（9月最新修订版）2015年全国各地中考数学分类解析总汇 - 考点26

图形的相似与位似

中国教育出版~*&网一、选择题

1. （2015?宁德 第8题 4分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（ ）

来源&~:中教*#网

A．4 B． 4.5 C． 5 考点： 平行线分线段成比例．

分析： 直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论． 解答： 解：∵直线a∥b∥c，AC=4，CE=6，BD=3，

来源:zzs%t&ep^.c@om#]D．5.5 ∴=，即=，解得DF=4.5．

故选B．

点评： 本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．

2. （2015?甘南州第7题 4分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为，则下列结论中正确的是（ ）

A． m=5 B． m=4

考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．

分析： 先根据平行四边形的性质求出△OCD∽△OEB，再根据相似三角形的性质解答即可． 解答： 解：∵AB∥CD， ∴△OCD∽△OEB， 又∵E是AB的中点， ∴2EB=AB=CD， ∴

=（

．）2，即

第 1 页 共 52 页

C． m=3 D． m=10

=（）2，

解得m=4

中国~@*#教育出&版网

故选B．

中国&^教育出版网点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到平行四边形的性质等知识，难度适中．

3. （2015?酒泉第9题 3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ）

中国教育出版*&网 A ． 考点： 相似三角形的判定与性质． 分析： 证明BE：EC=1：3，进而证明BE：BC=1：4；证明△DOE∽△AOC，得到三角形的性质即可解决问题． 解答： 解：∵S△BDE：S△CDE=1：3， ∴BE：EC=1：3； ∴BE：BC=1：4； ∵DE∥AC， ∴△DOE∽△AOC， ∴=， =， =，借助相似B． C． D． ∴S△DOE：S△AOC=故选D． 点评： 本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答． 来源~:中国*&教@育出版网#] 4. （2015?酒泉第10题 3分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过

第 2 页 共 52 页

点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）

A ． B． C． D． 考点： 动点问题的函数图象． 分析： 证明△BPE∽△CDP，根据相似三角形的对应边的比相等求得y与x的函数关系式，根据函数的性质即可作出判断． 解答： 解：∵∠CPD=∠FPD，∠BPE=∠FPE， 又∵∠CPD+∠FPD+∠BPE+∠FPE=180°， ∴∠CPD+∠BPE=90°， 又∵直角△BPE中，∠BPE+∠BEP=90°， ∴∠BEP=∠CPD， 又∵∠B=∠C， ∴△BPE∽△CDP， ∴故选C． 点评： 本题考查了动点问题的函数图象，求函数的解析式，就是把自变量当作已知数值，然后求函数变量y的值，即求线段长的问题，正确证明△BPE∽△CDP是关键． 5. （2015，广西柳州，12，3分）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：

①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH 其中，正确的结论有（ ）

，即，则y=﹣x2+，y是x的二次函数，且开口向下． 第 3 页 共 52 页

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D．4个 考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质． 分析： 根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出BG=BE，根据勾股定理得出

中国教^&%育出版网@]BE=GE，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC，根据SAS推出△

GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④． 解答： 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC， ∵AG=CE， ∴BG=BE，

中&国教育@*出版网来源:zz~step.^c%&#om]由勾股定理得：BE=GE，∴①错误； ∵BG=BE，∠B=90°， ∴∠BGE=∠BEG=45°， ∴∠AGE=135°，

∴∠GAE+∠AEG=45°， ∵AE⊥EF， ∴∠AEF=90°， ∵∠BEG=45°，

∴∠AEG+∠FEC=45°， ∴∠GAE=∠FEC， 在△GAE和△CEF中

来源中国教育%#出版&网@]∴△GAE≌△CEF，∴②正确； ∴∠AGE=∠ECF=135°， ∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确； ∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°， ∴∠FEC＜45°，

∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误； 即正确的有2个． 故选B． 点评： 本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大．

来%^源中教网#~*]

6. （2015，广西钦州，11，3分）如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：AC等于（ ）

第 4 页 共 52 页

[w%~ww@.zzstep*.^com][来源*:#%中教网

来源:zzst~#e@p&^.com]A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC：AC

分析： 先过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，由于BE∥AC，利用平行线分线段成比例定理的推论、平行线的性质，可得∴△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再利用相似三角形的性质可有

=

，而利用AD时角平分线又知∠E=∠DAC=∠BAD，于是BE=AB，等

量代换即可证． 解答： 解：如图

来源中国教育@出版网%][中@&%~国教育出版网

过点B作BE∥AC交AD延长线于点E， ∵BE∥AC，

∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD， ∴△BDE∽△CDA， 中国@%*教育出版网来源%:中国教育出版#*~^网∴=，中国教@~育出版网#%]

又∵AD是角平分线，

∴∠E=∠DAC=∠BAD， ∴BE=AB， [www.z&^zs#tep.c*o~m]来源中%^教&网@#]∴=，

来源:%中国教@*育出版网&]

∴AB：AC=BD：CD．

点评： 此题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论．关键是作平行线． 7．（2015?湖北十堰，第6题3分）.在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，

来源:zzs%tep*&.co@m~]﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）

来源@:中#~国教&育出版网

第 5 页 共 52 页

A．（﹣2，1） B． （﹣8，4）

C.（﹣8，4）或（8，﹣4） D.（﹣2，1）或（2，﹣1） 考点： 位似变换；坐标与图形性质．

分析： 根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得答案．

来源:zzs%t&ep^.c@om#]来源~:zzs*^te@%p.com]来源&:%中国教育出版*^网[ww@w.z~#z&st*ep.com]解答： 解：∵点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，

∴点A的对应点A′的坐标是：（﹣2，1）或（2，﹣1）． 故选：D．

点评： 此题考查了位似图形与坐标的关系．此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于±k．

中%&国教*^育出版网8. （2015?黑龙江哈尔滨，第7题3分）（2015?哈尔滨）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（ ）

