概率与统计习题与答案

第一章 概率论的基本概念

1.1 写出下列随机试验的样本空间

（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设一百分制计分，各学生的分

数都是整数）。

（2） 同时掷三颗骰子，记三颗骰子点数之和。 （3） 生产产品直到有10件正品产品的总件数。 （4） 在单位圆内任取一点，记录它的坐标。 （5） 将一米之棰折成三段，观察各段的长度。

解: (1)

（2）s??3,4,5?,18?

10,11,??? （3）s??n 为人数

（4）s?(x,y)x2?y2?1

（5）s??(x,y,z)x?0,y?0,z?0,x?y?z?1?

1.2设 A,B,C,为三事件，用A,B,C,的运算关系表示下列事件：

??

解：（1）（5）(8)

（2）(6)

（3）

(7)

（4）

1.3某市有50%的住户订晨报。有50%的住户订晚报，有80%的住户至少订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比多少？ 解;设A为订晨报 B为订晚报

16580 则 p(A)?, p(B)?, p(A?B)?,

2100100

35p(Ab)??p(A?B)?p(A)?p(B)?,

100

111.4设A,B,C,是三事件，p(A)?p(B)?p(C)?,p(AB)?P(BC)?0,p(AC)?

48求A,B,C,至少有一个发生的概率。 解

：

?ABC?AB?p(ABC)?P(AB)?0?p(ABC)?0

1.5

1.6

1.7 电话号码由0，1，2，….9中的数字排列而成，求出现5个数字全都不同的电话号码的概率。

解：设A为出现5个数字全都不同的电话号码。 则 样本空间的样本点数为105

5 A所包含的样本点数为P10

5P10189?0.3024 因此， p(A)?5?62510

1.8

1.9

1.10 设p(A)?0.6,p(AB)?0.6,求p(A?B)。 解：

p(A?B)?p(A)?p(AB)?0.6?(1?0.6)?0.2

1.11 盒中有2个黑球和8个红球，从中依次取出两次，每次任取一个。作不放回抽样，求下列事件的概率：

（1）两个都是红球; (2)两个都是黑球;

（3）一个红球，一个黑球; （4）第二次取出的是黑球。 解：设事件A为“两个都是红球 ” B为“两个都是黑球” C为“一个红球，一个黑球 ” D为“第二次取出的是黑球”

2C828p(A)?2?8728（1）p(A)? 或 ??45 C101094521C21p(B)?2?211（2）p(B)? 或??C1045

10945（3）p(C)?822816????10910945145

或

11C2C816p(C)??245C10或

p(c)?1?p(A)?P(B)?（4）p(D)?

82211???? 10910951.12设有甲，乙两袋，甲袋中装有n只白球，m只红球，（ n,m?2）乙袋中装有N只白球，M只红球。今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球。问取到白球的概率是多少？

解：设A为“从乙袋取中的一球为白球”；Bi为“从甲袋取出2只球中i个白

球”

2112CmCnCmCnNN?1N?2则：p(A)??p(ABi)?2? ?2??2?Cn?mn?m?2Cn?mn?m?2Cn?mn?m?2i?02?(m?n)N?2n

(m?n)(n?m?2)

1.13

1.14

1.15 设事件A,B,p(A)?a,p(B)?b,a?0,b?0,a?b?1. 若（i）A,B互不相容;(ii)A，B相互独立。 求：

（1） A,B至少有一个发生的概率； （2） A,B中恰有一个发生的概率； （3） A,B都不发生的概率；

（4） A,B至少有一个不发生的概率； 解：（i）A,B互不相容 (ii)A，B相互独立

p(A?B)?p(A)?p(B)?a?b；p(A?B)?p(A)?p(B)?p(A)p(B)?a?b?ab

p(AB?AB)?p(AB)?p(AB)?P(A)?p(B)?a?b；

p(AB?AB)?p(AB)?p(AB)?a(1?b)?(1?a)b?a?b?2ab

p(AB)?p(A?B)?1?a?b； p(AB)?p(A)p(B)?(1?a)(1?b)； p(A?B)?p(AB)?1； p(A?B)?p(AB)?1?p(A)p(B)?1?ab

1.16 某仪器有3个灯泡，烧坏第1，2，3个灯泡的概率分别为0.4,0.5,0.7当烧坏一个灯泡时，仪器发生福故障的概率为0.2；当烧坏两个灯泡时，仪器发生福故障的概率为0.6，若三个灯泡都烧坏时，仪器必发生故障，求仪器发生故障的概率

解：设：Ai为“烧坏第i个灯泡” Bi“烧坏i个灯泡”i?1,2,3，C为“仪器发生故障”

