最新2019年高考数学一轮复习专题探究课1函数与导数中的高考热点问题理北师大版

一 函数与导数中的高考热点问题

(对应学生用书第44页)

[命题解读] 函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，函数与

导数是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有．

函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在

定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：

(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调

性、极值、最值，求参数的范围．

(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．

(1)讨论f (x )的单调性；

(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．

[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x

－a . 若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．

若a >0，则当x ∈? ??

??0，1a 时，f ′(x )>0； 当x ∈? ??

??1a ，＋∞时，f ′(x )<0. 所以f (x )在? ????0，1a 上单调递增，在? ??

??1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；

当a >0时，f (x )在x ＝1a

取得最大值，最大值为 f ? ????1a ＝ln ? ????1a ＋a ? ????

1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ????1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.

令g(a )＝ln a ＋a －1，则g(a )在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.

于是，当01时，g(a )>0.

因此，a 的取值范围是(0,1)． x 的符号问x ＞x ＜0，最终可转化为一个一元一次不等式或一元二次不等f x 的单调性，则转化为不等式x 或x 在单调区间上恒

成立问题求解.

] (2018·福州质检ln x ＋x 2－R ).

【导学号：79140096】

(1)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间；

(2)求g (x )＝f (x )－2x 在区间[1，e]的最小值h (a )．

[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a

x ＋2x －a ＝2x2－ax ＋a x

， 因为x ＝3是f (x )的极值点，

所以f ′(3)＝18－3a ＋a 3

＝0，解得a ＝9. 所以f ′(x )＝2x2－9x ＋9x ＝(2x －3)(x －3)x

， 所以当0＜x ＜32

或x ＞3时，f ′(x )＞0； 当32

＜x ＜3时，f ′(x )＜0. 所以f (x )的单调递增区间为? ????0，32和(3，＋∞)，单调递减区间为? ??

??32，3. (2)由题知，g (x )＝f (x )－2x ＝a ln x ＋x 2

－ax －2x . g ′(x )＝2x2－ax ＋a x －2＝(2x －a)(x －1)x

. ①当a 2

≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上为增函数， h (a )＝g (1)＝－a －1；

②当1＜a 2＜e ，即2＜a ＜2e 时，g (x )在??????1，a 2上为减函数，在? ????a 2，e 上为增函数，

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