A．

中国教育出版&*网= B． = C． = D． =

考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 分析： 根据相似三角形的判定和性质进行判断即可． 解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BF，BE∥DC，AD=BC， ∴

，

，

，

故选C．

点评： 此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定和性质来分析判断．

9. （2015?内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第6题3分）视力表的一部分如图，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（ ）

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A．平移 B． 旋转 C． 对称 D．位似 考点： 几何变换的类型．

分析： 开口向上的两个“E”形状相似，但大小不同，因此它们之间的变换属于位似变换．如果没有注意它们的大小，可能会误选A．

解答： 解：根据位似变换的特点可知它们之间的变换属于位似变换．故选D． 点评： 本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，平移、旋转、对称的图形都是全等形．

10. （2015?内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第12题3分）如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA′是（ ）

来源~:zzst%ep.*c&#om]来源*:中国教育出&版@网~][来源中^&%国教育出版网@]中@国教育%&出版网来#^%源中国教育&出版@网中&国教育@*出版网

A．考点： 专题： 分析： 解答：

﹣1

B．

C． 1

中国教育@%&*出版网D．

相似三角形的判定与性质；平移的性质．

压轴题．

利用相似三角形面积的比等于相似比的平方先求出A′B，再求AA′就可以了． 解：设BC与A′C′交于点E，

来源:*中国教育出版网@^%]

由平移的性质知，AC∥A′C′ ∴△BEA′∽△BCA ∴S△BEA′：S△BCA=A′B：AB=1：2 ∵AB=

来源~&:中@^教%网来源@:^zz&s*te#p.com]22

∴A′B=1

∴AA′=AB﹣A′B=﹣1 故选A．

点评： 本题利用了相似三角形的判定和性质及平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．

来源中国教&育出版网%@#][www.z%@^z~step.co*m]第 7 页 共 52 页

11. （2015?青海，第15题3分）在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则

等于（ ）

A．

B．

C．

D．

考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析： 根据题意得出△DEF∽△BCF，那么AE=2k，BC=3k；得到

=

=

来源中国教~^育出版网@]

；由AE：ED=2：1可设ED=k，得到

，即可解决问题．

来源:*#z@zstep%.c^om]解答： 解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形， ∴ED∥BC，BC=AD， ∴△DEF∽△BCF， ∴

=

，

设ED=k，则AE=2k，BC=3k； ∴

=

=，

故选A．

点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等几何知识点及其应用问题；得出△DEF∽△BCF是解题的关键．

12. （2015?贵州省贵阳,第6题3分）如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（ ） A．2：3 B． ： C． 4：9 D．8：27 考点： 相似三角形的性质．

分析： 根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，据此即可求解．

2

解答： 解：两个相似三角形面积的比是（2：3）=4：9． 故选C．

点评： 本题考查对相似三角形性质的理解． （1）相似三角形周长的比等于相似比；

（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；

（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 13. （2015?辽宁省朝阳,第题3分）已知两点A（5，6）、B（7，2），先将线段AB向左平移

来源:#中教*&~网来源*:中国教育出版&@网^]来源#^:中教网~@*]来@&源中教*%网^]

一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（ ） A．（2，3） B． （3，1）

C． （2，1）

第 8 页 共 52 页

D．（3，3）

[www.z%@z#step~.co&m]来源~:中*^教网&%]

考点： 位似变换；坐标与图形变化-平移． 专题： 几何变换．

分析： 先根据点平移的规律得到A点平移后的对应点的坐标为（4，6），然后根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k求解．

解答： 解：∵线段AB向左平移一个单位， ∴A点平移后的对应点的坐标为（4，6），

中国教^&%育出版网∴点C的坐标为（4×，6×），即（2，3）．

故选A．

点评： 本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．也考查了坐标与图形变化﹣平移． 14．（2015?辽宁铁岭）（第7题，3分）如图，点D、E、F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是（ ）

来源:z^zste&p#.c~o*m]

A．DE=DF

B． EF=AB

C． S△ABD=S△ACD

D．AD平分∠BAC

考点： 三角形中位线定理．

分析： 根据三角形中位线定理逐项分析即可．

解答： 解：A、∵点D、E、F分别为△ABC各边中点，

来源#~&:中教网@%]

∴DE=AC，DF=AB，

∵AC≠AB，

∴DE≠DF，故该选项错误；

B、由A选项的思路可知，B选项错误、

[ww#w.zz*^ste&p.c@om]来源中~@国教育&*出%版网

中&国教育@出版网^*]C、∵S△ABD=BD?h，S△ACD=CD?h，BD=CD，

∴S△ABD=S△ACD，故该选项正确； D、∵BD=CD，AB≠AC， ∴AD不平分∠BAC， 故选C．

点评： 本题考查了三角形中位线定理的运用，解题的根据是熟记其定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

中国教^&%育出版网第 9 页 共 52 页

15．（4分）（2015?黔西南州）（第5题）已知△ABC∽△A′B′C′且为（ ）

来源:%中教网@#~*]，则S△ABC：S△A'B'C′

A． 1：2 B． 2：1 C． 1：4 D． 4：1

中国^@%教育&出版网

考点： 相似三角形的性质．

分析： 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出即可．解答： 解：∵△ABC∽△A′B′C′，

，

来源:*&中国教育出版网@]

∴故选C．

=（）2=，

点评： 本题考查了相似三角形的性质的应用，能运用相似三角形的性质进行计算是解此题的关键，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．

16．（4分）（2015?黔西南州）（第10题）在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A、B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM的延长线与x轴交于点N（n，0），如图3，当m=

时，n的值为（ ）

A． 4﹣2

[www~.*zzstep.@c#om^] B． 2﹣4 C． ﹣ D．

来源&~:#%中教网*]

