2015-2016学年福建省厦门市七年级(下)期末数学试卷(含解析)

2015-2016学年福建省厦门市七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）

1．（4分）下列数中，是无理数的是（ ） A．0

B．﹣ C．

D．2

2．（4分）面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）

A． B． C． D．

3．（4分）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣1）在（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

4．（4分）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ） A．了解全国中学生的视力情况 B．调查某批次日光灯的使用寿命 C．调查市场上矿泉水的质量情况

D．调查机场乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品 5．（4分）下列说法错误的是（ ） A．1的平方根是1 B．0的平方根是0

C．1的算术平方根是1 D．﹣1的立方根是﹣1

6．（4分）若a＜b，则下列结论中，不成立的是（ ） A．a+3＜b+3

B．a﹣2＞b﹣2 C．a＜b D．﹣2a＞﹣2b

7．（4分）如图，下列条件能判定AD∥BC的是（ ）

A．∠C=∠CBE B．∠C+∠ABC=180° C．∠FDC=∠C D．∠FDC=∠A 8．（4分）下列命题中，是真命题的是（ ）

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A．若a＞b，则|a|＞|b| B．若|a|＞|b|，则a＞b

C．若a=b，则a2=b2 D．若a2=b2，则a=b

9．（4分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（ ） A．

B．

C． D．

10．（4分）关于x的不等式组为（ ）

恰好只有两个整数解，则a的取值范围

A．5≤a＜6 B．5＜a≤6 C．4≤a＜6 D．4＜a≤6

二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）计算：

﹣

= ．

12．（4分）小明一家三口随旅游团外出旅游，旅途的费用支出情况如图所示，若他们共支出了4800元，则在购物上用去了 元．

13．（4分）体育老师从七年级学生中抽取40名参加全校的健身操比赛．这些学生身高（单位：cm）的最大值为175，最小值为155．若取组距为3，则可以分成 组．

14．（4分）如图，已知AD∥BC，∠C=38°，∠ADB：∠BDC=1：3，则∠ADB= °．

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15．（4分）已知m2≤

，若是整数，则m= ．

16．（4分）已知点A（2，2），B（1，0），点C在坐标轴上，且三角形ABC的面积为2，请写出所有满足条件的点C的坐标： ．

三、解答题（本大题有11小题，共86分） 17．（7分）解方程组18．（7分）解不等式组

．

，并把解集在数轴上表示出来．

19．（7分）某校七年（1）班体育委员统计了全班同学60秒跳绳的次数，并绘制出频数分布表和频数分布直方图： 次数 80≤x＜100 频数 a 100≤x＜120 4 120≤x＜140 12 140≤x＜160 16 160≤x＜180 8 180≤x＜200 3 结合图表完成下列问题： （1）a= ；

（2）补全频数分布直方图；

（3）若跳绳次数不少于140的学生成绩为优秀，则优秀的学生人数占全班总人数的百分之几？

20．（7分）已知（1）a= ；

是二元一次方程2x+y=a的一个解．

（2）完成表，并在所给的直角坐标系上描出表示这些解的点（x，y）．

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x y ﹣1 0 1 2 3 2

21．（7分）完成下面的证明（在下面的括号内填上相应的结论或推理的依据）： 如图，∠BED=∠B+∠D． 求证：AB∥CD．

证明：过点E作EF∥AB（平行公理）． ∵EF∥AB（已作），

∴∠BEF=∠B（两直线平行，内错角相等）． ∵∠BED=∠B+∠D（已知）， 又∵∠BED=∠BEF+∠FED， ∴∠FED=∠D（等量代换）．

∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行）．

∴AB∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．

22．（7分）厦门是全国著名的旅游城市，“厦门蓝”已经成为厦门一张亮丽的城市名片．去年厦门市空气质量在全国74个主要城市空气排名中，创下历史新高，排名第二，其中优（一级以上）的天数是202天．如果今年优的天数要超过全年天数（366天）的60%，那么今年空气质量优的天数至少要比去年增加多少？ 23．（7分）如图，点A（0，2），B（﹣3，1），C（﹣2，﹣2）．三角形ABC内任意一点P（x0，y0）经过平移后对应点为P1（x0+4，y0﹣1），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1；

