2014高考数学总复习（人教新课标）配套章末综合检测：第8章 圆锥

第八章章末综合检测

(学生用书为活页试卷 解析为教师用书独有)

(检测范围：第八章) (时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．直线xsin α－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是 π??

A.?0，2? ???ππ?C.?－4，4? ??

B．(0，π) π??3π??

0，??∪?，π? D.

?4??4?

( )

解析 D 直线xsin α－y＋1＝0的斜率是k＝sin α. 又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k≤1.

π??

∴当0≤k≤1时，倾斜角的范围是?0，4?；

???3π?

当－1≤k<0时，倾斜角的范围是?4，π?.

??

2．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＝0的圆心在直线x＋y＝1上，则D与E的关系是

A．D＋E＝2 C．D＋E＝－1

B．D＋E＝1 D．D＋E＝－2

( )

E?DE?D

解析 D 依题意得，圆心?－2，－2?在直线x＋y＝1上，因此有－2－2＝

??1，即D＋E＝－2.

3．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为 A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－1)2＋(y－1)2＝8

解析 B 直径的两端点为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，圆的方

( )

程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.

4．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的 ( ) A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

x2y211

解析 C 方程可化为1＋1＝1，若焦点在y轴上，则n>m>0，即m>n>0.

mn5．若曲线y＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( ) A．4x＋y＋4＝0 C．4x－y－12＝0

B．x－4y－4＝0 D．4x－y－4＝0

解析 D 设切点为(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0， ∴2x0＝4，即x0＝2，∴切点为(2,4)， 方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.

x22

6．已知F1、F2是椭圆4＋y＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1|·|PF2|取最大值的点P为

A．(－2,0) C．(2,0)

B．(0,1)

D．(0,1)和(0，－1)

( )

解析 D 由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4， ?|PF1|＋|PF2|?2

?＝4， ∴|PF1|·|PF2|≤?

2??

当且仅当|PF1|＝|PF2|，即P(0，－1)或(0,1)时，取“＝”．

→→

7．平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足OC＝λ1OA→

＋λ2OB(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是 ( )

A．直线 C．圆

B．椭圆 D．双曲线

→→→

解析 A 设C(x，y)，因为OC＝λ1OA＋λ2OB，所以(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－?x＝3λ1－λ2，

1,3)，即?

?y＝λ1＋3λ2，

3y－x?λ＝?210， 解得?y＋3x

λ＝??110，

y＋3x3y－x

又λ1＋λ2＝1，所以10＋10＝

1，即x＋2y＝5，所以轨迹为直线，故选A.

x2y2

8．设椭圆m2＋n2＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离1

心率为2，则此椭圆的方程为

x2y2

A.12＋16＝1 x2y2

C.48＋64＝1

x2y2

B.16＋12＝1 x2y2

D.64＋48＝1

( )

解析 B 抛物线的焦点为(2,0)， c＝2，??

∴由题意得?c1

＝，??m2∴m＝4，n2＝12， x2y2

∴方程为16＋12＝1.

x2y2

9．设双曲线a2－b2＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为

5A.4 5C.2

B．5 D.5

( )

b

解析 D 双曲线的渐近线为y＝±ax，由对称性，只要与一条渐近线有一个公共点即可．

y＝x2＋1，??由?b

y＝x，??a

b

得x2－ax＋1＝0.

b2

∴Δ＝a2－4＝0，即b2＝4a2， ∴e＝5.

x2y2

10．(2013·银川六校联考)已知抛物线y＝4x的准线过双曲线a2－b2＝1(a>0，

2

b>0)的左顶点，且此双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则双曲线的焦距为( )

A.5 C.3

2

B．25 D．23

x2y2

解析 B ∵抛物线y＝4x的准线x＝－1过双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的b

左顶点，∴a＝1，∴双曲线的渐近线方程为y＝±bx.∵双曲线的一条渐近线

ax＝±方程为y＝2x，∴b＝2，∴c＝a2＋b2＝5，∴双曲线的焦距为25.

x2y2

11．已知椭圆36＋9＝1，以及椭圆内一点P(4,2)，则以P为中点的弦所在的直线斜率为

1A.2 C．2

1B．－2 D．－2

( )

解析 B 设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，

22x1y1??36＋9＝1，22x2y2??36＋9＝1，

则?

两式相减，得

?x1＋x2??x1－x2??y1＋y2??y1－y2?

