高2015级数学竞赛讲义之椭圆

高2015级数学竞赛讲义LIULIANG 解析几何——椭圆 一、椭圆知识点 1、椭圆的定义 （1）第一定义： 平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(PF1?PF2?2a?F1F2) ,这个动点P的轨迹叫椭圆.定点F1、F2叫椭圆的焦点，两焦点的距离F1F2叫作椭圆的焦距. 注意：若(PF1?PF2?F1F2)，则动点P的轨迹为线段F1F2； 若(PF1?PF2?F1F2)，则动点P的轨迹无图形. （2）第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数 e?ca(0?e?1)的动点M的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为 椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。 2、椭圆的标准方程，图形及几何性质。 标准方程 x2?y2y2a2b2?1 (a?b?0) a2?x2b2?1 (a?b?0) 图形 焦点 F1(?c,0)，F2(c,0) F1(0,?c)，F2(0,c) 焦距 FFc性质 12?2 F1F2?2c 范围 x?a，y?b x?b，y?a 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 (?a,0)，(0,?b) (0,?a)，(?b,0) 轴长 长轴长=2a，短轴长=2b 离心率 e?ca(0?e?1) 焦点三角形 P为椭圆上一点，S1PF2PF1F2?b2tan?F2 准线方程 ??a2x ??a2cyc 焦半径 PF1?a?ex0，PF2?a?ex0 PF1?a?ey0，PF2?a?ey0 通径 H2b2过焦点垂直于长轴的弦H12?a，它为过焦点的最短弦 焦准距 椭圆的焦点到相应准线的距离叫做焦准距。p?F?a2b21Kc?c?c 3、椭圆x2y2?x?acos?a2?b2?1?a?b?0?的参数方程为??y?bsin???为参数? 4、弦长公式：

|AB|?(x1?x2222)?(y1?y2)

?1?k(x1?x2)2?4x1x2

?1?k2|x?1?k2·?1?x2| |a|

或AB?1?1?k2y1?y2?1?1k2?y1?y2?2?4y1y2?1?1k2a

5、中点弦问题：（点差法）

x2y2若椭圆方程a2?b2?1，直线与椭圆交于点A?x1,y1?,B?x2,y2?,且弦AB的中点M?x0,y0?，则：x221a2?y1x22y22b2?1 （1） a2?b2?1 （2） (1)?(2):b2?x1?x2??x1?x2??a2?y1?y2??y1?y2??0

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22则 ky1?y2??bx1?x2AB???bx0x22这就建立起了中点坐标与直线斜率之间的关系。

1?x2ay1?y2ay06、椭圆的焦点弦

x2y2过椭圆焦点的弦称为椭圆的焦点弦，设过椭圆a2?b2?1?a?b?0?的焦点F??c,0?的弦AB,

其中A?x1,y1?,B?x2,y2?,AB?2a?e?x1?x2?。

或：AB?2ab2a2?c2cos2?(?为直线AB的倾斜角) 7、椭圆的切线

（1）过椭圆x2y2ab?1?a?b?0?上一点P?xxxyy2?20,y0?处的切线方程为0a2?0b2?1

（2）直线Ax?By?C?0与椭圆x2y222222a2?b2?1?a?b?0?相切的条件为Aa?Bb?C

x2y2（3）过椭圆a2?b2?1?a?b?0?外一点P?x0,y0?引椭圆处的两条切线，切点弦所在直线的方

程为x0xa?y0y2b2?1。

4）椭圆x2y2（a2?b2?1?a?b?0?斜率为k的切线为y?kx?a2k2?b2。

(5)过切点与此点处切线垂直的直线称为椭圆的法线，经过椭圆上一点的法线平分过这一点的两条焦半径的夹角。

（6）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆反射后会通过另一个焦点。

二、例题讲解

例1、 （1997

年全国高中联赛试题）在平面直角坐标系中，若方程

m?x2?y2?2y?1???x?2y?3?2表示的曲线为椭圆，

则m的取值范围为 。

例2、 （2009重庆）已知椭圆x2y2

a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)．若椭圆

上存在点P使asin∠PF＝c

sin∠PF，则该椭圆的离心率的取值范围为________．

1F22F1

例3、 过椭圆C:x2y23?2?1上任意一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH到点Q，使HQ??PH???1?，当点P在椭圆C上运动时，求点Q的轨迹的离心率的

取值范围。

例4、 （2009年全国高中联赛试题）椭圆x2y2a2?b2?1?a?b?0?上任意两点P，Q，若OP?OQ，

则乘积OP?OQ的最小值为 ．

2例5、 设一椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，离心率为3?3?2，若圆C:x2???y?2???1上的点

与这个椭圆上的点的最大距离是1?7，求这个椭圆的方程。

例6、 （2009重庆理）已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为y?433，离心率e?32，M是椭圆上的动点．

（Ⅰ）若C,D的坐标分别是(0,?3),(0,3)，求MCMD的 最大值；

（Ⅱ）如题图，点A的坐标为(1,0)，B是圆x2?y2?1上的点，

N是点M在x轴上的射影，点Q满足条件：OQ?OM?ON，

QABA?0．求线段QB的中点P的轨迹方程；

例7、 （2011重庆理）如图，椭圆的中心为原点O，离心率e???，一条准线的方程为x???． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设动点P满足：OPuuur?OMuuur??ONuuur，其中M,N是椭圆

上的点，直线OM与ON的斜率之积为???，问：是否

存在两个定点F?,F?，使得PF??PF?为定值？若存

在，求F?,F?的坐标；若不存在，说明理由．

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例8、 （2013重庆理）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e?22，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A?两点，AA??4． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程； （Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相较于不同的两点P、P?，过P、P?作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P?Q，求圆Q的标准方程．

x29、 已知点A,D分别是椭圆y2例a2?b2?1?a?b?0?的左顶点和上顶点，点P是线段AD上的任

意一点，点FPF111,F2分别是椭圆的左、右焦点，且1?PF2的最大值是1，最小值是?5。 （1）求椭圆C的方程。

（2）设椭圆的右顶点为B，点S是椭圆上位于x轴上方的动点，直线AS、BS与直线l:x?3415分别交于M,N两点，求线段MN的长度的最小值。

（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使?TSB的面积为

217？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由。

例10、 直角坐标Oxy中，设A、B、M是椭圆C:x24?y2?1上的三点。若OM?35OA?45OB,证明：线段AB中点在椭圆x22?2y2?1上。

x2y2例11、 （2009清华自招）椭圆a2?b2?1?a?b?0?中，直线l过点A??a,0?交y轴于Q点，交

椭圆于R点，另一直线过原点且平行于直线l，交椭圆于S，求证：AQ,AR,OS中有一个数值的2倍与另外两个数值构成等比数列。

例12、 (2013年全国高中联赛试题) 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为

x2a2?y2b2?1?a?b?0?，A1,A2分别为椭圆的左右顶点，F1,F2分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上不同于A1,A2的任意一点。若平面中两个点Q，R 满足QA1?P,1AQ2?A,2PA?1RF,1P?F2,试确定线段

RFPQRF的长度与b的大小关系，并给出证明。

例13、 在平面直角坐标系中一椭圆的两个焦点为（9,20）与（49,55），且与x轴相切，这个椭圆的

长轴是多少？ 例14、 解方程：x2?6x?12?x2?2x?4?8

例15、 求函数y?x?1?4?2x的值域。

例16、

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