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（1）写出A1的坐标； （2）画出三角形A1B1C1．

24．（7分）“六?一”国际儿童节期间，某文具商场举行促销活动，所有商品打相同的折扣．促销前，买6支签字笔和2本笔记本用了28元，买5支签字笔和1本笔记本用了20元．促销后，买5支签字笔和5本笔记本用了32元．请问该商场在这次促销活动中，商品打几折？ 25．（7分）已知

，

都是关于x，y的二元一次方程y=x+b的解，且m

﹣n=b2+2b﹣4，求b的值．

26．（11分）如图，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于点E，BD平分∠EBC． （1）若∠DBC=30°，求∠A的度数；

（2）若点F在线段AE上，且7∠DBC﹣2∠ABF=180°，请问图中是否存在与∠DFB相等的角？若存在，请写出这个角，并说明理由；若不存在，请说明理由．

27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，原点为O，点A（0，3），B（2，3），C（2，﹣3），D（0，﹣3）．点P，Q是长方形ABCD边上的两个动点，BC交x轴于点M．点P从点O出发以每秒1个单位长度沿O→A→B→M的路线做匀速运动，同时点Q也从点O出发以每秒2个单位长度沿O→D→C→M的路线做匀速运动．当点Q运动到点M时，两动点均停止运动．设运动的时间为t秒，四边形OPMQ的面积为S． （1）当t=2时，求S的值； （2）若S＜5时，求t的取值范围．

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少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（ ） A．

B．

C． D．

【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而本题得以解决． 【解答】解：由题意可得，

，

故选B．

【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．

10．（4分）关于x的不等式组为（ ）

A．5≤a＜6 B．5＜a≤6 C．4≤a＜6 D．4＜a≤6

【分析】分别求出两个不等式的解集，然后根据有2个整数解，求出a的取值范围．

【解答】解：解2x﹣1≤11得：x≤6， 解x+1＞a得：x＞a﹣1，

故不等式组的解集为：a﹣1＜x≤6， ∵关于x的不等式组∴两个整数为：5，6， ∴4≤a﹣1＜5， 解得：5≤a＜6． 故选：A．

【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是掌握一元一次不等式组的解法．

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恰好只有两个整数解，则a的取值范围

恰好只有两个整数解，

二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）计算：

﹣

= 3 ．

【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案． 【解答】解：原式=4故答案为：3

．

﹣

=3

．

【点评】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并是关键．

12．（4分）小明一家三口随旅游团外出旅游，旅途的费用支出情况如图所示，若他们共支出了4800元，则在购物上用去了 1200 元．

【分析】根据统计扇形图我们可知小明一家在购物上用去了总支出的25%，因此让总支出乘以25%就可得到他们在购物上的支出．

【解答】解：∵小明一家支出分为三种即路费、食宿和购物，而前两项占了75%， ∴购物占总支出的1﹣75%=25%， ∴总购物支出为：4800×25%=1200元． 故答案为：1200．

【点评】本题考查了扇形统计图的应用．

13．（4分）体育老师从七年级学生中抽取40名参加全校的健身操比赛．这些学生身高（单位：cm）的最大值为175，最小值为155．若取组距为3，则可以分成 7 组．

【分析】计算最大值与最小值的差，除以组距即可求得． 【解答】解：∵极差为175﹣155=20，且组距为3， 则组数为20÷3≈7（组），

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故答案为：7．

【点评】此题考查的是组数的确定方法，掌握组数=极差÷组距是关键．

14．（4分）如图，已知AD∥BC，∠C=38°，∠ADB：∠BDC=1：3，则∠ADB= 35.5 °．

【分析】由AD∥BC，∠C=38°，根据两直线平行，同旁内角互补，可求得∠ADC的度数，然后由∠ADB：∠BDC=1：3，求得答案． 【解答】解：∵AD∥BC，∠C=38°， ∴∠ADC=180°﹣∠C=142°， ∵∠ADB：∠BDC=1：3， ∴∠ADB=∠ADC=35.5°． 故答案为：35.5．