＋＝0，

3692?x1－x2?4?y1－y2?y1－y21∴＝－，∴k＝＝－992. x1－x2

12．(2013·杭州五校质检)已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其x22

焦点的距离为5，双曲线a－y＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为

1A.9 1C.3

1B.4 1D.2

( )

解析 A 由于M(1，m)在抛物线上，∴m2＝2p，而M到抛物线的焦点的距pp

离为5，根据抛物线的定义知点M到抛物线的准线x＝－2的距离也为5，∴1＋2＝5，∴p＝8，由此可以求得m＝4，双曲线的左顶点为A(－a，0)，∴kAM＝

4

，1＋a

x411

而双曲线的渐近线方程为y＝±，根据题意得，＝，∴a＝9.

a1＋aa

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)

13．l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．

解析 当两条平行直线与A、B两点连线垂直时两条平行直线的距离最大． 因为A(1,1)、B(0，－1)，所以kAB＝

－1－1

＝2，所以两平行线的斜率为k＝0－1

11

－2，所以直线l1的方程是y－1＝－2(x－1)，即x＋2y－3＝0.

【答案】 x＋2y－3＝0

14．直线l：y＝k(x＋3)与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，|AB|＝22，则实数k＝________.

解析 ∵|AB|＝22，圆O半径为2，∴O到l的距离d＝22－2＝2.即|3k|14

＝2，解得k＝±7. k2＋1

14

【答案】 ±7 15．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．

解析

如图，圆的方程可化为 (x－3)2＋(y－4)2＝5，

∴|OM|＝5，|OQ|＝25－5＝25. 在△OQM中，

11|QA|·|OM|＝|QM|， 22|OQ|·

25×5

∴|AQ|＝＝2，∴|PQ|＝4.

5【答案】 4

→→→

16．在△ABC中，|BC|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|BD|－|CD|＝22，则顶点A的轨迹方程为________．

解析

以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E、F分别为两个切点．

则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|， |AE|＝|AF|.∴|AB|－|AC|＝22，

∴点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a＝2，c＝2，x2y2

∴b＝2，∴方程为2－2＝1(x>2)．

x2y2

【答案】 2－2＝1(x>2)

三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(12分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；

(2)若a>－1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时，直线l对应的方程．

解析 (1)当直线l经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a＋2＝0，解得a＝－2，此时直线l的方程为－x＋y＝0，即x－y＝0；

当直线l不经过坐标原点，即a≠－2且a≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得

2＋a

＝2＋a，解得a＝0，此时直线l的方程为x＋y－2＝0. a＋1

所以直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.

?2＋a?

，0?，N(0,2＋a)， (2)由直线方程可得M?

?a＋1?又因为a>－1.

2

12＋a1[?a＋1?＋1]

故S△OMN＝2××(2＋a)＝2×

a＋1a＋1

11??1?

?a＋1?＋＋2?≥×?2＝2?a＋1??2?

1

?a＋1?·＋2 ]＝2，当且仅当a＋1＝

a＋1

1

，即a＝0时等号成立．此时直线l的方程为x＋y－2＝0. a＋1

18．(12分)在平面直角坐标系中，已知圆心在直线y＝x＋4上，半径为22的圆C经过原点O.

(1)求圆C的方程；

(2)求经过点(0,2)且被圆C所截得弦长为4的直线方程． 解析 (1)设圆心为(a，b)，

?b＝a＋4，?a＝－2，则?2解得? 2b＝2，??a＋b＝22，故圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.

(2)当斜率不存在时，x＝0，与圆的两个交点为(0,4)，(0,0)，则弦长为4，符合题意；

当斜率存在时，设直线为y－2＝kx， ?－2k?2

则由题意得，8＝4＋?2?，无解．

?1＋k?综上，直线方程为x＝0.

19．(12分)(2013·合肥一模)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－3，0)和F2(3，?3?0)，且椭圆过点?1，－?.

2??

(1)求椭圆方程；

?6?

(2)过点?－5，0?作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆

??的左顶点．试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．

x2y2

解析 (1)设椭圆方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，

a2－b2＝3，???3?

由c＝3，椭圆过点?1，－?可得?132??＋22＝1，??a4b

2

?a＝4，x22解得?2所以可得椭圆方程为4＋y＝1.

?b＝1，

6

(2)由题意可设直线MN的方程为：x＝ky－5， 6

x＝ky－??5，

联立直线MN和椭圆的方程：?2

x2＋y??4＝1，1264

化简得(k2＋4)y2－5ky－25＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

6412k

则y1y2＝－，y＋y＝，

25?k2＋4?125?k2＋4?

→→4162

又A(－2,0)，则AM·AN＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝(k＋1)y1y2＋5k(y1＋y2)＋25π＝0，所以∠MAN＝2.