考点： 相似三角形的判定与性质；实数与数轴；等边三角形的性质；平移的性质． 分析： 先根据已知条件得出△PDE的边长，再根据对称的性质可得出PF⊥DE，DF=EF，锐角三角函数的定义求出PF的长，由m=

求出MF的长，再根据相似三角形的判定定理

判断出△PFM∽△PON，利用相似三角形的性质即可得出结论．

第 10 页 共 52 页

解答： 解：∵AB=3，△PDE是等边三角形， ∴PD=PE=DE=1，

以DE的垂直平分线为y轴建立直角坐标系， ∵△PDE关于y轴对称， ∴PF⊥DE，DF=EF，DE∥x轴， ∴PF=

，

∴△PFM∽△PON， ∵m=∴FM=

， ﹣，

∴=，即=．

，

[www.z%^@zs~tep.co*m]

解得：ON=4﹣2故选A．

点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质及等边三角形的性质，能根据题意得出FM的长是解答此题的关键．

17. （2015?齐齐哈尔,第10题3分）如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：①EM=DN；②S△CDN=S

四边形ABDN

；③DE=DF；④DE⊥DF．其中正确的结论的个数是（ ）

中国~@^教#&育出版网

来源:^中%教@#网 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理．

第 11 页 共 52 页

分析： ①首先根据D是BC中点，N是AC中点N，可得DN是△ABC的中位线，判断出DN=

；然后判断出EM=

，即可判断出EM=DN；

，可得S△CDN=S△ABC，所以

②首先根据DN∥AB，可得△CDN∽ABC；然后根据DN=S△CDN=S四边形ABDN，据此判断即可．

③首先连接MD、FN，判断出DM=FN，∠EMD=∠DNF，然后根据全等三角形判定的方法，判断出△EMD≌△DNF，即可判断出DE=DF．

来源~:*&中%@教网④首先判断出，DM=FA，∠EMD=∠EAF，根据相似计三角形判定的方法，判断出△EMD∽△∠EAF，即可判断出∠MED=∠AEF，然后根据∠MED+∠AED=45°，判断出∠DEF=45°，再根据DE=DF，判断出∠DFE=45°，∠EDF=90°，即可判断出DE⊥DF． 解答： 解：∵D是BC中点，N是AC中点， ∴DN是△ABC的中位线， ∴DN∥AB，且DN=

；

来源~&:中@^教%网][w~ww.zzs*tep^&.co@m]

∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB交AB于点M， ∴M是AB的中点， ∴EM=又∵DN=∴EM=DN， ∴结论①正确；

∵DN∥AB， ∴△CDN∽ABC， ∵DN=

， ， ，

[ww*w.z~z#st%ep.com@]∴S△CDN=S△ABC，

来源^&:*@中教网%]第 12 页 共 52 页

∴S△CDN=S四边形ABDN， ∴结论②正确；

如图1，连接MD、FN，

∵D是BC中点，M是AB中点，

中国教育~@出版网#]， ∴DM是△ABC的中位线，

中国#*%教育出版网∴DM∥AC，且DM=；

来源*:中国%教育^&出版网

∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点， ∴FN=又∵DM=∴DM=FN， ∵DM∥AC，DN∥AB，

， ，

来&源中国%教育出版网#]∴四边形AMDN是平行四边形， ∴∠AMD=∠AND， 又∵∠EMA=∠FNA=90°， ∴∠EMD=∠DNF，

来源中^%国教育出版网#&]在△EMD和△DNF中，

，

来源&%:~^中教@网∴△EMD≌△DNF， ∴DE=DF，

第 13 页 共 52 页

∴结论③正确；

如图2，连接MD，EF，NF，

∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB，

来源^:*&@中教网，

∴M是AB的中点，EM⊥AB，

∴EM=MA，∠EMA=90°，∠AEM=∠EAM=45°，∴

，

来#~@源:*zzste&p.com][来~%#源:*中&教网∵D是BC中点，M是AB中点， ∴DM是△ABC的中位线，∴DM∥AC，且DM=

来源:zz~s#&tep@.com^]； ∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点， ∴FN=又∵DM=∴DM=FN=，∠FNA=90°，∠FAN=∠AFN=45°， ， FA，

∵∠EMD=∠EMA+∠AMD=90°+∠AMD， ∠EAF=360°﹣∠EAM﹣∠FAN﹣∠BAC =360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣∠AMD） =90°+∠AMD

来源:*中国教育出版网@^%]∴∠EMD=∠EAF， 在△EMD和△∠EAF中，

第 14 页 共 52 页

∴△EMD∽△∠EAF， ∴∠MED=∠AEF，

来源:zzs@tep.^&#com]∵∠MED+∠AED=45°， ∴∠AED+∠AEF=45°， 即∠DEF=45°，又∵DE=DF， ∴∠DFE=45°，

∴∠EDF=180°﹣45°﹣45°=90°，

来源中教@~网%^]中国教育出版&*^#@网

∴DE⊥DF，

来~#源:%中国教育出版网

∴结论④正确．

中@#国教育出~&版网∴正确的结论有4个：①②③④． 故选：D．

来源中*@教网&#~][来源中&~#^教网 点评： （1）此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．

（2）此题还考查了等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径．

（3）此题还考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

来源%:zzs#tep&@.com]来源:zzs*#t~e%^p.com][ww~w.%z^zstep.c#*om]

二、填空题

1. （2015?辽宁省朝阳,第16题3分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=，BO=1，AB的垂直平分线交AB于点E，交射线BO于点F．点P从点A出发沿射线AO以每秒2个单位的速度运动，同时点Q从点O出发沿OB方向以每秒1个单位的速度运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动的时间为t秒．

中国%教@*育出版网&]