则 B1?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3

B2?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3

B31?A1A2A3

p(B1)?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36 p(B2)?0.4?0.5?0.3?0.4?0.5?0.7?0.6?0.5?0.7?0.41 p(B3)?0.4?0.5?0.7?0.14

P(C)?P(CB1)p(B1)?p(CB2)p(B2)?P(CB3)p(B3) ?0.2?0.36?0.6?0.41?0.14?1?0.458

第二章 随机变量及其分布

2.1

2.2（1）进行独立重复试验，设每次试验成功的概率为p,失败的概率为

q?p?1,(0?p?1)。将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需试验次数。

球X的分布律。

（2）某射手又7发子弹，每次射击的命中率为0.6如果他命中目标就停止射击，不中则继续设局直到7发子弹用完，求所用子弹X的分布律。

（2）p(X?1)?0.6；p(X?2)?0.4?0.6?0.24； p(X?3)?0.42?0.6?0.096

p(X?4)?0.43?0.6?0.0384；p(X?5)?0.44?0.6?0.0153 p(X?6)?0.45?0.6?0.006144；p(X?7)?0.46?0.004096

?k,k?0,1,2?,??0为2.3（1）设随机变量X的分布律为p{X?k}?a?k!常数，试确定常数a

(2) 设随机变量X的分布律为p{X?k}?解：(1)?p{X?k}??a?k?0k?0??a,k?0,1,2?,N,试确定常数a N?kk!?a?e??1 a?e??

（2）?p{X?k}??k?1Naa?N??1 a?1

Nk?0N?

2.4

2.5

（1）

（2）

2.6 有一繁忙的汽车站，每天有大量的汽车通过。设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001，在某天的该段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？（只列式不计算） 解：设X?出事故的汽车数 则X~B(1000,0.0001) p{X?2}?1?p{X?0}?p(X?1}

011999C1 1?C10100?00.00010?0.9999100? 00?00.0001?0.9999

2.7

2.8

2.9

2.10设随机变量的概率密度分别为

?x?1,1?x?2?1?x?f(x)??3?x,2?x?3 （2）f(x)?e,???x??

2?0,其它??（1）

求X的分布函数F(x) 解：（1）当x?1时xf(x)?0,F(x)?0

x1?x?2时F(x)???x?f(t)dt??(t?1)dt?12121x?x? 22x2?x?3时F(x)?127 f(t)dt?(t?1)dt?(3?t)dt??x?3x????22??12

23x?3时F(x)??(t?1)dt??(3?t)dt?1

12?0x?1?1?12x?x?1?x?2??22F(x)??所以 7?12??2x?3x?22?x?3?1x?3???1?xex?0??2（2）f(x)??

?1exx?0??2当x?0时,F(x)?当x?0时,F(x)?1t1xedt?e?22??1t1?t1?xedt?edt?1?e??222??0xxx

?1xex?0??2 所以 F(x)??

1?1?e?xx?0??2

2.11

（当把2改为3时p(X?3)?1?p(X?0)?p(X?1)?p(X?2)? 2.12

64?0.7901） 81

2.13

2.14

2.15一工厂生产的电子管的寿命X(小时计)服从参数

2.16

2.17

2.18

设X~N(0,1).求(1)Y?2X2?1,(2)Z?1X 2解：f(x)?12?e?x22,x?R

y?1}2y?12Fy(y)?p{Y?y}?p{2X2?1?y}?p{X2?当y??1　，Fy(y)?0,fy(y)?0y?1y??1,Fy(y)?p{??X?2y?1?1fy(y)?Fy(y)?e42?(y?1)'y?1}?2??y?121?x2 edx2?2y?1??1e4y??1?所以 fy(y)??2?(y?1)

?0y??1?

（2）

1Fy(y)?p{Y?y}?p{X?y}22y当y?0,Fy(y)?p{?2y?X?2y}?当y?0,Fy(y)?0,fy(y)?0,?4?2y2?2?e,y?0fy(y)???0,y?0??2y?1?x24?2y2e,fy(y)?F'y(y)?e2?2?2

2.19

第三章 多维随机变量及其分布

3.1 10件产品中有7件一等品，2件二等品，1件三等品，从中任取1件记

?1,取到i等品Xi??（i?1,2,3)，求X1,X2的联合分布律。

?0，其它1102p(X1?0,X2?1)?解：107p(X1?1,X2?0)?10p(X1?1,X2?1)?0p(X1?0,X2?0)?

