2015届黑龙江省哈尔滨市第24中学第一次模拟数学试卷（含解析）

???线????○???? ???线????○????

绝密★启用前 ①若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题；

②命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b－1”；

2③“?x∈R，x2＋1≥1”的否定是“?x0∈R，x0＋1≤1”

黑龙江省哈尔滨市第24中学2015届高三第一次模拟考试

数学测试试卷

考试时间：120分钟；命题人：范尚智 题号 一 二 三 四 五 总分 _______ ④给出四个函数y＝x－1，y＝x，y＝x2，y＝x3，则在R上是增函数的有?__?○__?：○?号??考?_?_?_订_?__订?__?_?_?_?：??级?○班?_○__??__??___??__?装_：装?名??姓??__??__?○___○?__??__??:校??学?外内????????○○????????得分 3个．

其中不正确的命题个数是 （ ）

注意事项：

A．4 B．3 C．2 D．1 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 5. 已知向量，

，

，若

，则实数

的值为（ ）

第I卷（选择题）

请修改第I卷的文字说明 A. B. C. D.

6. 执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为15评卷人 得分 8，则判断框内应填入 一、单项选择

的条件是（ ）

1. 已知函数f(x)?x3在点P处的导数值为3，则P点的坐标为( ) A.（－2，－8） B.（－1，－1）

C.（－2，－8）或（2，8） D.（－1，－1）或（1，1）

(2?i)22. i?（ ） A．4?3i B．4?3i C．?4?3i D．?4?3i

3. 若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( )

A.4 B.2 C.0 D.0或4 A．k?3 B．k?3 C．k?4 D．k?4

4. 给出如下四个命题：

7. 已知等差数列?an?中，a2?6，a5?15，若bn?a2n，则数列?bn?的

第1页 共8页 ◎ 第2页 共8页

???线????○????

前5项和等于( )

A．30 B．45 C．90 D．186 8. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝( )． A．－ B．－ C. D. 9. 已知数列A．?3 B．?2 C．?1 D．2

12. 如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连结EC、ED,则sin∠CED=( )

?n?2?，欲使它的前n项的乘积大于36，则n的最小值为

???线????○???? 题※※ ??n??A.

B.

C.

D.

（ ）

第II卷（非选择题）

A．7 B．8 C．9 D．10

请修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 10. 双曲线

x24?y25?1的渐近线方程为（ ） 二、填空题

55 A．y??4x B．y??2x C

．

y??55x 13. 在?ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，且c?42,B?45o，25面积S?2，则b=___________.

D．y??5x 14. 已知函数

f(x)?x2?ax?a?1的两个零点一个小于

3，一个大

11. 已知f?x?是定义在R上的奇函数，且x?0时f?x?的图像如图所于3，则实数a的取值范围是 .

15. 在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则

示，则f??2??（ ）

AE·BD＝________.

16. 函数f(x)?4?x2lnx的定义域为______________．

评卷人 得分 三、解答题

第3页 共8页 ◎ 第4页 共8页

?※?○※?答○?※??※??内?订※?※订?线??※?※??订?○※??※○?装?※??※??在装※??※装?要??※??※?不?○※○?※请??※??※???内外????????○○???????????线????○???? ???线????○????

17. 已知向量m?(sinA,sinB),n?(cosB,cosA),m?n?sin2C,且A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角． （1）求角C的大小； （2）若sinA,sinC,sinB成等差数列,且CA?(AB?AC)?18，求c边的长． （2）从统计学的角度考虑，你认为选派那位学生参加比赛合适，请说明理由？ （3）若将频率视为概率，对甲同学在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩高于79个/分钟的次数为?，求?的分布列及数学期望E?． （参考数据：

_______ 22?12?112?102?62?72?12?22?316，

?__?○__?：○?号??考?_?_?_订_?__订?__?_?_?_?：??级?○班?_○__??__??___??__?装_：装?名??姓??__??__?○___○?__??__??:校??学?外内????????○○????????18. 如图，?ABC中，AC?BC?222AB，四边形ABED是矩形，AB?2，02?11?122?22?52?52? 平面ABED?平面ABC，G、F分别是EC、BD的中点，EC与平面ABC42?32?344）