【点评】此题考查了平行线的性质．注意掌握两直线平行，同旁内角互补定理的应用是解此题的关键．

15．（4分）已知m2≤【分析】先求出|m|＜【解答】解：∵m2≤∴m2＜5， ∴|m|＜∵2＜又∵

，

，若

是整数，则m= ﹣1或2或﹣2 ．

＜3和

是整数即可得出答案．

，根据2＜，

＜3， 是整数，

∴m=﹣1或2或﹣2， 故答案为：﹣1，2，﹣2．

【点评】本题考查了估算无理数的大小，能求出|m|解此题的关键．

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和估算出的范围是

16．（4分）已知点A（2，2），B（1，0），点C在坐标轴上，且三角形ABC的面积为2，请写出所有满足条件的点C的坐标： （3，0），（﹣1，0），（0，2），（0，﹣6） ．

【分析】直接利用三角形面积求法以及结合平面直角坐标系得出答案． 【解答】解：如图所示：（3，0），（﹣1，0），（0，2），（0，﹣6），即为所求． 故答案为：（3，0），（﹣1，0），（0，2），（0，﹣6）．

【点评】此题主要考查了坐标与图形的性质，正确掌握三角形面积求法是解题关键．

三、解答题（本大题有11小题，共86分） 17．（7分）解方程组

．

【分析】观察方程组的两方程，发现y的系数互为相反数，根据互为相反数的两数之和为0，把两方程左右两边相加即可消去未知数y，得到关于x的一元一次方程，求出方程的解即可得到x的值，把x的值代入原方程组中的任一个方程中即可求出y的值，联立求出的x与y的值即为原方程组的解． 【解答】解：①+②得：3x=3， 解得x=1，

把x=1代入①得：y=0， ∴原方程组的解为

． ，

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【点评】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的方法有两种：代入消元法和加减消元法，其目的都是消元，将二元一次方程转化为一元一次方程来解．学生应注意二元一次方程组解的写法．

18．（7分）解不等式组

，并把解集在数轴上表示出来．

【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．

【解答】解：

解不等式 ①，得x≤2， 解不等式 ②，得x＞﹣3．

所以原不等式组的解集为：﹣3＜x≤2． 在数轴上表示为：

．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

19．（7分）某校七年（1）班体育委员统计了全班同学60秒跳绳的次数，并绘制出频数分布表和频数分布直方图： 次数 80≤x＜100 频数 a 100≤x＜120 4 120≤x＜140 12 140≤x＜160 16 160≤x＜180 8 180≤x＜200 3

结合图表完成下列问题： （1）a= 2 ；

（2）补全频数分布直方图；

（3）若跳绳次数不少于140的学生成绩为优秀，则优秀的学生人数占全班总人数的百分之几？

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【分析】（1）由频数分布直方图可直接得到a的值；

（2）根据频数统计表可知跳绳次数在140≤x＜160之间的频数为16，从而可补全直方图；

（3）用优秀人数除以全班总人数即可．

【解答】解：（1）∵由频数分别直方图可知：第1小组频数为2， ∴a=2． 故答案为：2．

（2）补全频数分布直方图如图所示：

（3）全班人数=2+4+12+16+8+3=45人，优秀学生人数=16+8+3=27人 27÷45×100%=60%

答：优秀的学生人数占全班总人数的60%．

【点评】本题主要考查的是频数分布表和频数分布直方图的应用，能够从统计图和统计表中获取有效信息是解题的关键．

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20．（7分）已知（1）a= 4 ；

是二元一次方程2x+y=a的一个解．

（2）完成表，并在所给的直角坐标系上描出表示这些解的点（x，y）． x y ﹣1 0 1 2 3 2

【分析】（1）将方程的解代入方程，可求得a的值；

（2）将x或y的值代入方程，求得另一个未知数的值，然后描出各点即可． 【解答】解：（1）将故答案为：4．

（2）当x=﹣1时，﹣2+y=4，解得：y=6， 当y=4时，2x+4=4，解得：x=0， 当x=1时，2+y=4，解得y=2； 当x=2时，4+y=4，解得：y=0， 将y=﹣2时，2x﹣2=4，解得：x=3． 完成表格： x y ﹣1 6 0 4 1 2 2 0 3 ﹣2 代入2x+y=a得：a=2×1+2=4．

各点在坐标系中的位置如图所示：

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【点评】本题主要考查的是方程的解得定义，点的坐标的定义，求得各点的坐标是解题的关键．