第 15 页 共 52 页

（1）当t=

时，PQ∥EF；

（2）若P、Q关于点O的对称点分别为P′、Q′，当线段P′Q′与线段EF有公共点时，t的取值范围是 0＜t≤1且t≠ ．

来#@源*:中国教育出版网%]

考点： 几何变换综合题．

分析： （1）利用平行线的性质结合相似三角形的判定与性质得出△AEN∽△QOP，进而利用锐角三角函数关系求出即可；

（2）利用线段垂直平分线的性质得出△FBA是等边三角形，进而得出线段P′Q′与线段EF有公共点时t的最大值，进而得出答案． 解答： 解：（1）如图1，当PQ∥EF时， 则∠QPO=∠ENA，

又∵∠AEN=∠QOP=90°， ∴△AEN∽△QOP， ∵∠AOB=90°，AO=，BO=1，

[www.*zz%step.#~co^m]

∴tanA===，

∴∠A=∠PQO=30°， ∴==

，

[w#ww.zzs%~@tep^.com]

解得：t=， 故当t=时，PQ∥EF； 故答案为：；

来源:^中%国教育&出版网#]

（2）如图2，∵∠BAO=30°，∠BOA=90°， ∴∠B=60°，

∵AB的垂直平分线交AB于点E， ∴FB=FA，

∴△FBA是等边三角形，

∴当PO=OA=时，此时Q′与F重合，A与P′重合，

第 16 页 共 52 页

∴PA=2

，则t=1秒时，线段P′Q′与线段EF有公共点，

故当t的取值范围是：0＜t≤1，由（1）得，t≠． 故答案为：0＜t≤1且t≠．

中国教育@出版网&*%]

来源%:中~#&教网

点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质、锐角三角三角函数关系等知识，得出临界点时t的最值是解题关键．

2. （2015?辽宁省盘锦,第14题3分）如图，已知△ABC中，AB=5，AC=3，点D在边AB上，且∠ACD=∠B，则线段AD的长为

．

[w~#ww.zz&st^ep.com@]

来源中国#%&教育出*@版网

考点： 相似三角形的判定与性质．

分析： 由已知先证△ABC∽△ACD，再根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，即可求出AD的值． 解答： 解：∵∠A=∠A， ∠ACD=∠B，

∴△ABC∽△ACD，

[w~ww.zz&ste%p.#com@]来源中@国&教育出版网#]

∴=，

第 17 页 共 52 页

∵AB=5，AC=3， ∴=

，

来源:zzs%tep#@&.com^]

∴AD=． 故答案为．

中国教育出版&#网~@]点评： 本题考查相似三角形的判定和性质．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的值． 来源:zzst%ep@~.c*&om]3. （2015?辽宁省盘锦,第18题3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰△OBC的边OB在x轴上，OB=CB，OB边上的高CA与OC边上的高BE相交于点D，连接OD，AB=，∠CBO=45°，在直线BE上求点M，使△BMC与△ODC相似，则点M的坐标是 （1，﹣1）或（﹣，） ． 考点： 相似三角形的判定与性质；一次函数图象上点的坐标特征． 分析： 根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，可得△ODC是等腰三角形，先根据等腰直角三角形的性质和勾股定理得到AC，BC，OB，OA，OC，AD，OD，CD，BD的长度，再根据相似三角形的判定与性质分两种情况得到BM的长度，进一步得到点M的坐标． 解答： 解：∵OB=CB，OB边上的高CA与OC边上的高BE相交于点D，AB=，∠CBO=45°， ∴AB=AC=，OD=CD， 中国教育出版网^&%][www.zz#%&step*@.com][w~ww.z&zste%p.#com@]在Rt△BAC中，BC=∴OB=2， ∴OA=OB﹣AB=2﹣在Rt△OAC中，OC=2

2

2

=2，[www.z#z&ste^p~.co@m] ， =2来源中&国教育@^出#*版网， 在Rt△OAD中，OA+AD=OD，

222

（2﹣）+AD=（﹣AD）， 解得AD=2﹣， ∴OD=CD=2﹣2， 在Rt△BAD中，BD=

=2

，

①如图1，△BMC∽△CDO时，过M点作MF⊥AB于F，

第 18 页 共 52 页

=

，即

=，

，

解得BM=

∵MF⊥AB，CA是OB边上的高， ∴MF∥DA，

∴△BMF∽△BDA，

来源:*中国教育出版网@&#]

[www.z^z&@ste*p.co~m]

∴==，即==，

解得BF=1，MF=﹣1， ∴OF=OB﹣BF=1，

∴点M的坐标是（1，﹣1）；

②如图2，△BCM∽△CDO时，过M点作MF⊥AB于F，

来源中@国教育出版网%] =

，即=

[w%ww.#z*zstep.com@~]，

解得BM=2，

∵MF⊥AB，CA是OB边上的高， ∴MF∥DA，

∴△BMF∽△BDA， ∴

=

=

，即

=

=

，

解得BF=2+，MF=， ∴OF=BF﹣OB=，

∴点M的坐标是（﹣，）．

综上所述，点M的坐标是（1，﹣1）或（﹣故答案为：（1，﹣1）或（﹣，）．

中国教*%育@出版网~]，）．

中国教%@育&出版网*]

第 19 页 共 52 页

点评： 考查了相似三角形的判定与性质，一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质和勾股定理，关键是得到BM的长度，注意分类思想的应用．

4. （2015?山西,第15题3分）太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位．公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB=80cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，则点A到地面的距离是

cm．

考点： 勾股定理的应用．

分析： 分别过点A作AM⊥BF于点M，过点F作FN⊥AB于点N，利用勾股定理得出BN的长，再利用相似三角形的判定与性质得出即可．来源:#zzst*ep.com%^@]

