青岛青岛超银中学数学全等三角形单元测试卷(解析版)

青岛青岛超银中学数学全等三角形单元测试卷（解析版）

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为______cm．

【答案】10310

-

【解析】

解：连接BD，在菱形ABCD中，

∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，分三种情况讨论：

①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10；

②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP 最小，最小值为10310

-；

③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；

综上所述，PA的最小值为10310

-（cm）．

故答案为：10310

-．

点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

2．在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，

36

ABO

∠=?，在x轴或y轴上取点C，使得ABC

?为等腰三角形，符合条件的C点有__________个．

【答案】8

【解析】

【分析】

观察数轴，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案．

【详解】

解：如下图所示，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与x轴和y轴各有两个交点，但其中一个会与点B重合，故此时符合条件的点有3个；

若以点B为圆心，以AB为半径画弧，同样与x轴和y轴各有两个交点，

但其中一个与点A重合，故此时符合条件的点有3个；

线段AB的垂直平分线与x轴和y轴各有一个交点，此时符合条件的点有2个．

∴符合条件的点总共有：3＋3＋2=8个．

故答案为：8．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定，可以观察图形，得出答案．

3．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E

是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，

∠D=∠DBC=60°，若BD=5cm，DE=3cm，则BC的长是 ______cm．

【答案】8．

【解析】

【分析】

作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．

【详解】

解：延长DE 交BC于M，延长AE交BC于N，作EF∥BC于F，

∵AB=AC，AE平分∠BAC，

∴AN⊥BC，BN=CN，

∵∠DBC=∠D=60°，

∴△BDM为等边三角形，

∴△EFD为等边三角形，

∵BD=5，DE=3，

∴EM=2，

∵△BDM为等边三角形，

∴∠DMB=60°，

∵AN⊥BC，

∴∠ENM=90°，

∴∠NEM=30°，

∴NM=1，

∴BN=4，

∴BC=2BN=8（cm），

故答案为8．

【点睛】

本题考查等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．

4．如图,在ABC中,90,

ACB ABD

?

∠=是ABC的轴对称图形,点E在AD上,点F在AC的延长线上.若点B恰好在EF的垂直平分线上,并且5

AE=,13

AF=,则DE=______．

【答案】4．

【解析】

【分析】

连接BE ，BF ，根据轴对称的性质可得△ABD ≌△ACB ，进而可得DB=CB ，AD=AC ，∠D=∠BCA=90°，再利用线段垂直平分线的性质可得BE=BF ，然后证明Rt △DBE ≌Rt △CBF 可得DE=CF ，然后可得ED 长．

【详解】

解：连接BE ，BF

，

∵△ABD 是△ABC 的轴对称图形，

∴△ABD ≌△ACB ，

∴DB=CB ，AD=AC ，∠D=∠BCA=90°，

∴∠BCF=90°，

∵点B 恰好在EF 的垂直平分线上，

∴BE=BF ，

在Rt △DBE 和Rt △CBF 中

BD BC EB FB =??=?

，

∴Rt △DBE ≌Rt △CBF （HL ），

∴DE=CF ，

设DE=x ，则CF=x ，

∵AE=5，AF=13，

∴AC=AD=5+x ，

∴AF=5+2x ，

∴5+2x=13，

∴x=4，

∴DE=4，

故答案为：4．

【点睛】

此题主要考查了轴对称和线段垂直平分线的性质，关键是掌握成轴对称的两个图形全等．

5．在△ABC 中，∠ACB＝90o，D、E 分别在 AC、AB 边上，把△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE，点 F 恰好落在 BC 边上，若△CFD 与△BFE 都是等腰三角形，则∠BAC 的度数为_________．【答案】45°或60°

【解析】

【分析】

根据题意画出图形，设∠BAC的度数为x，则∠B=90°-x，∠EFB =135°-x，∠BEF=2x-45°，

当△BFE 都是等腰三角形，分三种情况讨论，即可求解.

