高数上教案1
更新时间:2023-12-27 22:16:01 阅读量: 教育文库 文档下载
教 案
日期: 授课章节 教学目的 和要求 教学重点 和难点 教学进程 §10.1对弧长的曲线积分 §10.2对坐标的曲线积分 1理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系 2掌握计算两类曲线积分的方法 两类曲线积分的计算方法 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 定义 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧? 函数f(x? y)在L上有界? 在L上任意插入一点列M1? M2? ? ? ?? Mn?1把L分在n个小段. 设第i个小段的长度为?si? 又(?i? ?i)为第i个小段上任意取定的一点? 作乘积f(?i? ?i)?si? (i?1? 2?? ? ?? n )? 并作和?f(?i,?i)?si? 如果当各小弧段的长度的最大值??0? i?1n这和的极限总存在? 则称此极限为函数f(x? y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分? n记作?Lf(x,y)ds? 即lim?f(?i,?i)?si? ?Lf(x,y)ds???0i?1其中f(x? y)叫做被积函数? L 叫做积分弧段? 对弧长的曲线积分的性质? 性质1 设c1、c2为常数? 则 ?L[c1f(x,y)?c2g(x,y)]ds?c1?Lf(x,y)ds?c2?Lg(x,y)ds? ?Lf(x,y)ds??Lf(x,y)ds??L1 性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2? 则 f(x,y)ds? 2 性质3设在L上f(x? y)?g(x? y)? 则 ?Lf(x,y)ds??Lg(x,y)ds? ?Lf(x,y)ds|??L|f(x,y)|ds 特别地? 有 |二、对弧长的曲线积分的计算法 定理 设f(x? y)在曲线弧L上有定义且连续? L的参数方程为 x??(t)? y??(t) (??t??)? 其中?(t)、?(t)在[?? ?]上具有一阶连续导数? 且??2(t)???2(t)?0? 则曲线积分?Lf(x,y)ds存在? 且 ?Lf(x,y)ds??f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dt(?)? ??小结? 用曲线积分解决问题的步骤? (1)建立曲线积分? (2)写出曲线的参数方程 ( 或直角坐标方程) ? 确定参数的变化范围? (3)将曲线积分化为定积分? (4)计算定积分? 三、对坐标的曲线积分的概念与性质 变力沿曲线所作的功? 对坐标的曲线积分的定义? 定义 设函数f(x? y)在有向光滑曲线L上有界? 把L分成n个有向小弧段L1? L2? ? ? ?? Ln? 小弧段Li的起点为(xi?1? yi?1)? 终点为(xi? yi)? ?xi?xi?xi?1? ?yi?yi?yi?1? (?i? ?)为Li上任意一点? ?为各小弧段长度的最大值? 如果极限??0lim?f(?i,?i)?xi总存在? 则称此极限为函数f(x? y)在有向曲线L上对坐i?1n标x的曲线积分? 记作n?Lf(x,y)dx? 即 lim?f(?i,?i)?xi ?Lf(x,y)dx???0i?1 对坐标的曲线积分的简写形式? ?LP(x,y)dx??LQ(x,y)dy??LP(x,y)dx?Q(x,y)dy? ??P(x,y,z)dx???Q(x,y,z)dy???R(x,y,z)dz ??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz ? 对坐标的曲线积分的性质? (1) 如果把L分成L1和L2? 则 ?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy??LPdx?Qdy? 12 (2) 设L是有向曲线弧? ?L是与L方向相反的有向曲线弧? 则 二、对坐标的曲线积分的计算? 定理? 设P(x? y)、Q(x? y)是定义在光滑有向曲线L? x??(t)? y??(t)? 上的连续函数? 当参数t单调地由?变到?时? 点M(x? y)从L的起点A沿L运动到终点B? 则 ??LP(x,y)dx?Q(x,y)d???LP(x,y)dx?Q(x,y)dy? ?LP(x,y)dx??P[?(t),?(t)]??(t)dt? ?? ?LQ(x,y)dy???Q[?(t),?(t)]??(t)dt? ?应注意的问题? 下限a对应于L的起点? 上限? 对应于L的终点? ?不一定小于? ? 三、两类曲线积分之间的联系 由定义? 得 ?LPdx?Qdy??L(Pcos??Qsin?)ds ?L?L ?{P,Q}?{cos?,sin?}ds?F?dr? 其中F?{P? Q}? T?{cos?? sin?}为有向曲线弧L上点(x? y)处单位切向量? dr?Tds?{dx? dy}? 类似地有 ??Pdx?Qdy?Rdz???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds ???? ?{P,Q,R}?{cos?,cos?,cos?}ds?F?dr? 其中F?{P? Q? R}? T?{cos?? cos?? cos?}为有向曲线弧?上点(x? y? z)处单们切向量? dr?Tds ?{dx? dy? dz }? 例1?计算习题 ?Lxydx? 其中L为抛物线y2?x上从点A(1? ?1)到点B(1? 1)的一段弧? 例4? 计算??x3dx?3zy2dy?x2ydz? 其中?是从点A(3? 2? 1)到点B(0? 0? 0)的直线段AB? x2?y2?1 例5? 一个质点在力F的作用下从点A(a? 0)沿椭圆2按逆时针方ab2向移动到点B(0? b)? F的大小与质点到原点的距离成正比? 方向恒指向原点? 求力F所作的功W?
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