初中四边形辅助线规律

3.1 一般四边形常用的辅助线 1、连对角线构造三角形

【例1】 已知：如图（1），在四边形ABCD中，AB=3,BC=4,CD=13,AD=12,

?B?90?.求四边形ABCD的面积。

分析：由?B?90?，AB=3,BC=4,联想到连结AC，利用勾股定理解得AC=5,又AD=12,CD=13,由勾股定理的逆定理有

?DAC为直角，从而S四边形ABCD?S?ABC?S?ACD 。

解：连结AC，在Rt?ABC中，AC2?AB2?BC2?32?42?25?CD?13,AD?12?AD2?AC2?CD2??ACD是直角三角形，?DAC?90??S四边形ABCD?S?ABC?S?ACD??

2、 延长对边构造三角形

【例2】 如图（2），在四边形ABCD中，

?A?60?,?B??D?90?,BC?2,CD=3,

11AB?BC?AD?AC2211?3?4??12?5?3622则AB等于多少？

分析：?A?60?,?B?90?,如果延长AD、BC即可出现30?角的直角三角形，从而把四边形问题转化为三角形只是解决。

解：延长AD交BC的延长线于点G??ABC?90?,?A?60?又??ADC?90??CG?2CD?6,BG?BC?CG?8在Rt?ABG中，设AB?x,则AG?2x,BG??x?833即AB?8333x?8??G?30?

例谈四边形中的辅助线

3、化为三角形和特殊四边形

【例3】 在四边形ABCD中，AD=3,BC?33,BD=7, ，求： CD的长 ?BAD?120?,?ABC?90?. 如图（3）和AB的长。

二、 多边形中常用的辅助线

一般地，解决多边形问题的思路是：转化为三角形和特殊四边形的问题来解决。

1连对角线转化

【例4】 已知：如图（4），求证：

?A??B??C??D??E??F?360?

分析：要证此六角只和为360?，想到四边形的内角和为360?，故转化为一个四边形的四个内角，由图很容易想到连结BE。

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例谈四边形中的辅助线

证明：连结BE??1??C??D,?1??CBE??DEB??C??D??CBE??DEB??A??ABC??C??D??DEF??F??A??ABC??CBE??DEB??DEF??F??A??ABE??BEF??F?360?

2延长边的转化

【例5】 如图（5），在六边形ABCDEF中

?A??B??C??D??E??F?120?。

求证：AB+BC=EF+ED。

分析：由题意知各角都为120?，想到它的外角为60?，如果延长各边，能得到等边三角形，又由求

证AB+BC=EF+ED想到延长所涉及的边构成线段；当题中涉及到120?,60?,45?,30?等特殊角时，常想到把他们转化到特殊三角形中，如等边三角形、直角三角形等。

三、平行四边形常用的辅助线（矩形、菱形，正方形与其相同）

1、过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题

【例6】 如图（8），已知点P是矩形ABCD内一点，PA=3,PB=4,PC=5,求PD的长。

分析：利用已知条件，可过P分别作两组对边

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例谈四边形中的辅助线

的平行线，构造直角三角形借助勾股定理解决问题。

2、延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形

【例7】 已知如图（9），正方形ABCD中，E、F分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点。求证：AP=AB。

分析：F为AB的中点，若延长CF交BA延长线于点K，则有

?CDF??KAF,故AK=CD=AB,再利用

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证题。

3、把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线

【例8】 已知：如图（11），中，AN=BN,BE?求BF:BD。

分析：N为AB的中点，若连结AC与BD交于点O，则ON为?ABC的中位线，利用对应线段成比例，则结论可证。

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ABCD1BC，NE交BD于点F。3例谈四边形中的辅助线

解：连结AC交BD于点O,连结ON.。?四边形ABCD为平行四边形?AN?BN1BC3BF1??BD5?BE??AO?OC,BO?OD?BD21BEBF?ON//BC,?2ONFOBF2?BE:ON?2:3,?FO3

?BF2?BO5

4、把以一边中点为端点的线段延长，构造全等三角形

【例9】 如图（12），过正方形ABCD的顶点B作BE//AC,且AE=AC,又CF//AE。求证：?BCF?1?AEB。 2分析：由BE//AC,CF//AE,AE=AC知四边形AEFC 是菱形，连结BD,作AH?BE垂足为H点，根据正 方形的一些性质可以知道，四边形AHBO是正方形， 从而AH?AO?11AC?AE，可得?E??ACF?30?,?BCF?15? 22证明：连结BD交AC于O，作AH?BE交BE于H在正方形ABCD中，AC?BD,AO?BO又BE//AC,AH?BE?BO?BE,四边形AOBH为正方形?AE?AC??AEH?30??四边形ACFE是菱形，?AEF??ACF?30???ACB?45?,?BCF?15??AH?AO?1AC2

?BE//AC,AE//CF?AC是正方形的对角线??BCF?1?AEB2

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