大学物理（下）No.1作业解析

《大学物理》作业 No.1 机械振动

一、选择题

1. 把单摆从平衡位置拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度?，然后由静开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相位为 [ C ] (A) ?; (B)

32止放手任其振动，从放手时

??; (C) 0; (D)

12?。

解：t = 0时，摆角处于正最大处，角位移最大，速度为零， ?用余弦函数表示角位移，??0。

2. 轻弹簧上端固定，下系一质量为m1的物体，稳定后在m1下边又系一质量为m2的物体，于是弹簧又伸长了?x。若将m2移去，并令其振动，则振动周期为 [ B ] (A) T?2?12?m2?xm1gm1?xm2gm1?xm2g (B) T?2?

(C) T? (D) T?2?m2?x?m1?m2?gm2g?x

解：设弹簧劲度系数为k，由题意，m2g?k??x，所以k?T?2?m1k?2?m1?xm2g。弹簧振子由弹簧和m1组成，振动周期为

。

3. 一劲度系数为k的轻弹簧截成三等份，取出其中的两根，将它们并联在一起，下面挂一质量为m的物体，如图所示。则振动系统的频率为 [ B ] (A)

(C)

12?12?km3km (B) (D)

12?12?6kmk

k3m

m

解：每一等份弹簧的劲度系数k??3k，两等份再并联，等效劲度系数k???2k??6k，所以振动频率

??12?k??m?12?6km

4. 一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1，如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的四倍，则它的总能量E变为

[ D ] (A) E1/4 (B) E1/2 (C) 2E1 (D) 4E1 解：原来的弹簧振子的总能量E1?率变为?2?E2?1212kA1?212m1?1A1，振动增加为A2?2A1，质量增加为m2?4m1，k不变，角频

22km2?k4m122?112?1，所以总能量变为

2m2?2A2????1222???4m1??1???2A1??4?m1?1A1??4E1 2?2??2?

5. 一质点作简谐振动，周期为T。质点由平衡位置向x轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需要的时间为 [ B ] (A)

T4 (B)

T12

A/2O?6Axt??t(C)

T6 (D)

?6?2?12T8

T12解：由矢量图可知，??t?,?t?

二、填空题

1. 用40N的力拉一轻弹簧，可使其伸长20cm。此弹簧下应挂 2.0 kg的物体，才能使弹簧振子作简谐振动的周期T?0.2?s。

解: 弹簧的劲度系数k?质量m?T4?22F?x?400.22?200N?m??1?，弹簧振子周期T?2?mk，

?0.2???k????200?2.0?kg?

2???2. 一单摆的悬线长l = 1.5m,在顶端固定点的铅直下方0.45m处有一小钉，如图示。设两方摆动均较小，则单摆的左右两方振幅之比

A1A2的近似值为 1.20 。

解：以单摆与地球为研究对象，摆动过程中机械能守恒。设左右两方最大角位移(角振幅)分别为?1和?2，以物体在最低点处为势能零点，则有

mgl1?1?cos?1??mgl?1?cos?2?,1?cos??2sin(?/2)?2?(?2),l1sin2220.45m

2小钉l??1ll12??lsin?2??22?,l1?1?l?22l1所以：

?1?2?1.51.5?0.45?1.20 l1?1l?2ll1l1ll1l11.20如果题中振幅是指线振幅，则有?????0.837

3. 两个同频率余弦交流电i1?t?和i2?t?的曲线如图所示，则位相差?2??1???2。 i?Im2解：由图可知，i1?t?的初相?1?，

i22Im1i2?t?的初相?2?0，所以?2??1???2。

Oti1

4. 一质点作简谐振动，其振动曲线如图所示。根据此图，它的周期T?3.43s，用余弦函数描述时初相位???2?/3。

解：由曲线和旋转矢量图 可知

T12?T224?2 ?3.43?s?

23x4B周期T?初相??o?22743t?s??4?2?xA?或??。

5. 一质点同时参与了两个同方向的简谐振动，它们的振动方程分别为

x1?0.05cos(?t??/4) (SI)

x2?0.05cos(?t?19?/12) (SI)

?其合成运动的运动方程为x?0.05cos(?t?23?/12)。 (SI) 解：如矢量图可知：????1??2??4?(?512?)?23?A1?， O合成振幅 A?A1?A2?0.05(m)。

x?A?A2合振动的初相 ???(所以，合振动方程为

?3??4)???12(或

2312?)

x?0.05cos(?t??12)(SI)或x?0.05cos(?t?2312?)(SI)

三、计算题

1. 一质量m = 0.25kg的物体，在弹性恢复力作用下沿x轴运动，弹簧的劲度系数k =25N?m-1 (1) 求振动的周期T和角频率?；

(2) 如果振幅A = 15cm，t = 0时位移x0 = 7.5cm处，物体沿x轴反向运动，求初速v0及初相? ； (3) 写出振动的数值表达式。 解： (1) 周期T?2?角频率 ??mk?2?0.2525?0.628(s)

?12?T?2?0.2??10(rad?s)

v0?AOt?0(2) 由旋转矢量图可知初相??由振幅公式A?x0?(?22?3，初速度v0?0。

27.5x(cm)v0?),可得

222v0???A?x0??100.15?0.075?2??1.30(m?s)

)

?1(3) 振动方程为x?Acos(?t??)?15?10cos(10t??32. 一物体放在水平木板上，这木板以??2Hz的频率沿水平直线作简谐运动，物体和水平木板之间的静摩擦系数?s?0.50，求物体在木板上不滑动的最大振幅Amax。 解：如图建立坐标系，做受力分析，

N?mg?0fx?mafx??sN2x?fx?4??a???Acos??t???mg??2??(5)???sg?sg0.5?9.8???0.031?m? 由(4)、(6)式得最大振幅 Amas?2222?4??2?2???

3. 一物体质量为0.25kg，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数k = 25N?m-1。如果该系统起始振动时具有势能0.06J和动能0.02J，求 (1) 振幅A；

(2) 动能恰等于势能时的位移； (3) 经过平衡位置时物体的速度。

?1????2????3???yamax??smgmNa??sg(6)

解：(1) 由E?Ek?Ep?(2) 由kx2?2112mv2212kA 得A?22k(Ek?Ep)?0.08m

得 m?2x2?m?2A2sin2(?t??)

222222 ? 即

x?Asin(?t??)?A[1?cos(?t??)]?A?Acos(?t??) x?A?x

2222 x??A2??0.0566m

12mv

2(3) 过平衡位置时，x = 0, 此时动能等于总能量E?Ek?Ep? v?2m(Ek?Ep)??0.8m?s?1

4. 在轻质刚性杆AB两端，各附有一质量相同的小球，可绕通过AB上并且垂直于杆长的水平轴O作振幅很小的振动。设OA = a, OB = b, 且b > a，试求振动周期。

解：如图所示，系统所受合力矩为 A

a M?mgbsin??mgasin??mg(b?a)?

由于合力矩M与? 的正负号相反，

所以上式可写为M??mg(b?a)? 系统转动惯量J?ma由转动定律M?Jd?dt222O b 22mg 2?mb2?m(a?b)

? d?dt22得 ???g(b?a)(a?b)222B mg ?，即

d?dt22?MJ??mg(b?a)m(a?b)2?g(b?a)(a?b)22??0

? 系统做简谐振动，其角频率?? 周期T?

2??2?a?b22g(b?a)a?b2

?g(b?a)

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