江西省临川一中2015届高三10月月考数学理试题（解析版） - 图文

江西省临川一中2015届高三10月月考数学理试题（解析版）

一 选择题（每小题5分，共60分） 1.设集合M={1,2,3}，N={xlog2x?1},M?N=( )

A.{3} B,{2，3} C,{1，3} D.{1，2，3}

【答案解析】A 由N中不等式变形得：log2x＞1=log22，即x＞2， ∴N={x|x＞2}，∵M={1，2，3}，∴M∩N={3}．故选：A．

2?x?R?x?Rx2.已知命题p: ,x-2>lgx,命题q: ,>0,则（ ）

A. 命题p?q是假命题 B命题p?q是真命题 C命题p?(?q)是真命题 D命题p?(?q)是假命题

【答案解析】C 由于x=10时，x-2=8，lgx=lg10=1，故命题p为真命题，

令x=0，则x2=0，故命题q为假命题，依据复合命题真假性的判断法则， 得到命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，￢q是真命题，

进而得到命题p∧（￢q）是真命题，命题p∨（￢q）是真命题．故答案为C．

1ogx3.函数f(x)= l2-x的零点所在区间为（ ）

A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，4)

1【答案解析】B ：∵f（x）=log2x-x在定义域（0，+∞）上单调递增， 11∴f（1）=-1＜0，f（2）=2＞0，∴根据根的存在性定理得f（x）=log2x-x 的零点所在的一个区间是（1，2），故答案为：B．

4．若|a|＝2sin 15°，|b|＝4cos 15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值是（ ）

31A．2 B．3 C．23 D．2 【知识点】平面向量的数量积及应用F3

【答案解析】B 由题意可得a?b=|a|?|b|?cos＜a ，b ＞ =2sin15°4cos15°?cos30° =2sin60°=3，故选B．

【思路点拨】由题意可得 a?b=|a|?|b|?cos＜a ，b ＞，再利用二倍角公式求得结果． 【题文】5．已知tan（α+β）=，tan（β﹣A．

B．

C．

）=，那么tan（α+

）等于（ ）

D．

【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切C5

2?1【答案解析】C ∵已知tan(α+β)= 5，tan(β-4)=4，

21?54???2131?tan(???)?tan(??)1??4=54=22， ∴tan(α+4)=tan[（α+β）-（β-4）]=

tan(???)?tan(??)4故选C．

???【思路点拨】把已知的条件代入tan(α+ 4 )=tan[（α+β）-（β- 4 ）]

tan(???)?tan(??)41?tan(???)?tan(??)4，运算求得结果． =

b?c?【题文】6．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知 则cosA=（ ）

??1a2sinB?3sinC，4，

11711A．4 B．4 C．8 D．16 ?【知识点】解三角形C8

b?c?【答案解析】A 在△ABC中，∵1a4 ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，

222922c?c?4c2b?c?a43c12bc3c?c∴由①②可得a=2c，b=2．再由余弦定理可得 cosA===-4，

故答案为：A．

b2?c2?a23c2bc【思路点拨】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=2，再由余弦定理求得cosA= 的值．

y?cot(【题文】7．函数?4x??2，x?(2,6)的图象与x轴交于A点，过点A的直线l)与函数的图象交于B,C两点，则(OB?OC)?OA? ( ) A.4 B.8 C.16 D. 32

【知识点】平面向量的数量积及应用F3

????【答案解析】D y=cot（4x-2），x∈（2，6），∴4x-2∈（0，π）；

???∵y的图象与x轴交于A点，∴4x-2=2，解得x=4；∴A（4，0）； ∵过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点， 设B（x1，y1），C（x2，y2），

∴(OB?OC)?OA=4×（x1+x2）+0×（y1+y2）=4（x1+x2）=4×2×4=32．故选：D． 【思路点拨】由题意，求出A点的坐标，设出B，C两点的坐标，根据B、C与A三点的关系，求出(OB?OC)?OA的值．

【题文】8．在△ABC中，若三个内角A，B，C成等差数列且A

?11??31??11??31??,?,?,?????,????A．?24? B．?44? C．?24? D．?44? 【知识点】解三角形C8

【答案解析】C ∵在△ABC中，若三个内角A，B，C成等差数列且A＜B＜C，

2??∴A+B+C=π，2B=A+C，解得B=3，C=3-A，A∈（0，3），

?32?1∴cosAcosC=cosAcos（3-A）=cosA（-2cosA+2sinA） 311?1=-2cos2A+2sinAcosA=2sin（2A-6）-4 1∵A∈（0，3），∴2A-6∈（-6，2），∴sin（2A-6）∈（-2，1）， 1?111∴2sin（2A-6）-4∈（-2，4）故选：C