3.2将一枚硬币抛三次，以X表示在三次中出现的次数，以Y表示三次中出现正反面次数之差的绝对值。写出X与Y的联合分布律以及、各自的边缘分布律。 解: X的取值为0,1,2,3;Y的取值为1,3;所以联合分布为.：

1p(X?0,Y?1)?0,p(X?0,Y?3)?,83p(X?1,Y?1)?,p(X?1,Y?3)?0,8

3p(X?2,Y?1)?,p(X?2,Y?3)?081p(X?3,Y?1)?0,p(X?3,Y?3)?,8133131X的边缘分布为：，，，；Y的边缘分布为:,

8888443.3

?kxy,0?x?y?111设（X,Y）的联合密度为f(x,y)=?,求（）常数1k；（2）p{X?Y?}；（3)p{X<}

0,其它22?????(1)由?11?????f(x,y)dxdy?1，有k?1,得，k?88k?xdx?ydy?0x(2)1p{X?Y?}?2??x?y?1295

f(x,y)dxdy?8?ydy?xdx?8?ydy?xdx??9611102y1y42212111（3)p{X?}?2??x?12f(x,y)dxdy?8?xdx?ydy?0x7163.4

3.5

（1）求边缘概率密度fX(x),fY(y) （2）求条件概率密度fXY(xy),fYX(yx)

?1f(x,y）?y,0?x?y当y?0,fXY(xy)???fY(y)??0,x取其它值

x?ye,x?yf(y,x）??当x?0,fYX(yx)???fX(x)??0,y取其它值

3.6

3.7

3.8

?kxy,0?x?1,0?y?1?x3.9设X与Y的联合密度为f(x,y)=?,求Z=X+Y的概率密度

0,其它?解：

?0?x?1?0?x?1f(x,z?x)dx,且有?转变为????0?z?x?1?x?x?z?1当z?0,fz(z)?0fz(z)????z当0?z?1,fz(z)??24(z?x)dx?4z30

当z?1,fz(z)?0?4z3,0?z?1所以 fz(z)???0,其它

3.10

第四章 随机变量的数字特征

4.1

设随机变量X的概率密度为f(x)?12e?x,???x??,求E(X).EX=?????xf(x)dx??01?111

??2xexdx??02xe?xdx??2?2?0 4.2

EX?(?1)?15?0?12?1?1115?2?10?5解：E（X2）?(?1)2?15?0?12?1?15?22?110?45

E(2X2?3)?5?15?3?111232?5?5?11?10?5

4.3

解

：

4.4

4.5

解：

，

4.6

设随机变量X服从指数分布，其概率密度为

其中??0常数，求E(X),D(X) 解

：

则

D(X)?E(X2)?(EX)2??2

4.7

4.8

当

时

4.9

4.10

已知三个随机变量X,Y,Z，中E(X)=E(Y)=1,E(Z)=-1,D(X)=D(Y)=D(Z)=1,1122解：E(X?Y?Z)?E(X)?E(Y)?E(Z)?1Cov(X,Y)??XYD(X)D(Y)?0121Cov(X,Z)??XZD(X)D(Z)?2D(X?Y?Z)?D(X)?D(Y)?D(Z)?2Cov(X,Y)?2Cov(Y,Z)?2Cov(X,Z)?3?1?1?3Cov(Y,Z)??YZD(Y)D(Z)???XY?0,?XZ?，?YZ??,求E(X?Y?Z),D(X?Y?Z)

4.11

4.12

4.13

某产品的次品率为0.1检测员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X表示一天中调整的设备的次数，求E(X)。（设各产品是否为次品是相互独立的）解：设Y为随机抽取的10件产品发现其中的次品数，则Y~B(10,0.1)01p{Y?1}?1?p{Y?0}?p{Y?1}?1?C100.100.910?C100.110.99?0.264

故，X~B(4,0.264)E(X)?np?4?0.264?1.056 4.14

第五章 大数定律及中心极限定理

5.1

5.2

5.3某单位设置一电话总机，共有200夹架分机，设每个电话分机是否使用外线通话是相互独立的。设每时刻每个分机有5%的概率要使用外线通话，问总机需要多少外线才能以不低于90%概率保证每个分机要使用外线时可供使用？解：设X为使用分机数。则 X~B(n,p) n=200,p=0.05 设总机需要m条外线，由题意得 p{X?m}?0.9p{X?m}??(m?npm?200?0.05m?10)??()??()?0.9np(1?p)200?0.05?(1?0.05)9.5

m?10?1.28 m?13.9 m?14 9.5

5.4 设随机变量X1,X2,Y=X1?X2?X100,相互独立，且都服从U(0,1),由设100?X100,求P{Y?10?40}的近似值。?40i?1解：P{Y?10}?P{lnY??40ln10}?P{?lnXi??40ln10} X1,X2,??X100， i..id~U（0，1）

1 ?lnX1，lnX2，lnX100，i..id E(lnXi)??lnxf(x)dx??lnxdx??1??0 E(lnXi)??lnxf(x)dx??ln2xdx?2??02??21?D(lnXi)?1P{Y?10}?P{?lnXi??40ln10}??(?40i?1100?40ln10?100(?1))?0.7852100?1