20．(12分)已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x2＝－42y的焦点是它的一个焦点，又点A(1，2)在该椭圆上．

(1)求椭圆E的方程；

(2)若斜率为2的直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，当△ABC的面积最大时，求直线l的方程．

y2x2

解析 (1)由已知抛物线的焦点为(0，－2)，故设椭圆方程为a2＋2＝

a－21(a>2)．

21

将点A(1，2)代入方程得a2＋2＝1，

a－2整理得a4－5a2＋4＝0，得a2＝4或a2＝1(舍去)， y2x2

故所求椭圆方程为4＋2＝1. (2)设直线BC的方程为y＝2x＋m，

设B(x1，y1)，C(x2，y2)，

代入椭圆方程并化简得4x2＋22mx＋m2－4＝0， 由Δ＝8m2－16(m2－4)＝8(8－m2)>0， 可得0≤m2<8.(*)

m2－42

由x1＋x2＝－2m，x1x2＝4， 3·16－2m2故|BC|＝3|x1－x2|＝.

2|m|

又点A到BC的距离为d＝，

3m2?16－2m2?1

故S△ABC＝2|BC|·d＝

4

22

12m＋?16－2m?≤·＝2，

242

当且仅当2m2＝16－2m2，即m＝±2时取等号(满足*式)，此时直线l的方程为y＝2x±2.

21．(12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M(3，m)在双曲线上．

(1)求双曲线方程；

(2)求证：点M在以F1F2为直径的圆上； (3)求△F1MF2的面积．

解析 (1)∵双曲线离心率e＝2， ∴设所求双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)， 则由点(4，－10)在双曲线上， 知λ＝42－(－10)2＝6， ∴双曲线方程为x2－y2＝6.

(2)若点M(3，m)在双曲线上，则32－m2＝6，∴m2＝3，由双曲线x2－y2＝6知F1(23，0)，F2(－23，0)，

→→

∴MF1·MF2＝(23－3，－m)·(－23－3，－m)＝m2－3＝0， →→

∴MF1⊥MF2，故点M在以F1F2为直径的圆上．

1

(3)S△F1MF2＝2|F1F2|·|m|＝23×3＝6.

22．(14分)已知实数m>1，定点A(－m,0)，B(m,0)，S为一动点，点S与A，1B两点连线斜率之积为－m2. (1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；

(2)当m＝2时，问t取何值时，直线l：2x－y＋t＝0(t>0)与曲线C有且只有一个交点？

(3)在(2)的条件下，证明：直线l上横坐标小于2的点P到点(1,0)的距离与到直线x＝2的距离之比的最小值等于曲线C的离心率．

y－0y－0

解析 (1)设S(x，y)，则kSA＝，k＝. x＋mSBx－my21x22

由题意，得2m)． 2＝－2，即2＋y＝1(x≠±mmx－m∵m>1，

∴轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴长为2m，短轴长为2.

x22

(2)当m＝2时，曲线C的方程为2＋y＝1(x≠±2)． 2x－y＋t＝0，??

由?x22

＋y＝1，??2

消去y，得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.

令Δ＝64t2－36×2(t2－1)＝0，得t＝±3. ∵t>0，∴t＝3.

此时直线l与曲线C有且只有一个公共点． (3)由(2)知直线l的方程为2x－y＋3＝0，

设点P(a,2a＋3)(a<2)，d1表示P到点(1,0)的距离，d2表示P到直线x＝2的距离，则

d1＝?a－1?2＋?2a＋3?2＝5a2＋10a＋10， d2＝2－a，

5a2＋10a＋10d1∴d＝＝

2－a2

a2＋2a＋2

5×.

?a－2?2

a2＋2a＋2

令f(a)＝，

?a－2?2?2a＋2??a－2?2－2?a2＋2a＋2??a－2?

则f′(a)＝

?a－2?4＝

－?6a＋8?

.

?a－2?34

令f′(a)＝0，得a＝－3. 4

∵当a<－3时，f′(a)<0； 4

当－30.

4d1∴f(a)在a＝－3时取得最小值，即d取得最小值，

2

?d1?∴?d?min＝?2?2?4?5·f?－3?＝2， ??

2

又椭圆的离心率为2，

d1

∴d的最小值等于椭圆的离心率．

2

a2＋2a＋2

令f(a)＝，

?a－2?2?2a＋2??a－2?2－2?a2＋2a＋2??a－2?

则f′(a)＝

?a－2?4＝

－?6a＋8?

.

?a－2?34

令f′(a)＝0，得a＝－3. 4

∵当a<－3时，f′(a)<0； 4

当－30.

4d1∴f(a)在a＝－3时取得最小值，即d取得最小值，

2

?d1?∴?d?min＝?2?2?4?5·f?－3?＝2， ??

2

又椭圆的离心率为2，

d1

∴d的最小值等于椭圆的离心率．

2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/cmb7.html