所成角的正弦值为63. 20. 已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，EDF2为焦点的椭圆C，过点（1，），

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

GF（Ⅱ）设（T2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且=λ，

BA若λ∈[﹣2，﹣1]，求|

+

|2的最小值．

C 21. 已知函数f(x)?lnx?ax. （Ⅰ）求证：GF∥底面ABC； （Ⅱ）求BD与面EBC的所成角． （Ⅰ）若a?0,求函数f(x)的单调区间； 19. 某校为了响应《中共中央国务院关于加强青少年体育增强青少年体质的意见》精神，落实“生命—和谐”教育理念和阳光体育行动的现代（Ⅱ）若f(x)在[1,e]上的最小值为

32，求a的值； 健康理念，学校特组织“踢毽球”大赛，某班为了选出一人参加比赛，对班上甲乙两位同学进行了8次测试，且每次测试之间是相互独立．成绩（Ⅲ）若f(x)?x2在(1,??)上恒成立，求a的取值范围.

如下：（单位：个/分钟） 22. 已知：如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，且AC=AB，CO甲 80 81 93 72 88 75 83 与⊙84 O相交于点P，CO的延长线与⊙O相交于点F，BP的延长线与AC相乙 82 93 70 84 77 87 78 交于点85 E． （1）求证：=

；

（1）用茎叶图表示这两组数据 第5页 共8页 ◎ 第6页 共8页

???线????○????

（2）设AB=2，求tan∠CPE的值．

???线????○???? 题※※

23. 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与X轴的正半轴重合．直线l的极坐标方程为：?sin(???16)?2，曲线C的参数方程为：??x?2?2cos??y?2sin?(?为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程；

（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 24. 用分析法证明：若a?0，则a2?1a2?2?a?1a?2. 第7页 共8页 ◎第8页 共8页?※?○※?答○?※??※??内?订※?※订?线??※?※??订?○※??※○?装?※??※??在装※??※装?要??※??※?不?○※○?※请??※??※???内外????????○○????????

参考答案

一、单项选择 1.【答案】D 【解析】

2.【答案】C．

(2?i)23?4i???4?3i． 【解析】ii3.【答案】A

【解析】若a＝0，则A＝?，不符合要求；若a≠0，则Δ＝a2－4a＝0，得a＝4，故选A.

4.【答案】B 【解析】 5.【答案】A 【解析】由已知

，因为

，所以

，即

，

解得.

6.【答案】C 【解析】 7.【答案】C 【解析】 8.【答案】B

【解析】由角θ的终边在直线y＝2x上可得tan θ＝2，cos 2θ＝cos2 θ－sin2θ＝＝

9.【答案】B 【解析】数列?＝－.

345?n?2??的前n项的乘积：

123?n?n?2?n?1??n?2???36即：

n2n2?3n?70?0解得：n??10或n?7且n?N?，所以n的最小值为8，所以答案为

B.

考点：1.数列计算；2.解一元二次不等式. 10.【答案】B 【解析】 11.【答案】B

【解析】由于f?x?是奇函数，f??2???f?2?，由图知，f??2???f?2???2 12.【答案】B

【解析】在Rt△EAD和Rt△EBC中,易知ED=CED=

=

=

.

,EC=,在△DEC中,由余弦定理得cos∠

答案第1页，总8页

∴sin∠CED=

二、填空题 13.【答案】5

,故选B.

【解析】由面积公式S?14.【答案】【解析】

1acsinB，带入已知条件得a?1，再由余弦定理得b?5. 2???,?2?

f(3)?0,?9?3a?a?1?0,即a??2

15.【答案】1

【解析】以A为原点，AB所在的直线为x轴，过A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系．

则由A(0,0)、B(2,0)、E(2，可得AE·BD＝1.

16.【答案】(0,1))、D(1，

)，

(1,2]

?4?x2?0??2?x?2【解析】由已知?,故答案为(0,1)(1,2]. ,解得?x?0且x?1??x?0且x?1三、解答题

17.【答案】（1）C?

?3;（2）c?6.