2??【思路点拨】由三角形的知识易得B=3，C=3-A，A∈（0，3 ），

??????1?1进而可得cosAcosC=2 sin（2A-6）-4 ，由角的范围和三角函数的知识可得．

【题文】9．己知等差数列

{an}的首项为a1，公差为d，其前n项和为Sn，若直线y?a1x22(x?2)?y?1的两个交点关于直线x?y?d?0对称，则Sn?（ ） 与圆

A.n B.?n C.2n?n D.n?2n

【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系H4

【答案解析】C ∵直线y=a1x与圆（x-2）2+y2=1的两个交点关于直线x+y+d=0对称， ∴y=a1 x必定和x+y+d=0垂直∴a1=1，

∴y=a1 x与圆两个交点的中点必过x+y+d=0，联立方程：解得：d=-2

2222n(n?1)2×(-2)=2n-n2故选C． ∴Sn=n×1+【思路点拨】利用直线y=a1x与圆（x-2）2+y2=1的两个交点关于直线x+y+d=0对称，可得

a1=1，d=-2，利用等差数列的求和公式，即可得到结论．

?2x?1(0?x?1)?f(x)??1?(x?1)?x【题文】10．已知奇函数f (x)和偶函数g(x)分别满足 ，

g(x)??x2?4x?4(x?0)，若存在实数a，使得 f(a)?g(b)成立，则实数b的取值范

围是

11(?,)A．(-1,1) B．33 C．(?3,?1)?(1,3) D．(??,?3)(3,??)

【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性与周期性B3 B4

?2x?1(0?x?1)?f(x)??1?(x?1)?x【答案解析】C ∵f（x）为奇函数，且，

∴f（x）的图象关于原点对称，如右图，当x＞0时，f（1）取最大值，且为1；当x＜0时，

f（-1）最小，且为-1．∵g（x）为偶函数，且g（x）=-x2+4x-4（x≥0），∴g（x）的图象关于y轴对称，如图，且g（x）=-x2+4|x|-4，∵存在实数a，使得f（a）＜g（b）成立，∴g（b）＞-1，即-b2+4|b|-4＞-1，

∴b2-4|b|+3＜0，即1＜|b|＜3，∴1＜b＜3或-3＜b＜-1． ∴b的取值范围是（1，3）∪（-3，-1）．故选：C． 【思路点拨】由f（x）、g（x）的奇偶性，画出它们的图象，求出x＜0时，f（x）的最小值，以及g（x）=-x2+4|x|-4，由存在实数a，使得f（a）＜g（b）成立，只需g（b）＞f（-1），即可得到b的取值范围

【题文】11.函数f(x)?sinx?2|sinx|(x?[0,2?])的图象与直线y?k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是

A．[?1,1] B．(1,3) C．(?1,0)(0,3) D．[1,3]

【知识点】函数与方程B9

【答案解析】B 由题意知，f（x）=sinx+2|sinx|（x∈[0，2π）

?3sinx,x?[0,?)??sinx,x???,2??=?，

在坐标系中画出函数图象：

由其图象可知当直线y=k，k∈（1，3）时， 与f（x）=sinx+2|sinx|，

x∈[0，2π+的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点．故选B．．

【思路点拨】根据sinx≥0和sinx＜0对应的x的范围，去掉绝对值化简函数解析式，再由解析式画出函数的图象，由图象求出k的取值范围．

32f(x)?x?6x?9x?abc,a?b?c，且f(a)?f(b)?f(c)?0，【题文】12．已知

现给出如下结论：

222①f(0)?f(3)；②f(0)f(1)?0；③f(1)f(3)?0；④a?b?c?18.其中正确结论

个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【知识点】 【答案解析】 【思路点拨】

第II卷（非选择题）

【题文】二填空题（每题5分）

【题文】13.已知m,n是夹角为120的单位向量，向量a?tm?(1?t)n，若n?a，则实数

t? ．

【知识点】平面向量的数量积及应用F3

2【答案解析】3 ∵m, n是夹角为120°的单位向量，向量a=tm+（1-t）n，n⊥a， 3∴n.a=n[tm?(1?t)n]=tm?n+（1-t）n=t?cos120°+1-t=1-2t=0，

