点，此时h最大，h?1?所以S?PAC=11?， 223 ------------------------------------------------------------------------------------ 144分

17．（本题满分14分）

????????????????解：⑴ 由题意得OC?AB?OB?OA

??????????????????????????所以MC?OB?(1?sin?)?OA，又MN?cos??OB?sin??OA

cos?sin??又因为M,N,C三点共线，得，则sin??cos??sin??cos?11?sin?（1）

222⑴ 式两边平方，得1?2sin??cos??sin??cos?，即sin2??4sin2??4?0 解得：sin2??22?2或-22-2(舍去) -------------------------------------------- 7

分

?????1????12?1⑵ 由题意得，S1?|OM|?|ON|sin?AOB=sin2??S?AOB?S

222S2?1即1?. --------------------------------------------------------------------------------- 14S2分

18．（本题满分16分） 解：⑴ ∵f?(x)?1b，g'(x)?a?2，

xx?a?b?011∴由题意可得：??a?,b??. ---------------------------------------- 8

22?a?b?1分

⑵ 由⑴可知g(x)?11(x?)， 2x11(x?). 2x令F(x)?f(x)?g(x)?Inx?第10页

。

∵F'(x)?11111211?(1?2)??(1?2?)??(1?)2?0， x22x2xxx∴F(x)是（0，+∞）上的减函数，而F（1）=0，

∴当x?(0,1)时，F(x)?0，有f(x)?g(x)； 当x?(1,??)时，F(x)?0，有f(x)?g(x)；

当x=1时，F(x)?0，有f(x)?g(x). ---------------------------------------------- 16

分

19．（本题满分16分）

⑴ 从A步行到E所用的时间为

AE Vcos?AE?AB?BE?100(1?) --------------------------------------------------------- 2

sin?分

从E游到C,所用时间为分

ECBC100,EC??0.5vsin?sin? --------------------------------- 4

由题意可知：E点位于A处时，?取最小值

?， 4E点位于B处时，?取最大值

分

?， ----------------------------------------------------------- 62?T?

1002?cos???(1?)，??? ---------------------------------------------------- 8vsin?421002?cos?(1?)得， vsin?分

⑵ 由T?12(cos??)1001?2cos?1002 ----------------------------------------------- 10T'?????22vsin?vsin?分

1?,T'?0

432??1????时，cos??,T'?0

322????时，cos???????3时，T取得极小值时同时也是最小值100(1?3) ------------------------ 15

v100(1?3). ------------------ 16

v分

答：此人从A经E游到C所需时间T的最小值为分

20．（本小题满分16分）

第11页

。

解：⑴ 当a?分

112时，f?(x)?x?2bx?b?， ----------------------------------------------- １3311?? 即x2?2bx?b?0恒成立 33???4b2?4b?0，解得 0?b?1 所以b的取值范围是(0,1) ------------------------------------------------------------------- 5

依题意 f?(x)?x2?2bx?b?分

⑵ 证明：因为f?(x)?3ax2?2bx?(b?a)， 解法一：当a?0时，x??分

1符合题意. --------------------------------------------- 62bb?b?x???1??0，令t?，则3x2?2tx?(t?1)?0，

aa?a?1?1?2令h(x)?3x?2tx?(t?1)， 当t?1时， h(0)?t?1?0，?h??????0，

24???1??y?h(x)在??,0?内有零点； ------------------------------------------------------- 8

?2?当a?0时，3x2?2分

当t?1时，h(?1)?2?t?1?0，

1???y?h(x)在??1,??内有零点.

2???当a?0时，y?h(x)在(?1,0)内至少有一个零点.

综上可知，函数y?f?(x)在(?1,0)内至少有一个零点. ---------------------------- 10

分

解法二：f?(0)?b?a，f?(?1)?2a?b，

?1?b?2a. f?????33??因为a，b不同时为零，所以f?????f?(?1)?0，故结论成立. --------------- 10

分

⑶ 因为f(x)?ax?bx?(b?a)x为奇函数，所以b?0，所以f(x)?ax?ax，

323?1??3?f?(x)?3ax2?a.

又f(x)在x?1处的切线垂直于直线x?2y?3?0，

3所以a?1，即f(x)?x?x. -------------------------------------------------------------- 12

分

???33?3??3?f(x)在????,?3??，??3,????上是单调递增函数，在??3,3?上是单

??????调递减函数，由f(x)?0解得x??1，x?0，

第12页

。

t的图像，若只有一个交点，则 41t333①当?1?t??时，f(t)??t?0，即t3?t??，解得?； ?t??44323 133②当??t?0时f(t)??t?0，解得??t?0；

433法一:如图所示，作y?f(x)与y??y y y f(t) t y??4f(t) -1 t O ① -1 ?33t y??4t -1 ?33x O ② x (t) ft x y??4④ ③当t?0时，显然不成立；

1t333时，f(t)??t?0，t?t??，解得0?t?；

443331⑤当?t?1时，f(t)??t?0，

4333解得； ?t?32?3?t83t?t?⑥当t?1时，??f?.y??4 ??3?49??④当0?t?y 33y t O f(t) y?? x t4O

t x t y??4 综上t的取值范围是?分

3383或t?. -------------------- 16?t?0或0?t?92213，x?0. x解之得x??4213作y?f(x)与y??x的图知交点横坐标为x??，x?0

42?133?83??当x?[?,0)?(0,)???时，过y??x图象上任意一点向左作平

422?9???行于x轴的直线与y?f(x)都只有唯一交点，当x取其它任何值时都有两个

法二：由f(x)??或没有交点． 所以当t?[??33?83??,0)?(0,)???时， 22?9???第13页

。

方程f(x)??1t在[?1,t](t??1)上 4有且只有一个实数根. ----------------------------------------------------------------------- 16

分

第14页

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