第六章 样本及抽样分布

6.1 （1）设X1,X2,X3,X4,是来自正态总体X~N(3,52)的一个样本，求样本均值14X??Xi分布。4i?1 (2) 设总体 X~N(3,5) ， X1,X2,214Xn是总体X的一个样本，X??Xini?1试问要使E(X??)2?0.1,则n应取何值？要使P{X???0.1}?0.95,则n应取何值？1425解：(1) X~N(?,) X??Xi~N(3,)n4i?14 (2)E(X??)2?E(X?EX)2?DX?0.14DX??0.1?n?40nP{X???0.1}?P{?01?X???0.1}??( =2?(?(0.05n)?0.9750.05n?1.96?n?1536.640.1?0.1)??()2n2n?20.1)?1?2?(0.05n)?1?0.952n 6.2

6.3设总体 X~N(8,32) ，X1,X2,X3是总体X的一个样本，试求（1）样本的均值与总体平均值之差的绝对值大于0.3的概率（2）求P{max(X1,X2,X3)?9}3解：（）1??8，??3，n=3,?X~N(8,) 3 P{X?8?03}?P{X?8?0.3}?P{X?8??0.3}222

0.3?0.3)??()?2?2?(0.173)?0.85633(2)P{max(X1,X2,X3)?9}?1?P{max(X1,X2,X3)?9} =1-?( =1?[?(6.4(1)

9?82)]?1?0.62932?0.75083

(2)若X1,X2,X10与Y1,Y2,Y15,为其两个相互独立的样本，试求P{X?Y?0.1}

(1)

0.30.3(2)X~N(0,) ,Y~N(0,) ,且X与Y相互独立1015X-Y~N(0,0.015)P{X?Y?0.1}?1?P{X?Y?0.1}?P{X?Y??0.1}?1??(0.1?0.1)?1??()?0.41220.0150.01522

6.5设X1,X2,Xn为来自总体X的一个样本，E(X)=?,D(X)??2.X,S2分别表示样本均值和样本方差，求E(X),D(X),E(S2).解：E(X)=?,D(X)?

?2n,E(S2)??26.6

(1)C1(X1?2X2)2?[C1(X1?2X2)]2,若C1(X1?2X2)~N(0,1)11?5?25?42011同理有；C2?2?4C2?2?C2?2?1，故，C1??6?424此时Y~?2(2)即，C1?2?4C1?2?1，故，C1??1

6.7

6.8设X1,X2,,X16,是来自总体X~N(?,?2)的一个样本.X和S2为样本均值和样本方差，求k值使得P{X???ks}?0.95成立。解：X??X??~t(n?1),?由P{X???ks}?P{?nk}?0.95SSnn

可得t0.95(n?1)?nk,查表得，t0.95(15)??1.7531k??0.4383

第七章 参数估计

7.1设X1,X2,(1)

Xn是总体的一个样本,求下列各总体的密度函数的未知参数的矩估计量。

若样本观测值为0.3,0.8,0.27,0.35,0.62,0.55,求?的矩估计量.

解:总体均值为

1nX2??令?1=X=?Xi,得?的矩估计量为?（）ni?11?X1n1由样本观测值得x=?xi?(0.3?0.8?0.27?0.35?0.62?0.55)?0.4817

ni?16x2??故?的矩估计值为?（）?0.86351?x??)?1?(x?,x???e（2）f(x)???其中??0,?,?是参数?0,其它?解：总体均值EX??E(X2)???????xe1?(x??)??dx??xe?(x??)??????e????(x??)?dx????

?x21?e?(x??)?dx??2?(???)2?EX?X?令?1n22?E(X)?n?Xii?1?解得?,?的矩估计量为?1n21n2?Xi?X?(Xi?X)2????? ni?1ni?1??1n?2???X?(X?X)?i?ni?1?

7.2设X1,X2,Xn是总体X的一个样本,求下列各总体的密度函数或分布律

的未知参数的最大似然估计值和估计量。(1)

解：

（2）

解

：

?x?x2?2e2?,x?0（3）f(x)???其中??0,?为未知参数?0,其它?解：似然函数L(?)=?f(xi,?)?i?1nn21?22n?xeii?1n?i?122??xi2

nlnL(?)=?2nln???lnxi2?i?1?xi?1ni2?2,令dlnL(?)2n???i?13d????xn2i?0??解得?的MLE值?

?xi?1n2i2n??,?的MLE量为??Xi?1n2i2n7.3

7.4设总体服从(0,?]上的均匀分布，X1,X2,Xn是X的一个样本,??0,?为未知参数,试求?的最大似然估计。解：

lnL(?)=?nln?，令dlnL(?)n???（0??0时)d??

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