222解得t=3．故答案为：3．

【思路点拨】由已知得n?a?n[tm?(1?t)n]?0由此能求出实数t．

?an??loga?1?loga(n?N)，且 a2?a4?a6?9， 3n3n?1【题文】14.已知数列满足

则

log3(a5?a7?a9)的值是 ．

【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3

【答案解析】5 ∵数列{an}满足 log3an+1=log3an+1（n∈N*），∴3an=an+1， ∴数列{an}是等比数列．则公比为q=3．

∵a2+a4+a6=9，∴a5+a7+a9=q3（a2+a4+a6）=27×9=35， 则log3（a5+a7+a9）=log335=5．故答案为：5．

【思路点拨】数列{an}满足 log3an+1=log3an+1（n∈N*），可得3an=an+1，因此数列{an}是等比数列，则公比为q=3．再利用等比数列的性质、对数的运算性质即可得出．

【题文】15已知数列

?an?满足a1?6，an?1?an?2n，记cn?ann，且存在正整数M，使

*n?N,cn?M恒成立，则M的最大值为 ．

得对一切

【知识点】单元综合D5

【答案解析】4 ∵an+1-an=2n，∴an-an-1=2n-2，…a2-a1=2， ∴an-a1=2[（n-1）+（n-2）+…1+=n（n-1）∴an=n（n-1）+6，

an66∴cn=n=n+ n=n+n-1≥5-1=4

∵对一切n∈N*，cn≥M恒成立，∴M的最大值为4．故答案为：4．

an6【思路点拨】利用叠加法，求出an=n（n-1）+6，可得cn= n=n+ n-1，利用单调性求最

值，即可得出结论．

f(x)?【

题

文

】

16

已

知

函

数

xx?1x?2x?3???x?1x?2x?3x?4，则

55f(??3)?f(??3)?22___．

【知识点】单元综合B14

11111111【答案解析】8 f(x)=1-x?1+1-x?2+1-x?3+1-x?4=4- x?1-x?2-x?3-x?4 11115555(??3)?1(??3)?4(??3)?2(??3)?32222因为--=0，--=0，

所以答案为8

【思路点拨】先化简找出关系，再求出结果。 【题文】三、解答题

f(x)?cos(2x?π)?2sin2x3【题文】17．(10分)已知函数， f(α)?34，求sin的值. (1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)若为锐角，且2【知识点】三角函数的图象与性质C3

【答案解析】（1）π(2)

15?38 ???（1）∵f(x)=cos(2x-3)+2sin2x=cos2x?cos3+sin2x?sin3+(1-cos2x) 3311?=2cos2x+2sin2x+1-cos2x=2sin2x-2cos2x+1=sin(2x-6)+1 ∴f（x）的最大值为2，最小正周期为π．

??3?1（2）由f(2)=sin(α-6)+1=4得sin(α-6)=-4，

15∵0＜α＜2，∴-6＜α-6＜3，∴cos(α-6)=4，

15?38∴sinα=sin*(α-6)+6]=sin(α-6)cos6+cos(α-6)sin6=． 15?38∴sinα的值．

????????????【思路点拨】（1）首先，借助于二倍角公式化简函数解析式，f（x）═sin(2x-6 )+1， 然后，根据三角函数的图象和性质求解；

?3?1?（2）根据（f2）= 4，得到sin(α-6 )=-4 ，然后，结合α为锐角，求解cos(α-6 )= 154 ，

??最后，结合α=（α-6 ）+6 ，求解sinα的值． 【题文】18．(12分)已知

?an?是等差数列，满足a1?3，a4?12，数列?bn?满足b1?4，

b4?20，且?bn?an?是等比数列.

（1）求数列

?an?和?bn?的通项公式； （2）求数列?bn?的前n项和.

【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3

【答案解析】⑴

an?a1??n?1?d?3n?n?1，2，d??（2）bn?3n?2n?1?n?1，2，?

a⑴ 设等差数列?n?的公差为d，由题意得所以q3?a4?a112?3??333，

an?a1??n?1?d?3n?n?1，2，?．设等比数列?bn?an?的公比为q，由题意得

b4?a420?12??8bn?an??b1?a1?qn?1?2n?1q?2b1?a14?3，解得．所以．

从而

bn?3n?2n?1?n?1，2，bn?3n?2n?1?.