解答： 解：过点A作AM⊥BF于点M，过点F作FN⊥AB于点N， ∵AD=24cm，则BF=24cm， ∴BN=

=

=7（cm），

∵∠AMB=∠FNB=90°，∠ABM=∠FBN， ∴△BNF∽△BMA， ∴∴

==

， ，

=，

+4=

（m）．

则：AM=

来源:%zzste&p.co~m*@]故点A到地面的距离是：故答案为：

．

第 20 页 共 52 页

来源:zz~step.^c%&#om]

点评： 此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，得出△BNF∽△BMA是解题关键．

5. （2015?天津,第16题3分）（2015?天津）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D、E．若AD=3，DB=2，BC=6，则DE的长为 3.6 ．

考点： 相似三角形的判定与性质．

分析： 根据平行线得出△ADE∽△ABC，根据相似得出比例式，代入求出即可． 解答： 解：∵AD=3，DB=2， ∴AB=AD+DB=5， ∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC， 来源%:@*中教网&]∴， ∵AD=3，AB=5，BC=6， ∴

，

来源#:中国教育&出版%网 ∴DE=3.6．

故答案为：3.6．

点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定，关键是求出相似后得出比例式，题目比较典型，难度适中． 来源@~^:&中教网*]

来#%源@:~中教网^]6．（2015?湖南张家界，第12题3分）如图，在△ABC中，已知DE∥BC，与△ABC的面积比为 4：25 ．

，则△ADE

[www.z^z&s@tep*.com~]

来源中教网%@*&]

第 21 页 共 52 页

考点： 相似三角形的判定与性质．

中国教育出@&^版网*]中国~&教育出版@网%]分析： 根据题意可得△ADE∽△ABC，然后根据面积比为相似比的平方求解．解答： 解：在△ABC中， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵

，

∴S△ADE：S△ABC=4：25． 故答案为：4：25．

点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的面积比为相似比的平方．

7．（2015?吉林，第13题3分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为 12 m．

中国教@&%育出版网

考点： 相似三角形的应用． 专题： 应用题．

分析： 先根据题意得出△ABE∽△ACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值．

[ww~w.zzs%#t@ep.^com]

解答： 解：∵EB⊥AC，DC⊥AC， ∴EB∥DC， ∴△ABE∽△ACD，∴

=

，

来^*源中教@%网&]来源:*~中国教育出版网@^%]

第 22 页 共 52 页

∵BE=1.5，AB=2，BC=14，∴AC=16， ∴

=

，

[www.*zz@s&tep.c~o^m]来源^:中~#&教网][来源:@z&zstep.^#%com]

∴CD=12． 故答案为：12．

[www.z#zst&e*p~.c@om]

点评： 本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键．

来源^~:&zzstep.c@o%m]

8．4分）（2015?重庆A15，已知?ABC??DEF,?ABC与?DEF的相似比为4:1，则?ABC与?DEF对应边的高之比为 。

考点：相似三角形的性质．

分析：根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比得出即可．

解答：解：∵△ABC∽△DEF ，△ABC 与△ DEF 的相似比为4 ：1， ∴△ABC 与△ DEF 对应边上的高之比是4 ：1， 故答案为：4 ：1．

点评：本题考查了相似三角形的性质的应用，能熟练地运用相似三角形的性质进行计算是解 此题的关键，注意：相似三角形的对应边上的高之比等于相似比．

[ww~w.zz#st^ep&.@com]9．（4分）（2015?广东东莞14，4分）若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是 4：9 ． 来源~:*&%中@教网

考点： 相似三角形的性质．中国^&教育出%#版网

分析： 根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．

解答： 解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比为2：3， ∴它们的面积比是4：9． 故答案为：4：9．

点评： 本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．

来源%:@*中教网&]来源中@国教育出版网%]

10. （2015，广西柳州，18，3分）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为 ．

第 23 页 共 52 页

来源~#:中国教育&出版网%]

考点： 相似三角形的判定与性质；矩形的性质． 专题： 应用题． 分析： 设EH=3x，表示出EF，由AD﹣EF表示出三角形AEH的边EH上的高，根据三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即为EH的长．

解答： 解：∵四边形EFGH是矩形， ∴EH∥BC，

∴△AEH∽△ABC，

∵AM⊥EH，AD⊥BC，

来@源%:&中国教育出版网∴=，

设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x， ∴

=

，

解得：x=，则EH=．

来@源:zzstep^.co&%m*]故答案为：． 中~&^国教育出版网

点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 11. （2015，广西钦州，18，3分）

如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变化，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的长OA2缩小为OA1的

1，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边21，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的2第 24 页 共 52 页

1，．．．．．．，按此规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长2的倒数，则n= ．

考点： 位似变换；正方形的性质． 专题： 规律型．

来源:zzs^tep%.~com@&]分析： 由图形的变化规律可知正方形OAnBnCn的边长为解答： 解：由图形的变化规律可得

=

，

来源:zzs%t&ep^.c@om#]，据此即可求解．

来源:zz%ste*&p.c~o^m]

解得n=8． 故答案为：8．

点评： 本题主要考查了正方形的性质及位似变换，解题的关键是正确的找出图形的变化规律．

12．（2015?辽宁阜新）（第10题，3分）如图，点E是?ABCD的边AD的中点，连接CE交BD于点F，如果S△DEF=a，那么S△BCF= 4a ．

来源&:中*~#^教网

考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．

分析： 根据平行四边形的性质得到AD∥BC和△EFD∽△CFB，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案．

中国教育^#出&版网%]

解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴△EFD∽△CFB， ∵E是边AD的中点，

第 25 页 共 52 页

∴DE=BC，

∴S△DEF：S△BCF=1：4， ∵S△DEF=a，∴S△BCF=4a，故答案为：4a．

点评： 本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题的关键，注意：相似三角形的面积比是相似比的平方．

三、解答题

1. （2015?黑龙江省大庆,第27题9分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，P为BD上一点，∠APB=∠BAD． （1）证明：AB=CD；