【详解】

∵∠ACB＝90o，△CFD是等腰三角形，

∴∠CDF=∠CFD=45°，

设∠BAC的度数为x，

∴∠B=90°-x，

∵△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE，点 F 恰好落在 BC 边上，

∴∠DFE=∠BAC=x，

∴∠EFB=180°-45°-x=135°-x，

∵∠ADE=∠FDE，

∴∠ADE=（180°-45°）÷2=67.5°，

∴∠AED=180°-∠ADE-∠BAC=180°-67.5° -x=112.5°-x，

∴∠DEF=∠AED=112.5°-x，

∴∠BEF=180°-∠AED-∠DEF=180°-（112.5°-x）-（112.5°-x）=2x-45°，

∵△BFE 都是等腰三角形，分三种情况讨论：

①当FE=FB时，如图1，

则∠BEF=∠B，

∴90-x=2x-45，解得：x=45；

②当BF=BE时，

则∠EFB=∠BEF，

∴135-x=2x-45，

解得：x=60，

③当EB=EF时，如图2，

则∠B=∠EFB，

∴135-x=90-x，无解，

∴这种情况不存在.

综上所述：∠BAC 的度数为：45°或60°.

故答案是：45°或60°.

图1 图2

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质定理，用代数式表示角度，并进行分类讨论，是解题的关键.

6．如图，Rt△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，AD 是 BC 边上的高，E 是 AD 上的一点。连接EC，过点 E 作 EF⊥EC 交射线 BA 于点 F，EF、AC 交于点 G。若 DE=3，△EGC 与△AFG 面积的 BD=_____.

差是 2，则

【答案】5

【解析】

【分析】

在DC上取点M，使DM=DE，连接EM，通过证明?FAE??EMC，根据△EGC 与△AFG 面积的差是 2，推出△EAC 与△EMC 面积的差是 2，然后设MC=x,则AE=x，AD=x+3，利用面积差即可求出x，即可求出BD.

【详解】

解：在DC上取点M，使DM=DE，连接EM

∵Rt△ABC，AB=AC，AD ⊥ BC

∴BD=CD=AD，∠EAF=135°

同理∠EMC=135°

∴AE=CM

∠AEF+∠CED=∠ECM+∠CED=90°

∴∠AEF=∠ECM

∴?FAE??EMC

∵S△EGC-S△AFG=2

∴S△EAC-S△FAE=2

∴S△EAC-S△EMC=2

设MC=x,则AE=x，AD=x+3

∵S△EAC=()

1

3

2

x x

??+，S△MEC=

1

3

2

x??

∴()

1

3

2

x x

??+-

1

3

2

x??=2

解得x=2（x>0，负值舍去），

∴AD=2+3=5

∴BD=AD=5

故答案为：5.

【点睛】

本题主要考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质以及三角形面积计算，熟练掌握各知识点，学会综合应用，正确添加辅助线是关键.

7．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，E、F分别在BC、CD上，且AB＝BE，AD ＝DF，M为EF的中点，DM＝3，BM＝4，则五边形ABEFD的面积是_____．

【答案】12

【解析】

【分析】

延长BM至G，使MG＝BM，连接FG、DG，证明△BME≌△GMF（SAS），得出FG＝BE，∠MBE＝∠MGF，证出AB＝FG，证明△DAB≌△DFG（SAS），得出DB＝DG，由等腰三角形的性质即可得DM⊥BM，由五边形ABEFD的面积＝△DBG的面积，可求解．

【详解】

延长BM至G，使MG＝BM＝4，连接FG、DG，如图所示：

∵M为EF中点，

∴ME＝MF，

在△BME和△GMF中，

BM MG

BME GMF

ME MF

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△BME≌△GMF（SAS），

∴FG＝BE，∠MBE＝∠MGF，S△BEM＝S△GFM，

∴FG∥BE，

∴∠C＝∠GFC，

∵∠A+∠C＝180°，∠DFG+∠GFC＝180°，

∴∠A＝∠DFG，

∵AB＝BE，

∴AB＝FG，

在△DAB和△DFG中，

AB FG

A DFG

AD DF

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△DAB≌△DFG（SAS），

∴DB＝DG，S△DAB＝S△DFG，

∵MG＝BM，

∴DM⊥BM，

∴五边形ABEFD的面积＝△DBG的面积＝

1

2

×BG×DM＝

1

2

×8×3＝12，

故答案为：12．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定由性质，证明三角形全等是解题的关键．

8．如图，已知30

AOB

∠=?，点P在边OA上，14

OD DP

==，点E，F在边OB上，PE PF

=.若6

EF=，则OF的长为____.

【答案】18

【解析】

【分析】

由30°角我们经常想到作垂线，那么我们可以作DM垂直于OA于M，作PN垂直于OB 于点N，证明△PMD≌△PND，进而求出DF长度，从而求出OF的长度.

【详解】

如图所示，作DM垂直于OA于M，作PN垂直于OB于点N.