⑵ 由⑴知

3?n?1，2，?．数列?3n?的前n项和为2n?n?1?， 数列2n?1的前

??1?2n3n1×?2n?1nn?1?2?1??bn??n项和为n1?22．所以，数列的前项和为. 【思路点拨】（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论；

（Ⅱ）利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列的和． 【题文】19．(12分)如图,在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AD?平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．

（1）求证：BC⊥A1B

（2）若AD?3，AB?BC?2，P为AC的中点，求二面角P?A1B?C的平面角的余弦值

A1C1B1DAPCB

【知识点】空间中的垂直关系空间角与距离的求法G5 G11 【答案解析】 （1）证明：

三棱柱 ABC?A1B1C1为直三棱柱，

?A1A?平面ABC，又BC?平面ABC， ?A1A?BC

-

AD?平面A1BC，且BC?平面A1BC，

?AD?BC． 又 AA1?平面A1AB,AD?平面A1AB,A1A?AD?A， ?BC?平面A1AB， 又A1B?平面A1BC，? BC?A1B

AAB，AB?平面A1AB,从而BC?AB

（2）由（1）知BC?平面1如图,以B为原点建立空间直角坐标系B?xyz

AD?平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上,? AD?A1B．

z A1C1B1y DAx PCB 在Rt??ABD中，AD?3，AB=2，sin?ABD?AD3?0AB2,?ABD?60 0AA?AB?tan60?23, Rt??ABAABC?ABCAA?111111AB在直三棱柱 中，．在中，

则B（0,0,0）,A(0,2,0),C（2，0，0）,P（1，1，0）,A1（0，2，23）,BP?(1,1,0)

BA1?（0，2，23）BC?(2,0,0)

设平面PA1B的一个法向量n1?(x,y,z)

??n1?BP?0??x?y?0???2y?23z?0 可得n1?(3,?3,3) ?n1?BA1?0即?则 ?设平面CA1B的一个法向量n2?(x,y,z)

??n2?BC?0?x?0??2y?23z?0n?BA?0?21则 ?即? 可得n2?(0,?3,3)

cosn1,n2?n1?n2n1n2?277 27?二面角P?A1B?C平面角的余弦值是7 12分

（2）或?AD?平面A1BC,则AD即为平面A1BC的法向量在Rt??ABD中，

33130,,)AD?(0,?,)AD?3，AB=2,则BD=1 可得D（22 22 cosn1?AD?n1?ADn1AD?277 27?二面角P?A1B?C平面角的余弦值是7 12分

【思路点拨】（Ⅰ）由已知得A1A⊥平面ABC，A1A⊥BC，AD⊥BC．由此能证明BC⊥A1B． （Ⅱ）由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，从而BC⊥AB，以B为原点建立空间直角坐标系B-xyz，利用向量法能求出二面角P-A1B-C的平面角的余弦值． 【题文】20．(12分)数列

{an}的前n项和记为Sn,a1?t,点?Sn,an?1?在直线y?2x?1上，

?a?其中n?N*．（1）若数列n是等比数列，求实数t的值；

（2）设各项均不为0的数列

{cn}中，所有满足ci?ci?1?0的整数i的个数称为这个数列

{cn}的“积异号数”，令cn?nan?4{c}nan（n?N?）

，在（1）的条件下，求数列n的“积

异号数”

【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3 【答案解析】（1）1（2）1

?an?1?2Sn?1?a?2Sn?1（1）由题意，当n≥2时，有?n，两式相减，得an+1-an=2an，

∴an+1=3an，n≥2，∴当n≥2时，{an}是等比数列，要使n≥1时，{an}是等比数列，

a22t?1a则只需1=t=3，解得t=1．

nan?4n?3n?1?1nan=n?3n?1 （2）由（1）得等比数列{an}的首项为a1=1，公比为q=3，∴an=3n-1，∴cn=

441n?1=1-n?3，∵c1=1-4=-3，c2=1-2?3=3，∴c1c2=-1＜0，

44(2n?3)41nnn?1∵cn+1-cn=n?3-(n?1)3=n(n?1)3＞0，∴{cn}递增，由c2=3＞0，得n≥2时，cn＞0，

∴数列{cn}的“积异号数”为1．

?an?1?2Sn?1?a?2Sn?1【思路点拨】（1）由题意，当n≥2时，有 ?n，两式相减，得an+1-an=2an，

由此能求出t=1．

nan?4n?3n?1?14nan=n?3n?1 =1- n?3n?1，由此能求出数列{cn}

（2）由（1）得an=3n-1，从而cn=

的“积异号数”为1．

x22?y?1(a?0)2【题文】21．(12分)已知点F是椭圆1?a的右焦点，点M(m,0)、N(0,n)分别是x轴、y轴上的动点，且满足MN?NF?0．若点P满足OM?2ON?PO． （1）求点P的轨迹C的方程；

（2）设过点F任作一直线与点P的轨迹交于A、B两点，直线OA、OB与直线x??a分别交于点S、T（O为坐标原点），试判断FS?FT是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

【知识点】椭圆及其几何性质H5

2y?4ax； （2）FS?FT的值是定值，且定值为0． 【答案解析】（1）

x2?y2?1(a?0)2（1）?椭圆1?a右焦点F的坐标为(a,0)，

?NF?(a,?n)．MN?(?m,n)，?由MN?NF?0，得n2?am?0.