来源:zzs@tep.c^&%o#m]中国教&*%育出版网#]

中%国教*~育出版网@]（2）证明：DP?BD=AD?BC；

（2）证明：BD2=AB2+AD?BC．

来源&#@^:中教网

考点： 相似三角形的判定与性质；圆周角定理． 专题： 证明题． 分析： （1）利用平行线的性质结合圆周角定理得出=

，进而得出答案；

（2）首先得出△ADP∽△DBC，进而利用相似三角形的性质得出答案；

（3）利用相似三角形的判定方法得出△ABP∽△DBA，进而求出AB2=DB?PB，再利用（2）中所求得出答案．

解答： 证明：（1）∵AD∥BC，

来%源^#*:中教&网∴∠ADB=∠BDC，∴

=

，

来源:#中国&教育出版网

来源中国教*#育^&出版%网第 26 页 共 52 页

∴AB=BC；

（2）∵∠APB=∠BAD，∠BAD+∠BCD=180°，∠APB+∠APD=180°， ∴∠BCD=∠APD， 又∵∠ADB=∠CBD， ∴△ADP∽△DBC， ∴

=

，

∴DP?BD=AD?BC；

（3）∵∠APB=∠BAD，∠BAD=∠BPA， ∴△ABP∽△DBA， ∴

=

，

∴AB2=DB?PB，

∴AB2+AD?BC=DB?PB+AD?BC ∵由（2）得：DP?BD=AD?BC，

∴AB2+AD?BC=DB?PB+DP?BD=DB（PB+DP）=DB2， 即BD2=AB2+AD?BC． 点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键．

2. （2015?辽宁省盘锦,第23题12分）如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为P，过点B的直线与线段AD的延长线交于点F，且∠F=∠ABC．

（1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半径； （2）求证：直线BF是⊙O的切线；

（3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么特殊的四边形？请在图2中补全图象并证明你的结论．

[w*ww.z@%z~step.c^om]

第 27 页 共 52 页

来源:^*中&%教网@]

考点： 圆的综合题．

分析： （1）根据垂径定理求得PC，连接OC，根据勾股定理求得即可； （2）求得△PBC∽△BFA，根据相似三角形对应角相等求得∠ABF=∠CPB=90°，即可证得结论；

（3）通过证得AE=BF，AE∥BF，从而证得四边形AEBF是平行四边形． 解答： （1）解：CD⊥AB，

来源:z#zstep%.&c~om^]中国*&教育出版@网来源%:*中国教&育出版网#]∴PC=PD=CD=，

连接OC，设⊙O的半径为r，则PO=PB﹣r=4﹣r， 222

在RT△POC中，OC=OP+PC， 即r=（4﹣r）+（

2

2

），解得r=2

．

[www.*z@z&step.~c^om]

（2）证明：∵∠A=∠C，∠F=∠ABC， ∴△PBC∽△BFA， ∴∠ABF=∠CPB， ∵CD⊥AB，

∴∠ABF=∠CPB=90°，

∴直线BF是⊙O的切线；

（3）四边形AEBF是平行四边形；

理由：解：如图2所示：∵CD⊥AB，垂足为P， ∴当点P与点O重合时，CD=AB， ∴OC=OD， ∵AE是⊙O的切线， ∴BA⊥AE， ∵CD⊥AB， ∴DC∥AE， ∵AO=OB，

∴OC是△ABE的中位线， ∴AE=2OC，

∵∠D=∠ABC，∠F=∠ABC． ∴∠D=∠F， ∴CD∥BF， ∵AE∥BF， ∵OA=OB，

∴OD是△ABF的中位线，

[www.z#@zs%tep.^com*]

来@源中#&%~国教育出版网来源:#z~zstep&.c%o*m]来源&%:^~中教@网中国教&^育%#出版网来*#源:&中国教育出版网第 28 页 共 52 页

∴BF=2OD， ∴AE=BF，

∴四边形AEBF是平行四边形．

[www.#&zzst%e~p.c@om]

点评： 本题考查了切线的判定，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，三角形的中位线的性质，平行四边形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 3. （2015?内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第24题8分）（2015?呼伦贝尔）如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．

（1）求证：AB=AC； （2）若PC=2，求⊙O的半径．

来@^%~源:#中国教育出版网[www.z@&zstep.c^#%om]

考点： 切线的性质．

分析： （1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可； （2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r，根据AB=AC

推出5﹣r=（2

22

）﹣（5﹣r），求出r，证△DPB∽△CPA，得出

22

=，代入求出即

可．

解答： 证明：（1）如图1，连接OB．

第 29 页 共 52 页

∵AB切⊙O于B，OA⊥AC， ∴∠OBA=∠OAC=90°， ∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°， ∵OP=OB，

∴∠OBP=∠OPB， ∵∠OPB=∠APC， ∴∠ACP=∠ABC， ∴AB=AC；

（2）如图2，延长AP交⊙O于D，连接BD， [www.zz^s%~t@ep.#com] 设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r，

22222

则AB=OA﹣OB=5﹣r， 22222AC=PC﹣PA=（2）﹣（5﹣r），2222

∴5﹣r=（2）﹣（5﹣r）， 解得：r=3， ∴AB=AC=4， ∵PD是直径， ∴∠PBD=90°=∠PAC， 又∵∠DPB=∠CPA， ∴△DPB∽△CPA，

中*@国&教%育出版网来源:zzst#*ep%@.&com]中国教育%出&版网@]

[ww*&w.zzste^#p.co@m]来源:*%zzst@ep.c&^om]来源&:中国%教育^*出版网 ∴∴

==

，

， ．

．

解得：PB=

∴⊙O的半径为3，线段PB的长为

第 30 页 共 52 页

点评： 本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力．本题综合性比较强，有一定的难度．

4. （2015?北海,第25题12分）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）求证：ED平分∠BEP；