∵∠AOB=30°，∠DMO=90°，PD=DO=14，

∴DM=7，∠NPO=60°，∠DPO=30°，

∴∠NPD=∠DPO=30°，

∵DP=DP，∠PND=∠PMD=90°，

∴△PND≌△PMD，

∴ND=7，

∵EF=6，

∴DF=ND-NF=7-3=4，

∴OF=DF+OD=14+4=18.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定及性质定理，作辅助线构造全等三角形是解题的关键.

9．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为________．

【答案】

9

2

【解析】

【分析】

首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．

【详解】

延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．

∵AD⊥BH，

∴∠ADB＝∠ADH＝90°，

∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°，

∵∠BAD＝∠HAD，

∴∠ABD＝∠H，

∴AB＝AH，∵AD⊥BH，

∴BD＝DH，

∵DC＝CA，

∴∠CDA＝∠CAD，

∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，

∴∠CDH＝∠H，∴CD＝CH＝AC，∵AE＝EC，

∴S△ABE＝1

4

S△ABH，S△CDH＝

1

4

S△ABH，

∵S△OBD?S△AOE＝S△ADB?S△ABE＝S△ADH?S△CDH＝S△ACD，∵AC＝CD＝3，

∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为1

2

×3×3＝

9

2

．

故填：9

2

．

【点睛】

本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．

10．在下列结论中：①有三个角是60?的三角形是等边三角形；②有一个外角是120?的等腰三角形是等边三角形；③有一个角是60?，且是轴对称的三角形是等边三角形；④有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形．其中正确的是__________.

【答案】①②③④

【解析】

【分析】

依据等边三角形的定义，含有一个600角的等腰三角形是等边三角形判断即可.

【详解】

有三个角是600的三角形是等边三角形，故①正确；外角是1200时，邻补角为600，即有一个内角是600的等腰三角形是等边三角形，故②正确；轴对称的三角形是等腰三角形，且含有一个600角，因此是等边三角形，故③正确；一腰上的高也是中线，故底边等于腰长，所以此三角形是等边三角形，故④正确.

故此题正确的是①②③④.

【点睛】

此题考查等边三角形的判定方法，熟记方法才能熟练运用.

二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）

11．如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则

∠1-∠2的度数是（）

A．32°B．64°C．65°D．70°

【答案】B

【解析】

【分析】

此题涉及的知识点是三角形的翻折问题，根据翻折后的图形相等关系，利用三角形全等的性质得到角的关系，然后利用等量代换思想就可以得到答案

【详解】

如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D

的位置

∠1=180?-∠BEH-∠DEH=180?-2∠DEH

∠2=180?-∠D-∠DEH-∠EHF

=180?-∠B-∠DEH-(∠B+∠BEH)

=180?-∠B-∠DEH-（∠B+∠DEH）

=180?-32°-∠DEH-32°-∠DEH

=180?-64°-2∠DEH

∴∠1-∠2=180?-2∠DEH-(180?-64°-2∠DEH)

=180?-2∠DEH-180?+64°+2∠DEH

=64°

故选B

【点睛】

此题重点考察学生对图形翻折问题的实际应用能力，等量代换是解本题的关键

12．如图所示，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC＝15°，②AD∥BC，③PC⊥AB，④四边形ABCD是轴对称图形，其中正确的个数为（）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】D

【解析】

【分析】

根据周角的定义先求出∠BPC 的度数，再根据对称性得到△BPC 为等腰三角形，∠PBC 即可求出；根据题意：有△APD 是等腰直角三角形；△PBC 是等腰三角形；结合轴对称图形的定义与判定，可得四边形ABCD 是轴对称图形，进而可得②③④正确．

【详解】

根据题意，BPC 36060290150∠=-?-= ， BP PC =，

()

PBC 180150215∠∴=-÷=，①正确；

根据题意可得四边形ABCD 是轴对称图形，④正确；

∵∠DAB+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°，

∴AD//BC ，②正确；

∵∠ABC+∠BCP=60°+15°+15°=90°，

∴PC ⊥AB ，③正确，

所以四个命题都正确，

故选D ．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、轴对称图形的定义与判定等，熟练掌握各相关性质与定理是解题的关键.