21．（7分）完成下面的证明（在下面的括号内填上相应的结论或推理的依据）： 如图，∠BED=∠B+∠D． 求证：AB∥CD．

证明：过点E作EF∥AB（平行公理）． ∵EF∥AB（已作），

∴∠BEF=∠B（两直线平行，内错角相等）． ∵∠BED=∠B+∠D（已知）， 又∵∠BED=∠BEF+∠FED， ∴∠FED=∠D（等量代换）．

∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行）．

∴AB∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．

【分析】先作出平行线，得出结论∠BEF=∠B，结合已知条件再判断∠FED=∠D即可．

【解答】证明：过点E作EF∥AB． ∵EF∥AB，

∴∠BEF=∠B（ 两直线平行，内错角相等）．

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∵∠BED=∠B+∠D， 又∵∠BED=∠BEF+∠FED， ∴∠FED=∠D．

∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行）．

∴AB∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等，∠D，内错角相等，两直线平行，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

【点评】此题是平行线的性质和判定，解本题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定的同时要灵活运用．

22．（7分）厦门是全国著名的旅游城市，“厦门蓝”已经成为厦门一张亮丽的城市名片．去年厦门市空气质量在全国74个主要城市空气排名中，创下历史新高，排名第二，其中优（一级以上）的天数是202天．如果今年优的天数要超过全年天数（366天）的60%，那么今年空气质量优的天数至少要比去年增加多少？ 【分析】设今年空气质量优的天数要比去年增加x，根据去年优（一级以上）的天数是202天和今年优的天数要超过全年天数（366天）的60%，列出不等式，再进行求解即可．

【解答】解：设今年空气质量优的天数要比去年增加x，依题意得： 202+x＞366×60%， 解得：x＞17.6， 由x应为正整数，得： x≥18．

答：今年空气质量优的天数至少要比去年增加18．

【点评】此题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．

23．（7分）如图，点A（0，2），B（﹣3，1），C（﹣2，﹣2）．三角形ABC内任意一点P（x0，y0）经过平移后对应点为P1（x0+4，y0﹣1），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1；

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（1）写出A1的坐标； （2）画出三角形A1B1C1．

【分析】（1）利用P（x0，y0）经过平移后对应点为P1（x0+4，y0﹣1）得到△ABC先向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到△A1B1C1，然后根据点平移的规律写出A1（4，1），B1（1，0），C1（2，﹣3）；

（2）利用（1）中点A1、B1，C1的坐标，描点即可得到A1B1C1． 【解答】解：（1）A1（4，1）， （2）如图，△A1 B1 C1为所作．

【备注】三角形的三个顶点A1（4，1），B1（1，0），C1（2，﹣3），在坐标系中描对每点给（1分），连接成三角形A1B1C1给（1分）．

【点评】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．

24．（7分）“六?一”国际儿童节期间，某文具商场举行促销活动，所有商品打相同的折扣．促销前，买6支签字笔和2本笔记本用了28元，买5支签字笔和1

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本笔记本用了20元．促销后，买5支签字笔和5本笔记本用了32元．请问该商场在这次促销活动中，商品打几折？

【分析】设打折前每支签字笔x元，每本笔记本 y元，根据“买6支签字笔和2本笔记本用了28元，买5支签字笔和1本笔记本用了20元”列方程组求得促销前签字笔和笔记本的单价，继而可得促销前买5支签字笔和5本笔记本所需费用，相除即可得促销折扣．

【解答】解：设打折前每支签字笔x元，每本笔记本 y元，依题意得，

，

解得：

，

∴5x+5y=40， ∴

=0.8，

答：商场在这次促销活动中，商品打八折．

【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意确定相等关系列方程组求得促销前签字笔和笔记本的单价是解题的关键．

25．（7分）已知

，

都是关于x，y的二元一次方程y=x+b的解，且m

﹣n=b2+2b﹣4，求b的值．

【分析】将方程的解代入方程，得到关于m、n的方程的方程组，从而得到m﹣n=2b﹣1，结合已知条件列出关于b的方程求解即可． 【解答】解：∵∴

．

，

都是关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解，

∴m﹣n=2b﹣1． 又∵m﹣n=b2+2b﹣4， ∴b2+2b﹣4=2b﹣1． 化简得b2=3，解得：b=±

．

【点评】本题主要考查的是二元一次方程的解和解一元二次方程，列出关于b的一元二次方程是解题的关键．

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26．（11分）如图，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于点E，BD平分∠EBC． （1）若∠DBC=30°，求∠A的度数；