思路点拨：（1）按数量积公式及两角和差公式由m?n?sin2C可得sin2C?sinC,再根据二倍角公式可得cosC,从而可得角C.（2）由sinA,sinC,sinB成等差数列,可得

2sinC?sinA?sinB，由正弦定理可转化为边间的关系,即2c?a?b.由

CA?(AB?AC)?18可得ab的值,用余弦定理可得c.

试题解析：解：（1）m?n?sinA?cosB?sinB?cosA?sin(A?B) 对于?ABC,A?B???C,0?C???sin(A?B)?sinC，

?m?n?sinC.

答案第2页，总8页

又?m?n?sin2C，

?sin2C?sinC,cosC?1?,C?. 23（2）由sinA,sinC,sinB成等差数列,可得2sinC?sinA?sinB， 由正弦定理得2c?a?b.

?CA?(AB?AC)?18,?CA?CB?18，

即abcosC?18,ab?36.

由余弦弦定理c2?a2?b2?2abcosC?(a?b)2?3ab，

?c2?4c2?3?36,c2?36，

?c?6.

考点：1正弦定理,余弦定理;2数量积公式.

【解析】 18.【答案】（Ⅰ）连接AE，∵四边形ABED是矩形，∴对角线AE与BD互相平分，又F为BD的中点，∴F为EA的中点，又G为EC的中点，∴GF//AC，GF?底面ABC，AC?底面ABC，

∴GF∥底面ABC．

（Ⅱ）∵平面ABED?平面ABC，平面ABED?平面ABC=AB，EB?AB， EB?平面ABED，∴EB?平面ABC， ∴CB是斜线CE在平面ABC内的射影，

∴?ECB就是EC与平面ABC所成角．∴sin?ECB?∵BC?2，∴EC?6．

2AB，AB?2， 2∴AC2?BC2?AB2，∴CB?AC．EBCB?C，∴AC?平面EBC．

63，cos?ECB? 33∵EB?平面ABC，∴EB?AC，又∵AC?BC?∵GF//AC，∴GF?平面EBC，连结GB，则BG是斜线BF在平面EBC内的射影，

∴?FBG就是BD与平面EBC所成角．

6BG3?，BF?2，cos?FBG?，∴?FBG?． ?62BF2∴BD与面EBC的所成角为30．

在Rt?FBG中，BG?EDGBCFA

答案第3页，总8页

【解析】 19.【答案】（1）茎叶图如下左图：

（2）由于甲、乙的平均成绩相等，而甲的方差较小，所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适；

（3）分布列如下右图，数学期望E??9． 4

试题解析：试题解析：（1）甲乙两同学“踢毽球”的茎叶图如下图：

（

80?81?93?72?88?75?83?84?82882?93?70?84?77?87?78?85x乙??82，

82

）

x甲?，

22?12?112?102?62?72?12?22s??39.582甲，

02?122?122?22?52?52?42?32s=?43，

82乙由于甲、乙的平均成绩相等，而甲的方差较小，所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．

（3）由题意可知，?的取值为0，1，2，3 由表格可知：高于79个/分钟的频率为

333，则高于79个/分钟的概率为， 44213?3?9?3?1则p???0???1???， ,p???1??C3???1???4644464?????3??3?27?3?27 p???2??C????1???,p???3??????4??4?64?4?642323分布列如下：

答案第4页，总8页

？

E??0?1927279?1??2??3?? 646464644考点：考察了茎叶图，方差，离散型随机变量的分布列和数学期望．

点评：解本题的关键是掌握方差越小，越稳定，n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，离散型随机变量的分布列与方差． 【解析】 20.【答案】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y2=4x得c=1， 设椭圆C的标准方程为

