量子力学 03力学量用算符表达

第三章

力学量用算符表达

3.1

算符的运算规则

(一)算符定义 (二)算符的一般特性

(一)算符定义代表对波函数进行某种运算或变换的符号 由于算符只是一种运算符号，所以它 单独存在是没有意义的，仅当它作用 于波函数上，对波函数做相应的运算 才有意义，例如： 1)du / dx = v , d / dx 就是算符，其作用 是对函数 u 微商， 故称为微商算符。

Ôu=v 表示 Ô 把函数 u 变成 v, Ô 就是这种变 换的算符。

2)x u = v, x 也是算符。 它对 u 作用 是使 u 变成 v。

(二)算符的一般特性(1)线性算符 (2)算符相等 (3)算符之和 (4)算符之积 (5)对易关系 (6)对易括号 (7)逆算符 (8)算符函数 (9)复共轭算符 (10)转置算符 (11)厄密共轭算符 (12)厄密算符

(1)线性算符

满足如下运算规律的 算符 Ô 称为线性算符动量算符 单位算符 是线性算符。 p i I

Ô(c1ψ1+c2ψ2)= c1Ôψ1+c2Ôψ2 其中c1, c2是任意复常数， ψ1, ψ1是任意两个波函数。 例如：

开方算符、取复共轭就不是线性算符。 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加 原理的反映。

(2)算符相等若两个算符 Ô、Û对体系的任何波函数 ψ的运算结果都相 同，即Ôψ= Ûψ,则算符Ô 和算符Û 相等记为Ô = Û。

(3)算符之和 H T V Hamilton 表明

算符 H 等于 T和

若两个算符 Ô、Û 对体系的任何波函数ψ 有： ( Ô + Û) ψ= Ôψ+ Ûψ= Êψ 则Ô + Û = Ê 称为算符之和。

体系动能算符 势能算符

V 之和。

例如：体系Hamilton 算符

显然，算符求和满足交换律和结合律。

注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô +(-Û)。 很易证明线性算符之和仍为线性算符。

(4)算符之积一般来说算符之积不 满足交换律，即 ÔÛ ≠ ÛÔ 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。例如：算符 x p x i 不对易。

若Ô (Û ψ ) = (ÔÛ) ψ =Êψ 则ÔÛ = Ê 其中ψ是任意波函数。

(5)对易关系若ÔÛ ≠ ÛÔ,则称Ô 与 Û 不对易。证： (1) xpx x( i x ) i x x

(2) px x ( i x ) x i i x x x

xp x p x x

而

( x p x p x x ) i 因为 所以

显然二者结果不相等，所以:

是任意波函数，

x p x p x x i

对易 关系

同理可证其它坐标算符 与共轭动量满足 y p y p y y i z p z p z z i 写成通式:

x p p x i p p p p 0

, x, y, z

但是坐标算符与其

非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。 xp y p y x 0 xpz pz x 0 px p y p y px 0 yp x p x y 0 ypz pz y 0 p y pz pz p y 0

量子力学中最基本的 对易关系。 zp x p x z 0 zp y p y z 0 pz p x p x pz 0

若算符满足 ÔÛ = - ÛÔ, 则称 Ô 和 Û 反对易。

注意： 当Ô 与 Û 对易，Û 与 Ê 对易，不能推知 Ô 与 Ê 对易与否。 例如： ( I ) p x 与 p y 对易， p y 与 x 对易，但是 ( II ) p x 与 p y 对易， p y 与 z 对易，而 p x 与 x 不对易； p x 与 z 对易。

(6)对易括号这样一来， 坐标和动量的对易关系 可改写成如下形式：

为了表述简洁，运算便利和研究量 子力学与经典力学的关系，人们定 义了对易括号： [Ô,Û ]≡ÔÛ - ÛÔ

[ x , p ] i

不难证明对易括号满足如下对易关系： 1)[Ô, C] = 0 C为常数 2)[Ô, Ô] = 0 3)[Ô,Û] = - [Û,Ô] 4)[Ô,Û+Ê] = [Ô,Û ] + [Ô, Ê] 5)[Ô,ÛÊ] = [Ô,Û]Ê+ Û[Ô,Ê] 6)[Ô,[Û,Ê]] + [Û,[Ê, Ô]] + [Ê,[ Ô,Û]] = 0 上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。

角动量算符 (1)角动量算符的形式 经典力学中，若动量为 p,相对点O 的位置矢量为 r 的粒子 绕 O 点的角动量是： L r p i r L r p

(I) 直角坐标系 Lx ypz zp y i ( y z z y ) L y zp x xpz i ( z x x z ) Lz xp y yp x i ( x y y x )

角动量平方算符 L2 L2 L2 L2 x y z

( y p z p ) 2 ( z p x p )2 ( x p y p ) 2 z y x z y x 2[( y z ) 2 ( z x ) 2 ( x y ) 2 z y x z y x 由于角动量平方算符中含有关于 x,y,z 偏导 数的交叉项,所以直角坐标下角动量平方算符的本 征方程不能分离变量,难于求解,为此我们采用球坐 标较为方便.