13．如图所示，在ABC 中，AC BC =，90ACB ?∠=，AD 平分BAC ∠，BE AD ⊥交AC 的延长线F ，E 为垂足．则有：①AD BF =；②CF CD =；③AC CD AB +=；④BE CF =；⑤2BF BE =，其中正确结论的个数是（

）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】D

【解析】

【分析】

利用全等三角形的判定定理及其性质以及等腰三角形的三线合一的性质逐项分析即可得出答案．

【详解】

解：∵AC BC =，90ACB ?∠=

∴45CAB ABC ?∠=∠=

∵AD 平分BAC ∠

∴22.5BAE EAF ?∠=∠=

∵90EAF F FBC F ?∠+∠=∠+∠=

∴EAF FBC ∠=∠

∴ADC BFC ?

∴AD=BF ，CF=CD ，故①②正确；

∵CD=CF，

∴AC+CD=AC+CF=AF

∵67.5F ?∠=

∵18018067.54567.5ABF F CAB ?????∠=-∠-∠=--=

∴AF=AB ，即AC+CD=AB ，故③正确；

由③可知，三角形ABF 是等腰三角形，

∵BE AD ⊥ ∴12

BE BF = 若BE CF =，则30CBF ∠=?与②中结论相矛盾，故④错误；

∵三角形ABF 是等腰三角形，

∵BE AD ⊥ ∴12

BE BF = ∴BF=2BE ，故⑤正确；综上所述，正确的选项有4个．

故选：D ．

【点睛】

本题考查的知识点是全等三角形的判定定理及其性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识点是解此题的关键．

14．如图，AOB α∠=，点P 是AOB ∠内的一定点，点,M N 分别在OA OB 、上移动，当PMN ?的周长最小时，MPN ∠的值为（ ）

A ．90α+

B ．1902α+

C ．180α-

D ．1802α-

【答案】D

【解析】

【分析】 过P 点作角的两边的对称点，在连接两个对称点，此时线段与角两边的交点，构成的三角形周长最小.再根据角的关系求解

.

【详解】

解：

过P 点作OB 的对称点1P ，过P 作OA 的对称点2P ,连接12PP ，交点为M,N ，则此时PMN 的周长最小，且△1P NP 和△2PMP 为等腰三角形.

此时∠12P PP =180°-α；设∠NPM=x°，则180°-x°=2（∠12P PP -x°

） 所以 x°

=180°-2α 【点睛】

求出M,N 在什么位子△PMN 周长最小是解此题的关键.

15．如图，ABC ?中，60BAC ∠=?，BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于点D ，DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，DF AC ⊥于点F ，现有下列结论：

①DE DF =；②DE DF AD +=；③DM 平分EDF ∠；④2AB AC AE +=，其中正确的是（ ）

A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④

【答案】C

【解析】

【分析】

①由角平分线的性质可知①正确；

②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=

1

2

AD，DF=

1

2

AD，从而可证明②正确；

③若DM平分∠EDF，则∠EDM=90°，从而得到∠ABC为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；

④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE=FC，从而可证明④．

【详解】

解：如图所示：连接BD、DC．

①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴ED=DF．

∴①正确．

②∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，

∴∠EAD=∠FAD=30°．

∵DE⊥AB，

∴∠AED=90°．

∵∠AED=90°，∠EAD=30°，

∴ED=

1

2

AD．

同理：DF=

12

AD ． ∴DE+DF=AD ．

∴②正确． ③由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．

假设MD 平分∠EDF ，则∠ADM=30°．则∠EDM=90°，

又∵∠E=∠BMD=90°，

∴∠EBM=90°．

∴∠ABC=90°．

∵∠ABC 是否等于90°不知道，

∴不能判定MD 平分∠EDF ，

故③错误．

④∵DM 是BC 的垂直平分线，

∴DB=DC ．

在Rt △BED 和Rt △CFD 中

DE DF BD DC ???

＝＝， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD ．

∴BE=FC ．

∴AB+AC=AE-BE+AF+FC

又∵AE=AF ，BE=FC ，

∴AB+AC=2AE ．故④正确．

综上所述，①②④正确，

故选：C ．

【点睛】

本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．

16．如图，已知△ABC 与△CDE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，连接OC 、FG ，则下列结论：①AE =BD ；②AG =BF ；③FG ∥BE ；④∠BOC =∠EOC ．其中正确结论的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，结合图形，对选项一一求证，即可得出正确选项．