（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．

考点： 切线的判定．

来&^@源中教网%~]分析： （1）如图，连接OE．欲证明PE是⊙O的切线，只需推知OE⊥PE即可； （2）由圆周角定理得到∠AEB=∠CED=90°，根据“同角的余角相等”推知∠3=∠4，结合已知条件证得结论；中@#国教育&~出版网

2（3）设EF=x，则CF=2x，在RT△OEF中，根据勾股定理得出52=x2+（2x﹣5），求得EF=4，

进而求得BE=8，CF=8，在RT△AEB中，根据勾股定理求得AE=6，然后根据△AEB∽△EFP，得出=，求得PF=

，即可求得PD的长．

解答： （1）证明：如图，连接OE．∵CD是圆O的直径， ∴∠CED=90°．∵OC=OE， ∴∠1=∠2．

中&国教育^*出版@#网来源:zzst@e%p&~^.com]来源~:中国教育出版网%@]又∵∠PED=∠C，即∠PED=∠1， ∴∠PED=∠2，

第 31 页 共 52 页

∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°，即∠OEP=90°，∴OE⊥EP， 又∵点E在圆上，

[w#~w@w.zz&st^ep.com]来源@:*zzstep.^c%om&]

∴PE是⊙O的切线；

（2）证明：∵AB、CD为⊙O的直径， ∴∠AEB=∠CED=90°，

来@^源:z~zste&%p.com]∴∠3=∠4（同角的余角相等）． 又∵∠PED=∠1， ∴∠PED=∠4， 即ED平分∠BEP；

（3）解：设EF=x，则CF=2x， ∵⊙O的半径为5，∴OF=2x﹣5， 在RT△OEF中，OE2=OF2+EF2，即52=x2+（2x﹣5）2，

来源:zzs*#~te%^p.com]来源中国%*教育~^出@版网][来源~:中教^*网&%]

来~#源%*:^中国教育出版网

解得x=4， ∴EF=4， ∴BE=2EF=8，CF=2EF=8， ∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∵AB=10，BE=8， ∴AE=6，

第 32 页 共 52 页

∵∠BEP=∠A，∠EFP=∠AEB=90°， ∴△AEB∽△EFP， ∴

=

，即，

﹣2=

．

=，

∴PF=

来源:z^zs@*tep.c~o&m]∴PD=PF﹣DF=

点评： 本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．

5. （2015?齐齐哈尔,第22题6分）如图，在边上为1个单位长度的小正方形网格中： （1）画出△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后的△A1B1C1． （2）以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2．

来@^%~源#:中国教育出版网 （3）求△CC1C2的面积． 来源:^&*@中教网

考点： 作图-位似变换；作图-平移变换． 分析： （1）根据平移的性质画出图形即可； （2）根据位似的性质画出图形即可； （3）根据三角形的面积公式求出即可．

第 33 页 共 52 页

解答： 解：（1）如图所示：

；

来&~源:*zzstep.co@m%][来源中@%&#教网~]

来源@:中%&教网^]（2）如图所示：

；

来@~源:*中%教网（3）如图所示：来&源中国^%@教育出版网

来源:zzs&tep.*co#%m]

△CC1C2的面积为×3×6=9．

点评： 本题考查了平移的性质，位似的性质，三角形的面积公式的应用，能根据性质的特点进行画图是解此题的关键，考查了学生的动手操作能力．

来源中教@~网%^]第 34 页 共 52 页

6. （2015?齐齐哈尔,第28题10分）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB

2

﹣6）=0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．

（1）求线段AB的长； （2）求直线CE的解析式；

（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 一次函数综合题．

分析： （1）根据非负数的性质求得OA和OB的长，然后根据勾股定理求得AB的长； （2）证明△ACD∽△AOB，则OC=CD，然后根据△ACD∽△AOB，利用相似三角形的对应边的比相等求得OC的长，从而求得C的坐标，然后根据CD⊥AB，求得AB的解析式，即可求得CE的解析式；来源:zz@s&te~p#.c%om][来%源#:*中教网

（3）M是过A且垂直于AB的直线于BC的交点，首先求得M的坐标，然后分成四边形ABPM是矩形和APBM是矩形两种情况进行讨论． 解答： 解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0， ∴OA=8，OB=6， 在直角△AOB中，AB=（2）在△OBC和△DBC中，

，

=

=10；

∴△OBC≌△DBC，

来源#:中教网@~%^]第 35 页 共 52 页

∴OC=CD，

[w~w#w.%zzstep^.c*om]设OC=x，则AC=8﹣x，CD=x．

∵△ACD和△ABO中，∠CAD=∠BAO，∠ADC=∠AOB=90°，∴△ACD∽△AOB，∴

，即

，

[w&^ww~.*zz@step.com]

中国教@育%&*出版网解得：x=3．

即OC=3，则C的坐标是（﹣3，0）． 设AB的解析式是y=kx+b，根据题意得

解得：

来源中国教&育出版网@%#]

则直线AB的解析式是y=x+6，

设CD的解析式是y=﹣x+m，则4+m=0，则m=﹣4．则直线CE的解析式是y=﹣x﹣4； （3）设直线BC的解析式是y=nx+d，则解得：

，

+e=0，解得：e=﹣

，

，

中国教@&%育出版网来源:zzst#*ep%@.&com]则直线BC的解析式是y=2x+6．中国教育%&*出版网设经过A且与AB垂直的直线的解析式是y=﹣x+e，则则过A且与AB垂直的直线的解析式是y=﹣x﹣

．

来源:zz~step.^c%&#om]根据题意得：，

解得：，

则M的坐标是（﹣5，﹣4）．

当四边形ABPM是矩形时，同理求得过B且与AB垂直的直线的解析式是y=﹣x+6，过M且与直线AB平行的直线的解析式是y=x+．

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中国教&^*%育@出版网第 36 页 共 52 页

则，

[w%~ww@.zzstep*.^com]