（a＞b＞0），

∵椭圆C过点（1，），

∴，

又a2=b2+1，

联立解得b2=1，a2=2．

故椭圆C的标准方程为椭圆方程为（Ⅱ）由题意可设l：x=ky+1，由

+y=1?（5分）

得（k2+2）y2+2ky﹣1=0?（6分）

2

设A（x1，y1），B（x2，y2），则有

将①2÷②得+2=﹣？λ++2=?（8分）

由λ∈[﹣2，﹣1]得﹣≤λ++2≤0？﹣≤≤0，0≤k2≤?（9分）

=（x1﹣2，y1），+

=（x2﹣2，y2），

，

=（x1+x2﹣4，y1+y2）x1+x2﹣4=k（y1+y2）﹣2=﹣

答案第5页，总8页

|+|=+==16﹣

+

|2=8t2﹣28t+16

令t=∴t=时|【解析】

∈[+

，]，|

2

+

|的最小值是4

21.【答案】（1）当a?0,f(x)单调递增区间是(0,??)；（2）a??e；（3）a??1 试题解析：解：（1）由题意：f(x)的定义域为(0,??)，且f?(x)?1ax?a??2． xx2x当a?0,f(x)单调递增区间是(0,??)；

（2）由（1）可知：f?(x)?x?a x2①若a??1，则x?a?0，即f?(x此时f(x)在[1,e]上为增函数， )?0在[1,e]上恒成立，

33?[f(x)]min?f(1)??a?,?a??（舍去）．

22②若a??e，则x?a?0，即f?(x此时f(x)在[1,e]上为减函数， )?0在[1,e]上恒成立，

?[f(x)]min?f(e)?1?a3e??a??（舍去）． e22③若?e?a??1，令f?(x)?0得x??a，

当1?x??a时，f?(x)?0,?f(x)在(1,?a)上为减函数， 当?a?x?e时，f?(x)?0,?f(x)在(?a,e)上为增函数，

?[f(x)]min?f(?a)?ln(?a)?1?综上可知：a??e． （3）

3?a??e 2f(x)?x2,?lnx?a?x2． x又x?0,?a?xlnx?x3

11?6x2令g(x)?xlnx?x,h(x)?g?(x)?1?lnx?3x,h?(x)??6x?，

xx32答案第6页，总8页

h(x)在[1,??)上是减函数，?h(x)?h(1)??2，即g?(x)?0， ?g(x)在[1,??)上也是减函数，?g(x)?g(1)??1．

令a??1得a?g(x)，∴当f(x)?x2在(1,??)恒成立时，a??1．

考点：本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，恒成立的问题

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，恒成立的问题，注意分类讨论，以及恒成立的问题转化为最值问题 22.【答案】（1）证明：∵AC与⊙O相切于点A，∴∠PAC=∠PFA， 又∠C=∠C，∴△APC∽△FAC， ∴

，

=

．

又AB=AC，∴

（2）解：∵AB是⊙O的直径，AB=AC，AB=2， ∴AO=

=1，AC=2，

∵AC与⊙O相切于点A，∴AB⊥AC，

∴△AOC中，∠CAO=90°，OA=1，AC=2， ∴tan∠CPE=tan∠CAO=

=．

23.【答案】（Ⅰ）Q?sin(???6)?1 2??(311311sin??cos?)?，?y?x?，x?3y?1?0.????5分 222222（Ⅱ）解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为(2?2cos?,2sin?) 所以，曲线C上的点到直线l的距离

2?2cos??23sina?14cos(??3)?37d???

222???10分

?3解法二：曲线C为以(2,0)为圆心，2为半径的圆.圆心到直线的距离为2

37?2?2 ???10分 所以，最大距离为224.【答案】详见解析

答案第7页，总8页

分析法证明的思路是执果索因，即寻找使结论成立的充分条件，通常对于分式不等式、无理不等式的证明常采用分析法，分析法要确保分析得到的最终结果必须是一个正确的结论，如题目提供的条件、某条公理、某条定理等，注意分析法证题的规范表述，防止循环论证.

试题解析：证明：要证：a2?11?2?a??2. 2aa22?21??1?∵a?0，∴两边均大于零，因此只需证：?a?2?2???a??2?

???a??a只需证：a2?1a2?4?4a2?1a2?a2?1a2?2?2?22??1??a?a?? 只需证：a2?1a2?2?2??a?1?a?? 只需证：a2?11?21?a2?2??a?a2?2?? 即证：a2?1a2?2，它显然成立，∴原不等式成立.

答案第8页，总8页

?

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