【详解】

（1）△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线

上，∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACE=∠BCD=120°．

在△BCD和△ACE中，∵

AC BC

BCD ACE

CD CE

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，∴△BCD≌△ACE，∴AE=BD，故结论①正

确；

（2）∵△BCD≌△ECA，∴∠GAC=∠FBC．

又∵∠ACG=∠BCF=60°，AC=BC，∴△ACG≌△BCF，∴AG=BF，故结论②正确；

（3）∵△ACG≌△BCF，∴CG=CF．

∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=60°，∴△FCG为等边三角

形，∴∠FGC=60°，∴∠FGC=∠DCE，∴FG∥BE，故结论③正确；

（4）过C作CN⊥AE于N，CZ⊥BD于Z，则∠CNE=∠CZD=90°．

∵△ACE≌△BCD，∴∠CDZ=∠CEN．

在△CDZ和△CEN中，

CZD CNE

CDZ CEN

CD CE

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，∴△CDZ≌△CEN，∴CZ=CN．

∵CN⊥AE，CZ⊥BD，∴∠BOC=∠EOC，故结论④正确．

综上所述：四个结论均正确．

故选D．

【点睛】

本题综合考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等重要几何知识点，有一定难度，需要学生将相关知识点融会贯通，综合运用．

17．如图，ABC

△，AB AC

=，56

BAC?

∠=，BAC

∠的平分线与AB的垂直平分线交于O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与O点恰好重合，则∠OEC的度数为（）

A．132?B．130?C．112?D．110?

【答案】C

【解析】

【分析】

连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形内角和定理列式计算即可得出答案.

【详解】

如图，连接OB、OC，

∵56

BAC?

∠=，AO为BAC

∠的平分线

∴

11

5628

22

BAO BAC??

∠=∠=?=

又∵AB AC

=，

∴()()

11

1801805662

22

ABC BAC

????

∠=-∠=-=

∵DO是AB的垂直平分线，

∴OA OB

=．

∴28

ABO BAO?

∠=∠=，

∴622834

OBC ABC ABO???

∠=∠-∠=-=

∵DO是AB的垂直平分线，AO为BAC

∠的平分线

∴点О是ABC

△的外心，

∴OB OC

=，

∴34

OCB OBC?

∠=∠=，

∵将C

∠沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合

∴OE CE

=，

∴34

COE OCB?

∠=∠=，

在OCE

△中，1801803434112

OEC COE OCB

?????

∠=-∠-∠=--=

【点睛】

本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，做辅助线

构造出等腰三角形是解决本题的关键.

18．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，若△CDM周长的最小值为8，则△ABC的面积为（）

A．12 B．16 C．24 D．32

【答案】A

【解析】

【分析】

连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，再根据三角形的周长求出AD的长，由此即可得出结论．

【详解】

连接AD，

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，

∴AD⊥BC，

∵EF是线段AC的垂直平分线，

∴点C关于直线EF的对称点为点A，

∴AD的长为CM+MD的最小值，

∵△CDM周长的最小值为8，

∴AD=8-

1

2

BC=8-2=6

∴S△ABC=

1

2

BC?AD=

1

2

×4×6=12，

故选A．

【点睛】

本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．19．如图，在ABC

△中，2

B C

∠=∠，AH BC

⊥，AE平分BAC

∠，M是BC中点，则下列结论正确的个数为（）

（1）AB BE AC += （2）2AB BH BC += （3）2AB HM = （4）

CH EH AC +=

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】D

【解析】

【分析】

（1）延长AB 取BD=BE ，连接DE ，由∠D=∠BED ，2ABC C ∠=∠，得到∠D=∠C ，在△ADE 和△ACE 中，利用AAS 证明ADE ACE ≌，可得AC=AD=AB+BE ；

（2）在HC 上截取HF=BH,连接AF ，可知△ABF 为等腰三角形，再根据2ABC AFB C ∠=∠=∠，可得出△AFC 为等腰三角形，所以FC+BH+HF=AB+2BH=BC ； （3）HM=BM-BH ，所以2HM=2BM-2BH=BC-2BH ，再结合（2）中结论，可得

2AB HM =；

（4）结合（1）（2）的结论，

BC 2BH BE BC BH BE BH CH EH AC AB BE =+=-+=-+-=+.

【详解】

解：

①延长AB 取BD=BE ，连接DE ，

∴∠D=∠BED ，∠ABC=∠D+∠BED=2∠D,

∵2ABC C ∠=∠，∴∠D=∠C ，

在△ADE 和△ACE 中，

DAE CAE D C AE AE ∠=∠??∠=∠??=?

，

∴ADE ACE ≌

∴AC=AD=AB+BE ，故（1）正确；

②在HC 上截取HF=BH,连接AF ，

∵AH BC ⊥，∴△ABF 为等腰三角形，

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/clxl.html