(II) 球坐标 z

r

ry

直角坐标与球坐标之间的变换关系 x r sin cos y r sin sin z r cos r 2 x 2 y 2 z 2 cos z / r tan y / x (1) ( 2) ( 3)

x

球 坐 标

对于任意函数f (r, θ, φ) (其中，r, θ, φ都是 x, y, z 的函数)则有： x r r y r z r x r y r z y z x

f x i

f r r x i

f x i

f x i

其

中

x1 , x 2 , x 3 x , y , z

x y z

或

这表明： r = r (x, y, z) x = x (r, θ, φ)

将(1) 式两边 分别对 xyz求 偏导数 得：

r sin cos x r sin sin s y r cos z

将(2)式两边分别对 x y z 求偏导数得： 1 cos cos x r 1 cos sin r y 1 sin r z

将(3)式两边分别对 x y z 求偏导数得： 1 sin x r sin 1 cos r sin y 0 z

将上面 结果代 回原式 得：

1 1 sin sin cos cos cos x r r r sin 1 1 cos sin sin cos sin r r r sin y 1 cos sin 0 r r z Lx i [sin cot cos ] i [cos cot sin ] Ly i Lz

则角动量算符 在球坐标中的 表达式为：

2 2 L [

1

sin

(sin

)

12

2 2

sin

]

(2)角动量算符的对易关系 [ Lx , Ly ] i Lz同理 [ L y , L z ] i L x [ L z , L x ] i L y合记之： [ L , L ] i L

证：

[ Lx , Ly ] [ ypz zp y , zp x xpz ] [ ypz , zp x xpz ] [ zp y , zp x xpz ] [ ypz , zp x ] [ ypz , xpz ] [ zp y , zp x ] [ zp y , xpz ]

[ ypz , zp x ] [ zp y , xpz ] y[ pz , zp x ] [ y , zp x ] pz z[ p y , xpz ] [ z , xpz ] p y

称为

Levi Civita

符号，

y[ pz , zp x ] [ z , xpz ] p y yz[ pz , p x ] y[ pz , z ] p x x[ z , pz ] p y [ z , x ] pz p y y( i ) p x x( i ) p y i [ xp y yp x ] i Lz

其意义如下：

123 1其中 , , 1,, 23 或 x, y, z

(3)角动量升降阶算符 L L iL x y L Lx iL y

(I) 定义 (II) 对易关系 [ Lz , L ] [ Lz , Lx iL y ] [ Lz , Lx ] i[ Lz , L y ] i L y i ( i L x ) ( Lx iL y ) L

Lz L L ( Lz ) 不 难 证 明 2 2 2 [ L , L ] 0 L L L L 2 2 L L L

Lz Lz 2 2 L L L Lz Lz

(7)逆算符并不是所有算符都存 在逆算符,例如投影 算符就不存在逆.

1. 定义: 设Ôψ = φ , 能够唯一的解出 ψ , 则可定义 算符 Ô 之逆 Ô-1 为: Ô-1 φ = ψ

2.性质 I: 若算符 Ô 之逆 Ô-1 存在,则 Ô Ô-1 = Ô-1 Ô = I , [Ô , Ô-1] = 0 证: ψ = Ô-1φ = Ô-1 (Ô ψ ) = Ô-1 Ô ψ 因为ψ 是任意函数,所以Ô-1 Ô = I成立. 同理, Ô Ô-1 = I 亦成立. 3.性质 II: 若 Ô, Û 均存在逆算符, 则 (Ô Û)-1 = Û-1 Ô-1

(8)算符函数F (x)

n 0

设给定一函数 F(x), 其各阶导数均存在, 其幂级数展开收敛xn

F

(n)

(0)

n!

则可定义算符 Û 的函数 F(Û)为:

F (U ) n 0

F

(n)

(0)

n!

n U

例如:

e

i Ht

n 0

1 n!

[

i

t ]n H

(9)复共轭算符算符Û的复共轭算符 Û*就是把Û表达式中 的所有量换成复共轭.

例如: 坐标表象中 p* ( i ) * i p

(10)转置算符例1 :证： ~ x

~ 算符U的转置算符 定义为： U ~ d * U d U * 式中

和 是两个任意函数。

x~ x

dx * x

利用波函数标准条件: 当|x|→∞ 时ψ, → 0。 x

dx

* * | dx *

dx * x

dx * (

~ x

x

) 0~ x

由于ψ 、φ 是任意波函 数, 所以

(

~ x

x

) 0

x可以证明： ~~ ( AB ) BA

同理可证:

~ px px

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/cm1i.html