设点P的坐标为(x,y)，由OM?2ON?PO，有(m,0)?2(0,n)?(?x,?y)，

?m??x,??yn?.2?2代入n2?am?0，得y?4ax. ?y12y22A(,y1)B(,y2)x?ty?a4a4a（2）（法一）设直线AB的方程为，、，

lOA:y?则4a4axlOB:y?xy1，y2.

由4a?y?x,?y?1?x??a?4a24a2S(?a,?)T(?a,?)yy12，得， 同理得．

4a24a216a42?FS?(?2a,?)FT?(?2a,?)FS?FT?4a?y1，y2，则y1y2.

?x?ty?a,?2222y?4ax?yy??4ay?4aty?4a?0?12由，得，.

16a422FS?FT?4a??4a?4a?02(?4a)则.

2因此，FS?FT的值是定值，且定值为0.

【思路点拨】1）设点P（x，y），由题意可知，，消去n与m可得y2=4ax．

（2）设过F点的直线l方程为：y=k（x-a），与轨迹C交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，得：k2x2-（2ka+4a）x+k2a2=0，则x1x2=a2，y1y2=-4a2．即可得到答案．

2f(x)?a(x?1)?lnx?1． 【题文】22．(12分)已知函数

a??（1）当14时，求函数f(x)的极值；

（2）若函数f(x)在区间[2,4]上是减函数，求实数a的取值范围；

?x?1?y?x?0所表示的平面区域内，求x?[1,??)y?f(x)（3）当时，函数图象上的点都在?实数a的取值范围．

【知识点】导数的应用B12

f(2)?【答案解析】（1）极大值31?ln2(??,?]44；；（2）（3）(??,0].

a??：（1）当11113f(x)??(x?1)2?lnx?1??x2?x?lnx?(x?0)4时，4424，

111(x?2)(x?1)f'(x)??x????(x?0)2x22x，

''f(x)?0f0?x?2由解得，由(x)?0解得x?2，

故当0?x?2时，f(x)的单调递增；当x?2时，f(x)单调递减，

∴当x?2时，函数f(x)取得极大值f(2)?3?ln24. f'(x)?2a(x?1)?（2）1x，∵函数f(x)在区间[2,4]上单调递减，

f'(x)?2a(x?1)?∴11?02a?2x?x?x在[2,4]上恒成立， 在区间[2,4]上恒成立，即12只需2a不大于?x?x在[2,4]上的最小值即可．

11?111?x2?x?(x?1)2?1?[?,?]2(2?x?4)2?x?424?x?x212而，则当时，， 2a??∴111a??(??,?]2，即4，故实数a的取值范围是4． 8分

?x?1?y?x?0所表示的平面区域内，即当x?[1,??)时，不等式f(x)（3）因图象上的点在?f(x)?x恒成立，即a(x?1)2?lnx?x?1?0恒成立，设g(x)?a(x?1)2?lnx?x?1（x?1），只需

'g(x)max?0即可．

12ax2?(2a?1)x?1g(x)?2a(x?1)??1?xx由，

g'(x)?1?x'x，当x?1时，g(x)?0，函数g(x)在(1,??)上单调递

（ⅰ）当a?0时，减，故g(x)?g(1)?0成立．

（ⅱ）当a?0时，由g'(x)?2ax?(2a?1)x?1?x22a(x?1)(x?x1)2a'g，令(x)?0，得

x1?1或x2?12a，

11?1a?'2时，在区间(1,??)上，g(x)?0，函数g(x)在(1,??)上单调递增，①若2a，即函数g(x)在[1,??)上无最大值，不满足条件；

1111?10?a?(1,)(,??)2时，函数g(x)在2a上单调递减，在区间2a②若2a，即上单调递增，同样g(x)在[1,??)上无最大值，不满足条件．

2a(x?1)(x?（ⅲ）当a＜0时，由g′(x)=

1)2a，因x∈（1，+∞），故g'（x）＜0，则函数

xg（x）在（1，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（1）=0成立．

综上所述，实数a的取值范围是（-∞，0]．

【思路点拨】把a代入求导数求出极值点，通过增减性求出最值确定a的范围。

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