解得：，

则P的坐标是（，）．

当APBM是矩形时，线段AB的中点是（﹣4，3），设P的坐标是（e，f），则﹣

+e=﹣4，﹣

+f=6， ，

）．

中国教育@出版&%网~]

解得：e=﹣，f=

则P的坐标是（﹣，

来源:@^中教&%网#]

点评： 本题考查了待定系数法求函数的解析式以及三角形的全等的判定和性质，以及相似三角形的判定与性质，正确求得M的坐标是本题的关键．

7. （2015?黄冈,第21题8分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O 交AB 于点M，交BC 于点N，连接AN,过点C 的切线交AB 的延长线于点P. （1）求证：∠BCP=∠BAN;

来源#*:中国%教育出~&版网来源%:@中国教~#育出版网][来源:%zzs^t~ep.co&m]（2）求证：

AMCB? MNBP第 37 页 共 52 页

考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质． 专题：证明题． 分析：（1）由AC 为⊙O 直径，得到∠NAC+ ∠ACN=90°，由AB=AC，得到∠BAN= ∠CAN，

根据PC 是⊙O 的切线，得到∠ACN+ ∠PCB=90°，于是得到结论．

（2 ）由等腰三角形的性质得到∠ABC= ∠ACB，根据圆内接四边形的性质得到 ∠PBC= ∠AMN ，证出△ BPC∽△MNA，即可得到结论． 解答：（1）证明：∵AC 为⊙O 直径， ∴∠ANC=90°， ∴∠NAC+ ∠ACN=90°， ∵AB=AC， ∴∠BAN= ∠CAN， ∵PC 是⊙O 的切线， ∴∠ACP=90°， ∴∠ACN+ ∠PCB=90°， ∴∠BCP= ∠CAN， ∴∠BCP= ∠BAN ； （2 ）∵AB=AC， ∴∠ABC= ∠ACB， ∵∠PBC+ ∠ABC= ∠AMN+ ∠ACN=180°， ∴∠PBC= ∠AMN ， 由（1）知∠BCP= ∠BAN ， ∴△BPC∽△MNA， 来源:z&zste%p#.co@m~]来源中@国教育出版网%]来源&:中教网@*#^]来源:zzst%ep^.c@om~*][来@源~:^中国教育出&版网来#%源中国教育出版网~]来~#源中国教&育出版%网[www.z&^zs#tep.c*o~m]中%国教&育*^~出版网 ∴AMCB? ． MNBP来~@源^:中国教育出版网][中@国教^&%育出版网 点评：本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质， 来源:zzs@tep.c^o%&#m] 圆内接四边形的性质，解此题的关键是熟练掌握定理． 8．12分）（2015?重庆A26，如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y??32x?3x?334交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与x轴的交点为D。 （1）求直线BC的解析式。 来@源:^zzste*p.com~#]（2）点E（m，0），F（m+2，0）为x轴上两点，其中?2?m?4?，EE?，FF?分别垂直于x轴，交抛物线与点E?，F?，交BC于点M，N，当ME??NF?的值最大时，在y轴上找一点R，使得RF??RE?值最大，请求出R点的坐标及RF??RE?的最大值。 （3）如图2，已知x轴上一点P?,0?，现以点P为顶点，23为边长在x轴上方作等边三角形QPC，使GP⊥x轴，现将△QPG沿PA方向以每秒1个单位长度的速度平移，当点

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?9?2??

???与△ADC的重叠部分面积P到达点A时停止，记平移后的△QPG为?Q?P?G?，设?QPG为s，当点Q?到x轴的距离与点到直线AW的距离相等时，求s的值。

来源:zzs~tep.c^%&#om]

图1 图2

考点：二次函数综合题．

分析：（1）求出抛物线与x 轴的交点坐标和顶点坐标，用待定系数法求解析式即可； （2 ）先求出E′、F′的坐标表示，然后求出E′M、F′N ，用二次函数的顶点坐标求出当 m=3 时，ME′+NF′的值最大，得到E′、F′的坐标，再求出E′F′的解析式，当点R 在直

线E′F′与y 轴的交点时，|RF′ ﹣RE′|的最大值，从而求出R 点的坐标及|RF′ ﹣RE′|的最 大值；

（3 ）分类讨论Q 点在∠CAB 的角平分线或外角平分线上时，运用三角形相似求出相

应线段，在求出△ Q′P′G′与△ADC 的重叠部分面积为S ．

来&源~^:@中教网*]解答：⑴y??3x?63

⑵E'M??3232m?3m?33?(?3m?63)??m?23m?33 44第 39 页 共 52 页

32m?3m 432m?33m?33故：E'M?F'N??2F'N??来源:@~中^&教网

当m??332?(?3)2?3时，E'M?F'N最大，

1537)F'(5,3) 4427∴E'F':y??3x?3 427∴R(0，3),RF'?RE'max?4 4⑶由题意，Q点在?CAB的角平分线或外角平分线上 此时E'(3,来源中国%@&#教育出版网*]①当Q点在?CAB的角平分线上时，如图 Q'M?Q'N?3,CW?31 9393△RMQ’∽△RNC，故RQ'?，则RN??322 来源中国教~^育出版&网@]2?31 32?3110?31∴DN=CD-CN=4? ?331313?2093故S? 27△CRN∽△CWO，故CN?yCRWG'GMQ'CNQxDP'PB

②当Q点在?CAB的外角平分线上时，如图

9393，故RM??3 2231?2△RCM∽△WCO，故CM= 3△Q’RN∽△WCO，故Q'R?在Rt△Q’MP’中，AM'?3Q'M?3，故CP'?MP'?CM?3?31?211?31? 33第 40 页 共 52 页

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