（2）若点F在线段AE上，且7∠DBC﹣2∠ABF=180°，请问图中是否存在与∠DFB相等的角？若存在，请写出这个角，并说明理由；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠EBC=2∠DBC=60°，∠ABC=2∠EBC=120°，根据平行线的性质得到∠A+∠ABC=180°，于是得到结论；

（2）设∠DBC=x°，则∠ABC=2∠ABE=（4x）°，根据已知条件得到∠ABF=（x﹣90）°，求得∠DBF=（90﹣x）°，根据平行线的性质得到∠DFB+∠CBF=180°，于是得到∠DFB=（90﹣x）°，即可得到结论． 【解答】解：（1）∵BD平分∠EBC，∠DBC=30°， ∴∠EBC=2∠DBC=60°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠EBC=120°， ∵AD∥BC，

∴∠A+∠ABC=180°， ∴∠A=60°；

（2）存在∠DFB=∠DBF，

设∠DBC=x°，则∠ABC=2∠ABE=（4x）°， ∵7∠DBC﹣2∠ABF=180°， ∴7x﹣2∠ABF=180°， ∴∠ABF=（x﹣90）°，

∴∠CBF=∠ABC﹣∠ABF=（x+90）°， ∠DBF=∠ABC﹣∠ABF﹣∠DBC=（90﹣x）°， ∵AD∥BC，

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∴∠DFB+∠CBF=180°， ∴∠DFB=（90﹣x）°， ∴∠DFB=∠DBF．

【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，原点为O，点A（0，3），B（2，3），C（2，﹣3），D（0，﹣3）．点P，Q是长方形ABCD边上的两个动点，BC交x轴于点M．点P从点O出发以每秒1个单位长度沿O→A→B→M的路线做匀速运动，同时点Q也从点O出发以每秒2个单位长度沿O→D→C→M的路线做匀速运动．当点Q运动到点M时，两动点均停止运动．设运动的时间为t秒，四边形OPMQ的面积为S． （1）当t=2时，求S的值； （2）若S＜5时，求t的取值范围．

【分析】设三角形OPM的面积为S1，三角形OQM的面积为S2，则S=S1+S2． （1）当t=2时，可得点P（0，2），Q（1，﹣3），过点Q作QE⊥x轴于点E．根据三角形的面积公式分别求出S1，S2，进而得出S的值；

（2）设点P运动的路程为t，则点Q运动的路程为2t．分五种情况进行讨论：①0＜t≤1.5；②1.5＜t≤2.5；③2.5＜t≤3； ④3＜t＜4；⑤t=4．针对每一种情况，首先确定出对应范围内点P，Q的位置，再根据三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：设三角形OPM的面积为S1，三角形OQM的面积为S2，则S=S1+S2． （1）当t=2时，点P（0，2），Q（1，﹣3），过点Q作QE⊥x轴于点E． ∵S1=OP?OM=×2×2=2，

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S2=QE?OM=×3×2=3， ∴S=S1+S2=5；

（2）设点P运动的路程为t，则点Q运动的路程为2t． ①当0＜t≤1.5时，点P在线段OA上，点Q在线段OD上， 此时四边形OPMQ不存在，不合题意，舍去．

②当1.5＜t≤2.5时，点P在线段OA上，点Q在线段DC上． S=×2t+×2×3=t+3， ∵S＜5，

∴t+3＜5，解得t＜2． 此时1.5＜t＜2．

③当2.5＜t≤3时，点P在线段OA上，点Q在线段CM上． S=×2t+×2（8﹣2t）=8﹣t， ∵S＜5，

∴8﹣t＜5，解得t＞3．

④当3＜t＜4时，点P在线段AB上，点Q在线段CM上． S=×2×3+×2（8﹣2t）=11﹣2t， ∵S＜5，

∴11﹣2t＜5，解得t＞3． 此时3＜t＜4．

⑤当t=4时，点P是线段AB的中点，点Q与M重合，两动点均停止运动． 此时四边形OPMQ不存在，不合题意，舍去． 综上所述，当S＜5时，1.5＜t＜2或3＜t＜4．

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【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形、四边形的面积，确定点P，Q的位置是解决第（1）问的关键；正确进行分类，考虑到所有可能的情况是解决第（2）问的关键．

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